車輛各輪相干橋面不平順激勵的車橋耦合振動

陳水生， 趙 輝*， 李錦華， 夏鈺桓

(1.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013； 2.湖北恒大建設(shè)工程有限公司，武穴 435400)

1 引 言

在空間上處于車輪與橋梁間的橋面不平順既影響車輛行駛安全和乘坐舒適性，也是橋梁產(chǎn)生隨機振動的主要激勵源。如何建立有效的貼近實際的橋面不平順隨機激勵模型，對研究車橋耦合系統(tǒng)的振動規(guī)律至關(guān)重要。雖然國內(nèi)外學(xué)者對車橋耦合振動的研究從未間斷，也創(chuàng)造了很多有價值的成果,但針對橋面不平順隨機激勵的數(shù)值模擬，大多采用濾波白噪聲法、諧波疊加法和逆傅里葉變換法等方法[1-5]，沒有考慮車輛左右輪跡的相干性。已有的研究表明，雖然車輛各輪具有相同的功率譜密度，但左右輪跡間存在互譜，再現(xiàn)兩輪轍激勵時域模型時必須考慮其空間相干性[6]。而有關(guān)車輛左右輪跡相干的橋面激勵研究大多采用濾波白噪聲法[7,8]，該方法通過擬合左右輪跡間的傳遞函數(shù)生成左右輪相干的激勵樣本，但生成的右輪跡激勵樣本丟失了高頻成分，導(dǎo)致不能吻合目標功率譜密度，雖然有學(xué)者對丟失的高頻成分進行補償，但效果并不理想，高頻成分很難把握，波動較大[9]。文獻[10]雖然考慮了各車輪間的相干函數(shù)關(guān)系，但時域模型沒有驗證有效性；文獻[11,12]分別采用諧波疊加法和逆傅里葉變換法建立了左右輪跡相干的路面隨機激勵模型，但沒有說明相位角的相干關(guān)系建立過程，且左右輪路面激勵樣本的相干函數(shù)值與理論值誤差較大。

因此，針對上述研究中車輛各輪相干橋面激勵模型存在的不足，本文考慮左右輪間的相干函數(shù)關(guān)系和前后輪間的時間滯后關(guān)系，詳細推導(dǎo)了左右輪橋面不平順特性中對應(yīng)相位角的相干關(guān)系，利用相位角的相干關(guān)系建立車輛各輪相干的橋面不平順時域模型，并驗證了時域模型的有效性。最后，通過工程實例說明車輛六輪相干橋面隨機激勵對車橋耦合振動的影響。

2 車輛六輪相干橋面不平順激勵模型

2.1 單輪橋面不平順激勵模型

基于功率譜表征的方法，車輛單輪橋面激勵隨機過程r(t)可以表示為傅里葉隨機增量的Fourier-Stieltjes積分[13],

(1)

隨機增量dZ(ω)必須滿足如下的正交條件，

E{dZ(ω)}=0

(2)

(3)

式中Sr(ω)為橋面不平順的功率譜密度函數(shù)。當(dāng)隨機過程為實數(shù)時，需滿足dZ(-ω)=dZ*(ω)，方程(1)可以表示為

(4)

對式(4)的隨機增量可以有如下近似表達式，

(5)

(6)

2.2 左右輪相干橋面激勵模型

δ(ω+ωk)]dω=Sr(ω)

(7)

左右輪橋面不平順的互功率譜密度函數(shù)計算如下,

(8)

根據(jù)左右輪跡相干函數(shù)的定義，可以得到相干函數(shù)與左右輪跡相位角的關(guān)系為

(9)

(10)

式中sign(x)為符號函數(shù)，x為正負隨機數(shù)，已知左右輪跡的相干函數(shù)，并將上述得到的右輪跡相位角代入式(6)，就可以得到右輪的時域樣本。

2.3 前后輪橋面激勵模型

同一側(cè)的輪跡，中輪和后輪的橋面激勵滯后前輪一段時間，中輪和后輪的橋面激勵數(shù)學(xué)表示為

(11)

按照前后輪時間滯后的關(guān)系，結(jié)合式(8)可以求得中輪和后輪的橋面激勵樣本，如左側(cè)中輪的求解可以表示為

(12)

3 數(shù)值算例

道路不平順是一隨機過程，具有各態(tài)歷經(jīng)性，當(dāng)車輛以速度v勻速行駛時，橋面激勵輸入的功率譜密度(PSD)可以表示為

(13)

式中n0=0.1m-1為空間參考頻率,Sr(n0)為橋面不平度系數(shù)，與橋面等級有關(guān),ω為頻帶[ωL,ωU]的某一圓頻率。

為驗證本文車輛六輪相干橋面不平順時域模型的有效性，采用文獻[14]的相干函數(shù)模型

(14)

圖1 左側(cè)輪跡不平度樣本

圖2 前中后輪互相關(guān)函數(shù)

計算左輪跡各車輪橋面激勵樣本的功率譜密度，并與理論值進行對比，如圖3所示，可以看出,橋面激勵樣本的功率譜與理論功率譜吻合很好。

圖3 橋面激勵的功率譜密度

相同的相干函數(shù)模型式(14)，不同的車輛各輪相干橋面激勵生成方法，圖4給出了本文方法生成的橋面不平順時域樣本的相干函數(shù)，并與文獻[11,12]方法的研究結(jié)果進行對比。可以看出，頻率越低，相干性越強，頻率越高，相干性越弱；本文方法左右輪跡的相干函數(shù)與理論值非常吻合，而文獻[11,12]的誤差相對較大；綜上所述，說明本文的車輛六輪相干多變量橋面不平順時域模型有效可靠且精度較高。

圖4 左右輪相干函數(shù)計算值與理論值對比

4 工程應(yīng)用

4.1 車橋耦合振動模型

采用傳統(tǒng)的彈簧-質(zhì)量-阻尼振動體系將一輛三軸重載汽車簡化為三軸九自由度空間模型，考慮車體豎向振動、縱向點頭、側(cè)翻以及車輪振動，車輛參數(shù)參考文獻[15]。依據(jù)達朗貝爾原理，建立九自由度車輛振動方程如下,

(15)

以江西奉銅高速公路上的某預(yù)應(yīng)力混凝土簡支T梁橋為研究對象，橋梁上部結(jié)構(gòu)由6片T梁組成，T梁高2 m，單片梁寬2.1 m。橋面橫向布置為0.5 m(防撞欄)+11.65 m(行車道)+0.5 m(防撞欄)。使用廣義坐標離散的方法建立橋梁的振動方程，

(16)

式中Fg為車輛自重引起的各車輪作用點處的荷載向量，s為單元結(jié)點向量。

采用模態(tài)綜合法，聯(lián)立式(15，16)，可得車橋耦合振動方程為

(17)

式中Mb v，Cb v和Kb v分別為車橋相互作用模型的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，F(xiàn)w為路面不平順隨機激勵引起的車橋耦合豎向荷載，u為廣義坐標向量。

(18)

(19)

4.2 車橋耦合振動響應(yīng)分析

為充分體現(xiàn)橋面激勵的隨機性特征，本文在分析車輛六輪相干橋面隨機激勵對車橋系統(tǒng)的影響時，采用傳統(tǒng)蒙特卡羅法對車橋振動響應(yīng)進行統(tǒng)計分析。按照本文車輛六輪相干橋面不平順激勵時域樣本的生成方法，隨機產(chǎn)生10000個橋面不平順激勵樣本，求解車輛和橋梁在不同不平順樣本激勵下的振動響應(yīng)。為研究方便，車輛荷載只考慮一種布置方式，荷載作用在次邊梁上，車輛外側(cè)車輪距離防撞欄1.475 m，車輛以72 km/h的速度行駛在B級橋面。

4.2.1 考慮車輛六輪相干性

如前言所述，學(xué)者們在研究車橋耦合振動響應(yīng)時，并沒有考慮車輛多輪多點的相干性，為了分析車輛左右輪相干橋面不平順激勵對車橋系統(tǒng)的影響，以前軸左右車輪為例，圖5給出了左右輪相干和不相干的橋面不平順激勵樣本的功率譜密度，可以看出，考慮相干的前軸左右輪橋面不平順激勵的功率譜曲線幾乎是重合的，即左右輪橋面不平順激勵頻率幾乎相同；而不相干的前軸左右輪橋面不平順激勵的功率譜曲線明顯不同，即左右輪橋面不平順激勵頻率不相同。從圖6前軸左右輪的車橋相互作用力也可以看出，相干橋面不平順激勵的左右輪車橋相互作用力幾乎是重合的，左右輪的車橋相互作用力均值都是31.754 kN，標準差都是24.25 kN；不相干橋面不平順激勵的左右輪車橋相互作用力完全不同，其左右輪車橋相互作用力的均值分別為32.314 kN和32.55 kN，標準差分別為26.781 kN和28.481 kN?？梢姡笥逸喯喔傻臉蛎娌黄巾樇铑l率相同，左右車輪的車橋相互作用力也相同；而不相干的左右輪橋面不平順激勵頻率不同，且左右輪的車橋相互作用力差別較大。

圖5 前軸左右輪的橋面不平順功率譜密度

圖6 前軸左右輪的車橋相互作用力

車輛各輪相干和不相干橋面不平順激勵下的橋梁邊梁跨中豎向位移響應(yīng)如圖7所示，可以看出，車輛六輪相干與不相干的橋梁豎向位移響應(yīng)均值基本重合，說明橋梁的振動響應(yīng)主要是由車輛自身重力這一確定性荷載激勵引起；車輛六輪相干的橋面隨機激勵對橋梁豎向位移響應(yīng)均值影響很小，但對橋梁豎向振動響應(yīng)標準差的影響大于不相干橋面激勵，表明其增大了橋梁振動響應(yīng)的離散程度；相干橋面激勵下的橋梁豎向位移標準差最大值是不相干橋面激勵效應(yīng)最大值的1.4倍。

圖7 橋梁振動響應(yīng)

為了探究車輛六輪相干橋面不平順激勵對車體豎向、俯仰和側(cè)傾三個方向振動響應(yīng)的影響，圖8 和圖9分別給出了車體的振動位移和振動加速度響應(yīng)，可以看出，車體豎向位移響應(yīng)的均值受車輛六輪相干橋面激勵的影響較大，相干橋面激勵的車體豎向位移響應(yīng)均值最大值是不相干橋面激勵效應(yīng)最大值的1.12倍；相干橋面激勵的車體豎向位移標準差和加速度響應(yīng)標準差的最大值分別是不相干橋面激勵效應(yīng)最大值的1.46倍和1.43倍；相干橋面激勵的車體俯仰角位移標準差和加速度標準差最大值分別是不相干橋面激勵效應(yīng)最大值的1.41倍和1.38倍；但是，相干橋面激勵的車體側(cè)傾角位移標準差和加速度標準差小于不相干橋面激勵效應(yīng)，不相干的位移標準差最大值和加速度標準差最大值分別是相干的4.83倍和3.72倍。車體側(cè)傾角振動響應(yīng)出現(xiàn)相干情況小于不相干情況，這與圖5和圖6的結(jié)果一致，不相干的橋面不平順激勵頻率不同且左右輪車橋相互作用力大小不同，導(dǎo)致了車體左右搖擺較為劇烈，引起較大的側(cè)傾角振動響應(yīng)。

圖8 車體振動位移響應(yīng)

圖9 車體振動加速度響應(yīng)

可見，車輛各輪相干橋面不平順激勵對車橋耦合振動系統(tǒng)的影響較大，且對車體振動的影響大于對橋梁振動的影響，使車輛豎向振動和前后點頭振

動更激烈，但又減弱了車輛左右搖擺的激烈程度；車橋耦合系統(tǒng)的振動位移響應(yīng)對車輛各輪相干橋面激勵比振動加速度響應(yīng)敏感，特別是車輛振動位移標準差會隨著車輛的行駛有小幅度緩慢增加，而振動加速度標準差卻趨于平緩。因此，在研究車橋耦合振動時，有必要考慮車輛各輪橋面不平順激勵的相干性。

4.2.2 不同相干函數(shù)

車輛左右輪跡相干函數(shù)模型通常需要現(xiàn)場實測并經(jīng)過擬合得到，除了本文分析采用的文獻[14]相干函數(shù)，還有文獻[16]的長春汽車研究所在柏油路上測定的相干函數(shù)模型和文獻[17]的相干函數(shù)模型。采用不同的相干函數(shù)模型生成多變量橋面激勵，其對橋梁邊梁跨中豎向和車輛側(cè)傾角振動響應(yīng)標準差的影響如圖10所示?？梢钥闯觯N相干函數(shù)模型對橋梁振動響應(yīng)的影響相差不大，文獻[16]誤差相對較小，文獻[14，17]結(jié)果較為接近；但車輛側(cè)傾角振動響應(yīng)對不同的相干函數(shù)模型很敏感，文獻[16]相干函數(shù)模型影響最大，文獻[17]相干函數(shù)模型影響最小。

圖10 不同相干函數(shù)模型的車橋系統(tǒng)振動響應(yīng)

4.2.3 不同相干強度

圖11 不同相干強度的車橋系統(tǒng)振動響應(yīng)

5 結(jié) 論

本文在功率譜表示法生成單變量橋面不平順的基礎(chǔ)上，根據(jù)車輛左右輪橋面不平順特性中對應(yīng)相位角的相干關(guān)系，生成車輛各輪相干的橋面不平順隨機激勵。數(shù)值算例結(jié)果表明，利用相位角相干生成的車輛各輪相干橋面不平順激勵，不僅滿足理論功率譜密度和相干函數(shù)的要求，還比其他生成方法精度高。在實際工程中，車輛各輪相干橋面激勵增大了橋梁的振動響應(yīng)，也增大了車輛的豎向和俯仰角振動響應(yīng)，但減小了車輛側(cè)傾角振動響應(yīng)。不同相干函數(shù)模型對橋梁振動影響較小，對車輛振動影響較大，且車橋系統(tǒng)的振動響應(yīng)對相干強度的強弱很敏感。