“圍”中感悟，“圍”中辨析，“圍”中拓展
——數學概念走向深度理解策略例談

福建省廈門市湖里第二實驗小學 江 鷺

小學數學概念主要有數的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比與比例的概念、方程的概念以及統(tǒng)計初步知識的有關概念等，這些數學概念是構成小學數學基礎知識的重要內容。但是，在教學實踐中發(fā)現，對小學生來說，要掌握集抽象性與概括性于一體的數學概念有難度，他們喜歡動手操作、喜歡“玩學具”。那么，有沒有可能讓學生在“玩學具”的同時為“學概念”奠定基礎呢？進一步說，是不是可以借助學具，通過動手操作去促進學生對概念的深度理解呢？基于上述思考，就有了利用釘子板來輔助概念教學的想法。在“認識平行四邊形”一課的教學中，我讓學生一邊“玩釘子板”，一邊理解和學習概念，讓學生在“圍”中感悟概念的內涵，在“圍”中辨析概念的外延，在“圍”中拓展概念的結構，從而促進學生對概念的深度理解。

一、“圍”中感悟，促進學生深度理解數學概念的內涵

數學概念的理解，本質上是對數學概念內涵的理解。數學概念的內涵在表述上往往具有簡明、抽象的特點，對此，學生的理解往往是有困難的。抽象概念的理解需要借助形象的手段，完成個人意義上的自我建構，動手操作是一個好的媒介。在認識平行四邊形的教學活動中，我借助釘子板，讓學生在“圍”中感悟，促進學生深度理解平行四邊形概念的內涵。

上課伊始，我讓學生憑著之前的學習印象用橡皮筋在釘子板上快速圍一個平行四邊形。在展示學生作品時，我并沒有直接出示完整的圖形，而是先把圖形遮去一半，再慢慢地展露出整個圖形，讓學生逐步做出判斷。（如下圖）

1 號圖形

2 號圖形

“1 號圖形”被遮住了一半，學生剛開始無法確定，直到圖形全部露出后才判斷所圍的圖形是平行四邊形?！? 號圖形”也被遮住一半，但大多數學生能借助釘子板各點間距相等的特點，發(fā)現圖形上下兩條邊之間的距離不相等，不用看見完整的圖形，就能馬上判斷出“2號圖形”不是平行四邊形。在“半遮半掩”中，學生的目光自然而然地聚焦到“對邊是否平行”這一平行四邊形的數學內涵之上。

課的最后，我首尾呼應，再次設計了一個圍平行四邊形的操作活動：公園內規(guī)劃了一塊平行四邊形的綠地，設計師已經在方格圖中畫出了這個平行四邊形的三個頂點，位置分別是A、B、C，請問第四個頂點D的位置可能在哪里？你能不能在釘子板上圍出來？（如下圖）教學過程中，我讓學生先脫離釘子板，在腦中想象，而后讓他們在釘子板上動手操作，驗證自己的想法。學生在發(fā)散思維的過程中，再次鞏固了概念的內涵：只要是兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形。兩組對邊分別平行是“一個四邊形是平行四邊形”的充分必要條件。

學生經歷以上兩次圍平行四邊形的操作活動后，對平行四邊形的概念有了更清楚的認識。

二、“圍”中辨析，促進學生深度理解數學概念的外延

數學概念的構成有內涵和外延兩個方面，明確數學概念包括明確概念的內涵和外延，數學概念理解的關鍵是對數學概念內涵的理解，與此相對應的是對數學概念外延的辨別與確定。學生對數學內涵的理解是否深入、是否深刻，往往可以用能否準確界定數學概念的外延作為考查的手段和指標。在數學概念外延的理解上，一般的教學手段是借助變式，在充分的變式中讓學生清晰辨明：對于相關數學概念，哪些特征是數學概念的本質屬性，哪些特征是數學概念的非本質屬性。在這一過程中，學生界定了概念的外延，同時也更深刻地理解了概念的內涵。

具體到本節(jié)課中，在學習概念之后，我讓每個學生在釘子板上再圍一個平行四邊形，同桌互相判斷圍的圖形對不對。這時，有學生提出疑問：圍成的圖形有的胖、有的瘦，有的高、有的矮，有的往左傾斜、有的往右傾斜，都是平行四邊形嗎？我引導學生仔細觀察每一個圖形的對邊，他們在對比、討論之后發(fā)現，圍成的四邊形雖然形狀各異，雖然傾斜的程度不同，但都滿足平行四邊形的特征，即“兩組對邊分別平行”，所以都是平行四邊形。（如下圖）

這個環(huán)節(jié)，學生從不同中歸納出相同，又從相同中分辨出不同，對平行四邊形這一數學概念的外延更加明晰。在判斷中，學生緊抓概念本質“只要兩組對邊分別平行的四邊形就是平行四邊形”，這正是平行四邊形這一概念的內涵，在反復判斷中，學生對概念內涵的理解也更深刻了。

三、“圍”中拓展，促進學生深度理解數學概念的結構

數學知識的產生從來不是割裂的，其具有網狀的、鏈條式、結構化的發(fā)展特點。對數學概念的理解走向結構化，是學生對數學概念深度理解的體現。本課中，為了幫助學生深刻理解平行四邊形的概念，我設計了“圍一個特殊的（不一樣的）平行四邊形”的操作環(huán)節(jié)，并讓學生和同桌說一說它特殊在哪兒。

這個環(huán)節(jié)是本課的高潮，學生圍出的圖形多種多樣，有的特別扁，有的特別大，有的特別高。突然，一個男生興奮地高舉著他的釘子板，自豪地說：“我圍的最特殊，是長方形！”學生一聽都安靜了，我趁熱打鐵發(fā)問：“長方形是平行四邊形嗎？”他迫不及待地為自己辯解：“長方形滿足兩組對邊分別平行的條件，它是平行四邊形，特殊在它有四個直角！”這時候，另外一個女生也站起來舉著她的釘子板說：“我圍的是正方形，不僅滿足兩組對邊分別平行，而且四個角都是直角，四條邊都相等，也是特殊的平行四邊形！”學生一聽紛紛點頭，長方形和正方形雖然有特殊的角度或者邊長，但都滿足平行四邊形概念的本質“兩組對邊分別平行”，它們都是特殊的平行四邊形。

這個環(huán)節(jié)的教學打通了這三種圖形之間的聯系，學生頭腦中關于平行四邊形的認識體系更豐滿了，長方形和正方形都是特殊的平行四邊形，而正方形不僅是特殊的平行四邊形，還是特殊的長方形。顯然，這種數學概念的理解水平已經達到結構化的程度。

在小學數學概念教學過程中，教師要了解數學概念的特點和要求，了解概念的發(fā)生發(fā)展過程，借助學具動手操作感悟概念的內涵，明晰概念的外延，整體把握概念的體系，使學生不僅能掌握概念，而且在解決問題的過程中能夠靈活運用，從而實現對數學概念的深度理解。