非線性動力方程精細積分法的自適應(yīng)步長研究

王海波， 紀(jì)海潮

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410075)

1 引 言

鐘萬勰[1]提出的精細積分方法，為非線性系統(tǒng)的時程分析開辟了嶄新的途徑；趙秋玲[2]提出了一種非線性系統(tǒng)線性化的精細積分法；張洵安等[3]提出了一種精度較高的線性化迭代精細積分方法；裘春航等[4]將非線性部分用j次多項式來近似；李金橋等[5]先將非線性部分在tk時刻展開成泰勒級數(shù)形式，然后將非線性積分項采用泰勒展開法或高斯-勒讓德數(shù)值積分法與精細積分法結(jié)合進行求解；王海波等[6]將精細積分法與Adams-Bashforth-Moulton多步法相結(jié)合，提出了一種高精度和高效率的精細積分多步法；李緯華等[7]利用改進的歐拉法對狀態(tài)變量進行預(yù)估及校正，然后結(jié)合辛?xí)r間子域法對非線性方程進行求解；江小燕[8]根據(jù) Hamilton 變作用定律構(gòu)造了時空有限元矩陣，提出了求解非線性動力方程的精細時空有限元法；王海波等[9]結(jié)合精細積分法和Romberg數(shù)值積分，提出了一種避免狀態(tài)矩陣求逆的高效精細積分單步法；梅樹立等[10]利用龍貝格積分法的自適應(yīng)性解決時間步長的選擇問題，提出了結(jié)構(gòu)非線性動力方程的自適應(yīng)精細積分算法；李健等[11]基于積分區(qū)間逐次半分的思想實現(xiàn)了任意時間步長的自適應(yīng)求積。

本文基于Adams顯式和隱式預(yù)估公式實現(xiàn)對時間步長的自適應(yīng)選擇，使得時間步長依賴于給定的誤差限值。算例證明該思想可以應(yīng)用于預(yù)估型(求解過程需要用到預(yù)估公式)精細積分算法，能有效提高計算精度，同時使得算法具有很好的穩(wěn)定性，能解決剛度軟化和剛度硬化問題，具有廣泛的適用性。

2 自適應(yīng)步長的實現(xiàn)原理

2.1 非線性動力方程

非線性動力方程可以表示為

(1)

利用文獻[1]的指數(shù)矩陣可將其轉(zhuǎn)化為如下同解積分方程，

(2)

式中v(tk + 1)和v(tk)分別為所求解向量在時刻tk + 1和tk的值。

對于式(2)，第一項可直接采用精細算法精確得到，計算精度非常高，因此誤差的主要來源是對第二項的處理。對于第二項，精細積分算法會用到預(yù)估公式，如文獻[6，9](先對v(tk + j / 4)(j=1,2,3,4)進行預(yù)估，再進行數(shù)值積分的一種精細積分算法)。

為數(shù)學(xué)上敘述方便，對積分方程(3)進行討論。

(3)

2.2 Adams顯式與隱式預(yù)估公式

設(shè)由r+1個已知的數(shù)據(jù)點(xn,fn)，(xn - 1,fn - 1)，…，(xn - r,fn - r)構(gòu)造插值多項式pr(x)，其中fk=f(xk,yk)，xk=x0+kh(h為時間步長)，運用插值公式有

(4)

(5)

得到r+1階Adams顯式公式,

(6)

(j=0,1…,r)

同理，由r個已知的數(shù)據(jù)點(xn,fn)，(xn - 1,fn - 1),…，(xn - r + 1,fn - r + 1)以及一個未知的數(shù)據(jù)點(xn + 1,fn + 1)，構(gòu)造插值多項式pr(x)，就可以得到r+1階Adams隱式公式。

2.3 Adams公式的局部誤差

y(xn + 1)為真實值，yn + 1為基于預(yù)估公式對y(xn + 1)的預(yù)估值，誤差函數(shù)Tn + 1=y(xn + 1)-yn + 1。

構(gòu)造如下具有p階精度的預(yù)估公式：

yn + 1=α0yn+α1yn - 1+…+αryn - r+

h(β-1fn + 1+β0fn+…+βrfn - r)

(7)

(8)

式(8)右端各項在點xn處作Taylor展開，整理得

y(p + 1)(xn)+O(hp + 2)

(9)

當(dāng)參數(shù)αk和βk滿足式(10)時，預(yù)估公式達到p階精度。

(10)

當(dāng)r=3，p=4，取β-1=0，α1=α2=α3=0，由式(10)可得出其他待定參數(shù)的方程組，解之得

(11)

(12)

式(11)是四階精度的Adams顯式公式，式(12)是其截斷誤差。同理可以得出各階精度Adams 公式的局部截斷誤差主項，列入表1。

表1 局部截斷誤差主項Tab.1 Local truncation error main term

2.4 誤差估計及其優(yōu)點

使用Adams顯式公式進行預(yù)估，將其結(jié)果作為已知的數(shù)值點代入Adams隱式公式，再利用Adams顯式與隱式公式的局部誤差公式，即可得到對一個時間步長的誤差估計，下面以四階精度的Adams顯式公式和隱式公式為例。

(13)

fn - 2]

(14)

(15)

(16)

(17)

ξ(xn + 1)=max[abs(ξ′(xn + 1))]

(18)

(19)

計算時，可調(diào)節(jié)計算步長，使ξ(xn + 1)

(1) 通過選擇r+1階Adams公式及誤差限值a，理論上可以實現(xiàn)任意精度的計算結(jié)果。

(2)ξ(xn + 1)

(3) 式(14～19)的系數(shù)均是小于1的數(shù)，在進行重復(fù)計算時，使得計算誤差不會累計擴大，具有良好的穩(wěn)定性。

3 自適應(yīng)時間步長精細積分算法

在精細積分算法中，預(yù)估環(huán)節(jié)應(yīng)用本文第2節(jié)的內(nèi)容，即可實現(xiàn)自適應(yīng)時間步長，本節(jié)以四階精度的Adams公式進行說明。

3.1 流程圖及參數(shù)分析

a的取值決定求解的時間步，進而影響求解精度與效率，在給定a值時，要注意每步局部誤差的大小與采用的Adams公式的精度有關(guān)，如對于四階精度的Adams公式，其局部誤差的大小是時間步長的5次方。在選定a值時，要根據(jù)實際問題允許的誤差范圍，再結(jié)合采用的Adams公式的精度及所希望的時間步長范圍綜合考慮。

b為根據(jù)結(jié)構(gòu)非線性程度控制時間步長縮小的參數(shù)，可以在不同的時段內(nèi)設(shè)置不同的b。當(dāng)函數(shù)的階數(shù)越高，就需要越多的控制點才能準(zhǔn)確描繪出曲線。求解非線性動力方程得到時程曲線，進而得到位移-時間的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)某一時間段內(nèi)的函數(shù)階數(shù)較高時，即非線性程度較高時，可以取較小的b值，結(jié)果是所取時間步長會較小，該時間步長內(nèi)的函數(shù)階數(shù)就會相應(yīng)降低，預(yù)估的結(jié)果更加準(zhǔn)確。

圖1 算法流程

3.2 文獻[6]+自適應(yīng)步長

為便于說明基于Adams顯式和隱式預(yù)估公式實現(xiàn)對時間步長的自適應(yīng)選擇思想在精細積分算法中的應(yīng)用，選擇以文獻[6]為基礎(chǔ)，其步驟簡單，思路清晰。

采用四階精度的Adams公式對式(2)的v(tk + 1)進行預(yù)估,

P(tk+1)=eH Δ tv(tk)+wk

(20)

37F(tk - 2)-9F(tk - 3)]

(21)

(i=0,1,2,3)(22)

Ej=eH (tk - j + 1-tk - i)

(j=0,1,2,3)(23)

式中Ej(j=0,1,2,3)采用精細算法[1]精確得到。

(24)

令F(tk + 1)=f[m(tk + 1),tk + 1],

(25)

F(tk - 3)]

(26)

(27)

給定誤差限值a，根據(jù)ξ(tk + 1)進行判斷,

(1) 當(dāng)ξ(tk + 1)≤a時

(28)

進入下一時間步的計算。

(2) 當(dāng)ξ(tk + 1)>a時，令

Δt=bΔt，E0=eH Δ t

(29，30)

返回式(20)重新進行計算。

式(24)的(Ck-Pk)存在起步問題，對v(t5)進行計算時，令C4=0，P4=0，其做法對結(jié)果的影響可以忽略不計。

本方法為多步法，需要用單步法計算表頭。

4 數(shù)值算例

4.1 算例1

注意，等步長算法是文獻[6]提出的一次預(yù)估-校正精細積分多步法(Δt=0.1 s)；變步長算法是以文獻[6]提出的一次預(yù)估-校正精細積分多步法為基礎(chǔ)的自適應(yīng)步長精細積分算法(a=0.0001 m,b=0.5,Δt=0.1 s)。

圖2中，精確解是指積分步長縮小至能計算出有效位數(shù)(一般取小數(shù)點后8位)相同的計算結(jié)果，下同。

圖2 位移時程曲線

從圖2和圖3可以看出，變步長算法的精度比等步長算法的精度高；由表2可知，在0 s～1 s的時間段內(nèi)，變步長算法的時間步長小于等步長算法的時間步長；證明了基于顯式和隱式預(yù)估公式實現(xiàn)對時間步長的自適應(yīng)選擇的思想對預(yù)估型精細積分算法的有效性，根據(jù)給定的誤差限值來決定時間步長的大小，即根據(jù)非線性程度的大小決定時間步長的大小，從而提高非線性程度較大時間段內(nèi)的精度，進一步提高整體的計算精度。

圖3 解的絕對誤差

表2 各時間段包含時間節(jié)點的個數(shù)

4.2 算例2

本節(jié)的等步長算法是文獻[9]提出的精細積分法(Δt=0.02 s)；變步長算法是以文獻[9]提出精細積分法為基礎(chǔ)的自適應(yīng)步長精細積分算法(a= 0.0001 m,b= 0.5,Δt=0.02 s)(文獻[9]所述精細積分法在每個時間步長中需要對v(tk + j / 4)(j=1,2,3,4)進行預(yù)估，可得出ξ(tk + j / 4)(j=1,2,3,4)，本文令ξ(tk + 1)=ξ(tk + 1/4)+ξ(tk + 1/2)+ξ(tk + 3/4)+ξ(tk + 1))。

圖4 位移時程曲線

圖5 解的絕對誤差

表3 各時間段包含時間節(jié)點的個數(shù)

算例1是剛度軟化問題，算例2是剛度硬化問題，而且算例1與算例2分別以文獻[6，9]提出的預(yù)估型精細積分法為基礎(chǔ)，兩個算例均有很好的效果，故基于Adams顯式和隱式預(yù)估公式實現(xiàn)對時間步長的自適應(yīng)選擇的思想具有廣泛的適用性。

5 結(jié) 論

(1) 本文將基于Adams顯式和隱式預(yù)估公式實現(xiàn)對時間步長的自適應(yīng)選擇思想應(yīng)用于精細求積算法中，使得算法的計算精度依賴于給定的誤差限值，故能根據(jù)非線性程度的大小控制時間步長的大小，有效提高非線性程度較大的時間段內(nèi)的精度，從而提高整體的計算精度。對于初始時間段內(nèi)非線性程度較大的問題，該思想更加有效。

(2) 應(yīng)用基于顯式和隱式預(yù)估公式實現(xiàn)對時間步長的自適應(yīng)選擇的思想能使精細積分算法具有很好的穩(wěn)定性。

(3) 本文思想應(yīng)用于精細積分算法中，能解決剛度硬化和剛度軟化等問題，具有廣泛的適用性。