非完全有限維金融市場(chǎng)未定權(quán)益定價(jià)的度量廣義逆方法*

王筱凌,王玉文

(1. 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院;2.哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

(2)

其中上標(biāo)“T”為矩陣的轉(zhuǎn)置.

1 可達(dá)權(quán)益的套利定價(jià)的已知結(jié)論

如果m個(gè)向量{θ(i)∈Rn}1≤i≤m滿足

(4)

則稱{θ(i)}1≤i≤m為Arrow-Debreu證券.t= 0時(shí)刻，投資組合θ(i)的價(jià)值為

即Arrow-Dedreu證券θ(i)在t=0時(shí)刻的價(jià)格為ψi(i=1,2,…,m).

記

則對(duì)于任意投資組合θ∈Rn，有

因此，由定義1.1，c∈Rm可達(dá)，當(dāng)且僅當(dāng)，存在θ∈Rn滿足c=XT·θ，于是得到

于是可知，如果市場(chǎng)無(wú)套利，則對(duì)任意可達(dá)的權(quán)益c，其在t= 0時(shí)的價(jià)格為

c0=e-rTEQ[c]=e-rTEQ[XT·θ]=X0·θ

(6)

定義1.2 金融市場(chǎng)稱為完全的，如果對(duì)每一個(gè)未定權(quán)益是可達(dá)的，即

?c∈Rn,?θ∈Rn,使得：c=XT·θ

引理1.1[2]一個(gè)由n個(gè)可交易資產(chǎn)組成的，按照從t= 0 時(shí)刻到t=T時(shí)刻模型演變的市場(chǎng)，如果在這段時(shí)期[0,T]內(nèi)，經(jīng)過(guò)N個(gè)交易日，在T時(shí)刻，每個(gè)可交易資產(chǎn)的價(jià)值，對(duì)應(yīng)于m個(gè)狀態(tài)之一，那么這個(gè)市場(chǎng)是完全的當(dāng)且僅當(dāng)n大于或等于m，且償付矩陣的秩為m.

證明(參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]命題1.6.5)

因此，在現(xiàn)實(shí)中，完全金融市場(chǎng)只是理想情形，應(yīng)該討論非完全金融市場(chǎng)中定價(jià).

2 非完全金融市場(chǎng)中未定權(quán)益的定價(jià)

以下假定m>n，因此金融市場(chǎng)是非完全的.為討論方便，令

當(dāng)m>n時(shí)，金融市場(chǎng)非完全.設(shè)矩陣A的秩為n，此時(shí)A的值域?yàn)閚維子空間，且

R(A)={Ax:x∈Rn} ?Rm

在空間Rm中賦l2范數(shù)，即對(duì)y∈Rm，定義

設(shè)A=(aij)1≤i≤m1≤j≤n，對(duì)于x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，定義y=(y1,y2,…,ym)T=Ax

(8)

證明(參見(jiàn)文獻(xiàn)[3]).

y=PP(A)(y)+y1,,y1∈R(A)┐

如果x0∈A-1PR(A)(y)，即Ax0=PR(A)(y)，則稱x0為Ax=y的最小二乘解；

如果x0∈A-1PR(A)(y)，且對(duì)任意x∈A-1PR(A)(y)，有‖x0‖2≤‖x‖2，則稱x0為Ax=y的最小l2范數(shù)最小二乘解，亦稱最佳逼近解.

如果x0∈A-1PR(A)(y)，且對(duì)任意x∈A-1=PR(A)(y)，有‖x0‖1≤‖x‖1，則稱x0為Ax=y的最小l1范數(shù)最小二乘解，也稱最佳逼近解.

設(shè){xn}?A-1PR(A)(y),x0∈Rn滿足‖xn-x0‖1→0(n→∞)，由定理2.1，有

‖PR(A)(y)-Ax0‖2=‖Axn-Ax0‖2≤‖A‖‖xn-x0‖1→0

(9)

0

選正整數(shù)k>0，滿足

使得

inf {‖x‖1:x∈A-1PR(A)(y)}-

滿足‖xl-x0‖1→0,(l→∞).

由引理2.2，知x0∈A-1PR(A)(y).

且由范數(shù)的連續(xù)性，有‖x0‖1=inf{‖x‖1:x∈A-1PR(A)(y)}，故由A?(y)的定義，知x0∈A?(y)，即A?(y)非空.

任取x1,x2∈A?(y)，由引理2.2及A?(y)的定義，有

λx1+(1-λ)x2∈A-1PR(A)(y) ，

且‖λx1+(1-λ)x2‖1≤λ‖x1‖1+(1-λ)‖x2‖1=inf{‖x‖1:x∈A-1PR(A)(y)}

于是λx1+(1-λ)x2∈A?(y)，所以A?(y)為凸集.

xk∈A-1PR(A)(y),‖xk‖1=inf{‖x‖1:

x∈A-1PR(A)(y)},(k=1,2,…);x0∈A-1PR(A)(y),

定義2.2[4]設(shè)X,Y為Banach空間，T∈L(X,Y)為線性算子，集值映射T?:Y→2D(T)定義為

T?(y)={x0∈D(T):x0為Tx=y的最佳逼近解},y∈D(T?)

(10)

稱為T的集值度量廣義逆，其中

D(T?∈)={y∈Y;Tx=y在D(T)中有最佳逼近解}

(11)

此處，x0∈D(T)稱為Tx=y的最佳逼近解，是指：

Tx0-y‖Y=inf{‖Tx-y‖Y:x∈D(T)}, 且對(duì)任何滿足

x1∈D(T),‖Tx1-y‖Y=inf{‖Tx-y‖Y:x∈D(T)} 的x1，有‖x0‖X≤‖x1‖X.

如果單值算子Tσ:D(T?)→D(T)滿足：

?y∈D(T?),Tσ(y)∈T?(y)，則稱Tσ為T?的單值選擇.

1974年，Nashed M Z與 Votruba G V在文獻(xiàn)[4]中提出研究建議：集值度量廣義逆具有良好性質(zhì)的單值選擇是值得研究的.這一研究建議，自2008年文獻(xiàn)[5]的研究之后得到實(shí)質(zhì)進(jìn)展.該文研究此建議的具體案例.

(1)AA+A=A;

(2)A+AA+=A+

(3)(A+A)*=A+A;

(4)(AA+)=AA+

則稱A+為A的Moore-Penrose逆.

引理2.4[7]設(shè)A=(aij)m×n為m×n階實(shí)矩陣，則

(1)存在A的唯一Moore-Penrose逆A+：

證明(參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]).

(12)

(13)

證明(1)由引理2.1可得.

(2)由引理2.3可得.

‖x0‖2=inf{‖x‖2:x∈A-1PR(T)(y)}

(14)

(15)

由于 ?x∈Rn，有‖x‖2≤‖x‖1，從而由(15)及A?(y)的定義，有

(16)

另一方面，由(14)知，唯一的x0∈Rn，滿足

‖x0‖2=inf{‖x‖2:x∈A-1PR(T)(y)}≤inf{‖x‖1:A-1PR(A)(y)}

(17)

下面討論上述結(jié)果在證券定價(jià)中應(yīng)用.

‖y-PR(T)(y)‖2=inf{‖y-z‖2:z∈R(T)}

(18)

C0=e-rTEQ[PR(A)(y)]

(19)

于是由(6)，(18)及(19)式，有

C0=e-rTEQ[XT·x]=X0·x=X0·A+y