基于邊界限制事件觸發(fā)的Lurie系統(tǒng)魯棒控制

張凌宇,樓旭陽*,葉 倩

(1.江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院,江蘇 無錫 214122;2.無錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)學(xué)院,江蘇 無錫 214121)

事件觸發(fā)控制策略中由于其控制律更新的時(shí)刻由特定事件確定,從而減輕了計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的通信負(fù)擔(dān),故事件觸發(fā)控制策略的理論設(shè)計(jì)備受關(guān)注.Tabuada[1]定義了一種系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的事件,將閾值定義為狀態(tài)相關(guān)的函數(shù),在未考慮控制律的情況下僅依據(jù)系統(tǒng)信息隨機(jī)選取閾值參數(shù);Zhang等[2]建立了線性系統(tǒng)事件觸發(fā)控制系統(tǒng)的一般框架,將事件定義為與誤差超過時(shí)間相關(guān)的指數(shù)函數(shù)閾值,引入誤差變量將閉環(huán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng),通過連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析,得到系統(tǒng)狀態(tài)最終有界的穩(wěn)定性結(jié)論;李國梁等[3]研究了狀態(tài)反饋事件觸發(fā)控制問題,將閉環(huán)系統(tǒng)建模為脈沖系統(tǒng),運(yùn)用脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法給出事件觸發(fā)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理.事件觸發(fā)下閉環(huán)系統(tǒng)通常是一類包含離散動態(tài)和連續(xù)動態(tài)的混雜系統(tǒng),故可將事件觸發(fā)控制下的系統(tǒng)建模為混雜系統(tǒng),以進(jìn)一步分析其穩(wěn)定性和魯棒性.Meslem等[4]提出了一種基于邊界限制的事件觸發(fā)控制框架,利用混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性理論對閉環(huán)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析.目前,事件觸發(fā)控制策略已被廣泛應(yīng)用于多智能體系統(tǒng)[5]、網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)[6]及Lurie系統(tǒng)[7-9]的控制研究.Lurie系統(tǒng)中一般包含線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),多數(shù)非線性系統(tǒng)均可描述為Lurie系統(tǒng),因此學(xué)者們針對Lurie系統(tǒng)的控制及其穩(wěn)定性分析展開了大量研究,如時(shí)滯問題[10-12]、量化問題[13]和脈沖同步問題[14]等.Zhang等[8-9]研究了Lurie系統(tǒng)的事件觸發(fā)反饋控制,將事件選取為誤差超過系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù),通過連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析給出系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理,并提出一類Lurie系統(tǒng)的周期事件觸發(fā)控制框架,從控制策略的設(shè)計(jì)上避免了芝諾現(xiàn)象.受文獻(xiàn)[4]的啟發(fā),本文擬將Lurie系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制閉環(huán)系統(tǒng)建模為混雜系統(tǒng),提出一種基于邊界限制事件觸發(fā)的魯棒性控制策略.

1 問題描述

1.1 連續(xù)控制

考慮如下受控Lurie系統(tǒng):

(1)

式中xp=(xp1,xp2,…,xpn)T為狀態(tài)變量;u∈Rm為待設(shè)計(jì)的控制輸入;A∈Rn×n,B1∈Rn×q,B2∈Rn×m,C∈Rn×q為常數(shù)矩陣;對任意s1,s2∈Rq,函數(shù)f(s):Rq→Rq滿足Lipschitz連續(xù),即

|f(s1)-f(s2)|≤L|s1-s2|,

(2)

式中L>0為具有合適維度的常數(shù)矩陣.

對于系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)連續(xù)狀態(tài)反饋控制器

u=-Kxp,

(3)

式中K為控制增益矩陣.

1.2 事件觸發(fā)控制

基于系統(tǒng)(1)引入快系統(tǒng)xf和慢系統(tǒng)xs作為輔助系統(tǒng)[4]:

(4)

式中βf,βs為輔助系統(tǒng)參數(shù),βf>1,0<βs<1. 進(jìn)而利用2個(gè)輔助系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)系統(tǒng)(1)的事件觸發(fā)控制策略.

事件觸發(fā)時(shí)刻由集合Ds和Df確定,在事件觸發(fā)控制下將控制輸入u視為系統(tǒng)狀態(tài),聯(lián)合輔助系統(tǒng)即可建立閉環(huán)混雜系統(tǒng)模型,其連續(xù)動力學(xué)為

(5)

離散動力學(xué)為

(6)

和

(7)

C={x∈R3n+m:Vp(xf)≤Vp(xp)≤Vp(xs)},

(8)

式中Vp(·)表示系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù).

定義如下流映射F和躍映射G:

(9)

于是,可將系統(tǒng)(5)～(7)簡化描述為如下混雜系統(tǒng)H形式:

(10)

2 連續(xù)控制器設(shè)計(jì)

命題1若存在矩陣S和對稱正定矩陣R,滿足如下線性矩陣不等式:

(11)

其中反饋增益K=SR-1,則Lurie系統(tǒng)(1)在控制器(3)的作用下是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 考慮Lyapunov函數(shù)

(12)

其中對稱正定矩陣P>0.

沿式(1)對Vp(xp)求導(dǎo)可得

由函數(shù)f(·)滿足式(2),可得

(13)

其中

(14)

當(dāng)Q<0時(shí),系統(tǒng)(1)在連續(xù)控制器(3)作用下是全局漸近穩(wěn)定的. 令P=R-1,K=SP,進(jìn)行變量代換,式(14)等式右側(cè)前后同乘P-1等價(jià)于

(15)

進(jìn)一步地,由引理1可知式(15)等價(jià)于式(11). 證畢.

3 事件觸發(fā)控制器設(shè)計(jì)

假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)(1)滿足命題1,則對所有的xp∈Rn,滿足

λmin(P)‖xp‖2

(16)

由快系統(tǒng)及慢系統(tǒng)的定義可知,對所有的xf∈Rn,xs∈Rn,滿足

λmin(P)‖xf‖2

3.1 穩(wěn)定性分析

下面對事件觸發(fā)控制下閉環(huán)系統(tǒng)(10)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

引理2[16]假設(shè)混雜系統(tǒng)H=(C,F,D,G),閉集A?Rn.V為系統(tǒng)H的一個(gè)Lyapunov函數(shù),若存在標(biāo)量α1,α2∈K∞和一個(gè)連續(xù)函數(shù)ρ∈P使得

(17)

則A對于系統(tǒng)H是全局漸近穩(wěn)定的.

定理1假設(shè)命題1成立,則對于由式(10)定義的混雜系統(tǒng)H,集合

A=Ap×Af×As×Rm={0}×{0}×{0}×Rm

(18)

在狀態(tài)空間域C∪D上是漸近穩(wěn)定的.

證明 考慮Lyapunov函數(shù)

(19)

由式(8)定義的流集可知,對任意x∈C,有

相似地,有

由此可得

|x|A=|xp|Ap+|xf|Af+|xs|As≤μ|xs|As,

μ-1|x|A≤|xs|As≤|x|A.

(20)

由式(12)可知,對所有x∈C,有

(21)

記

則根據(jù)式(21)可得

α1(|x|A)≤V(x)≤α2(|x|A),?x∈C∪D∪G(D).

(22)

據(jù)式(4)和式(13),對所有x∈C,有

結(jié)合式(20)可得

3.2 最小事件時(shí)間間隔存在性

下面討論排除閉環(huán)控制系統(tǒng)的芝諾現(xiàn)象,并給出定理表明閉環(huán)系統(tǒng)的最小事件時(shí)間間隔是正的.

定理2對于任意R>0以及00使得閉環(huán)混雜系統(tǒng)H在2個(gè)混雜時(shí)刻(t1,j1)<(t2,j2)之間跳躍的解滿足

r≤|x(t,j)|A≤R,?(t1,j1)≤(t,j)≤(t2,j2),

(23)

其中t2-t1≥tmin.

證明 給定0

4 魯棒性分析

考慮具有狀態(tài)干擾和外部擾動的閉環(huán)混雜系統(tǒng)

(24)

(25)

(26)

式中

注1與文獻(xiàn)[8]中基于狀態(tài)誤差的事件觸發(fā)控制策略相比,本文所提出的觸發(fā)事件設(shè)置更靈活,觸發(fā)頻率和控制性能均可通過輔助系統(tǒng)的參數(shù)來調(diào)整,并且由于所提出的事件觸發(fā)控制器與被控系統(tǒng)是在混雜系統(tǒng)框架下建立的閉環(huán)系統(tǒng)模型,故更利于研究和分析同時(shí)具有內(nèi)部狀態(tài)擾動和外部干擾的系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的魯棒性.

5 數(shù)值算例

考慮一個(gè)柔性連桿系統(tǒng)[18],其動力學(xué)模型可由式(1)描述,參數(shù)選取如下:

定義非線性函數(shù)f(x)=sin(x),該函數(shù)滿足Lipschitz連續(xù)條件,其中Lipschitz常數(shù)矩陣L可以取為單位矩陣. 根據(jù)命題1,利用MATLAB LMI工具箱求解矩陣不等式(11),得到一組可行解為

仿真中,選取式(4)中2個(gè)輔助系統(tǒng)參數(shù)βf=1.4,βs=0.6.

圖1給出了不考慮擾動時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)連續(xù)控制器、文獻(xiàn)[8]事件觸發(fā)控制方法以及本文所提事件觸發(fā)控制作用下的狀態(tài)響應(yīng)曲線. 為了對比系統(tǒng)狀態(tài)收斂時(shí)間一致下的事件觸發(fā)控制效果,設(shè)置文獻(xiàn)[8]中的事件觸發(fā)控制器參數(shù)α=0.8. 由圖1可見3種控制器作用下系統(tǒng)狀態(tài)收斂時(shí)間大致相同.

圖2顯示了文獻(xiàn)[8]事件觸發(fā)控制策略和本文所提事件觸發(fā)控制策略分別作用下的事件觸發(fā)時(shí)間間隔. 由圖2可見,文獻(xiàn)[8]方法下事件觸發(fā)更頻繁,共觸發(fā)33次,而本文所提事件觸發(fā)策略僅觸發(fā)11次即可達(dá)到相同的穩(wěn)定控制效果.

圖2 不同控制策略下的事件觸發(fā)時(shí)間間隔Fig.2 Inter-event intervals under different control strategies

圖3給出了連續(xù)控制和事件觸發(fā)控制下的控制輸入曲線. 由圖3可見控制器的更新是非固定周期的. 圖4給出了Lyapunov函數(shù)Vp(xp),Vp(xf)和Vp(xs)的演化曲線.由圖4可見,被控系統(tǒng)對應(yīng)的Lyapunov函數(shù)曲線始終處于2個(gè)輔助系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)曲線之間,驗(yàn)證了式(8)中對流集C的設(shè)計(jì)要求.

圖3 無擾動下的控制輸入Fig.3 Control input without perturbations

圖4 事件觸發(fā)控制下的Lyapunov函數(shù)值Fig.4 Graphical illustration of Lyapunov functions under event-triggered control

為了驗(yàn)證系統(tǒng)鎮(zhèn)定魯棒性,仿真中系統(tǒng)擾動取[0,0.01]之間的隨機(jī)擾動.擾動作用下被控系統(tǒng)狀態(tài)的收斂曲線及事件觸發(fā)控制輸入曲線分別如圖5～6所示. 由圖5～6可見:系統(tǒng)狀態(tài)存在擾動時(shí)控制輸入的更新次數(shù)增多;當(dāng)存在小擾動時(shí),基于本文提出的事件觸發(fā)控制策略仍可魯棒鎮(zhèn)定被控系統(tǒng)狀態(tài),驗(yàn)證了定理3的結(jié)論.

圖5 存在擾動與無擾動時(shí)事件觸發(fā)控制下的狀態(tài)時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 Time responses of system states under event-triggered control with and without perturbations

圖6 存在擾動與無擾動下的事件觸發(fā)控制輸入Fig.6 Event-triggered control with and without perturbations

6 結(jié)語

本文針對Lurie非線性系統(tǒng)提出了一種新的基于邊界限制事件觸發(fā)的控制器設(shè)計(jì)方法.根據(jù)連續(xù)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)控制器增益矩陣,再引入輔助系統(tǒng)并以其Lyapunov函數(shù)為界,當(dāng)被控系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)到達(dá)邊界時(shí)更新控制量,否則控制量維持不變.將事件觸發(fā)控制閉環(huán)系統(tǒng)建模為混雜系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,并討論了系統(tǒng)存在外部干擾和內(nèi)部擾動時(shí)的魯棒性問題.通過柔性連桿系統(tǒng)仿真驗(yàn)證了所提控制策略的有效性和優(yōu)越性.