互聯(lián)網(wǎng)背景下的概率論教學(xué)的幾點(diǎn)理解

李翼 張本慧 李曉

摘要：針對(duì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)中容易出現(xiàn)的諸多問(wèn)題，以條件概率、全概率公式和極大似然公式為例;引入了互聯(lián)網(wǎng)公司的就業(yè)要求以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識(shí)，加強(qiáng)定理定義分解以改善學(xué)生對(duì)定理死記硬背的現(xiàn)象，增添趣味案例簡(jiǎn)化學(xué)生學(xué)習(xí)定理時(shí)的難度。

關(guān)鍵詞：互聯(lián)網(wǎng)背景;概率論;定義分解;趣味案例

中圖分類號(hào)：O13? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C

Some understandings of probability theory teaching under

the background of Internet

Li Yi1 Zhang Benhui1 Li Xiao2

1.School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000;

2.School of Computer Science and Technology，Huaibei Normal University AnhuiHuaibei 235000

Abstract：In view of many problems in the teaching of probability theory and mathematical statistics，taking conditional probability，total probability formula and maximum likelihood formula as examples，the employment requirements of Internet companies are introduced to enhance students' learning awareness，strengthen the decomposition of theorem definition to improve students' rote memorization of theorem，and add interesting cases to simplify the difficulty of students' learning theorem

Key words：Internet background;probability theory;definition decomposition;interesting cases

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是高等學(xué)校的基礎(chǔ)課程，難度較大，需要較強(qiáng)的邏輯思維能力。另外，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門(mén)課知識(shí)點(diǎn)眾多，應(yīng)用場(chǎng)景也較多，如何較好地掌握書(shū)中的定理和定義是研究的重中之重。

1 教學(xué)問(wèn)題梳理

互聯(lián)網(wǎng)的興起極大地便利了人民的生活，以騰訊、阿里、華為、順豐為例，每個(gè)公司均有大數(shù)據(jù)平臺(tái)，大數(shù)據(jù)平臺(tái)通過(guò)spark、hive等工具對(duì)公司的海量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析進(jìn)而得到應(yīng)用層的數(shù)據(jù)以及各類商務(wù)報(bào)表。而這個(gè)過(guò)程中用到的眾多邏輯思維就來(lái)自于概率論。而在學(xué)習(xí)這門(mén)課時(shí)，由于概念和定義過(guò)多，而且這門(mén)課難度較大，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常弄不清事件之間的關(guān)系與結(jié)構(gòu)[1-3];計(jì)算概率的公式運(yùn)用不當(dāng)，設(shè)置不知道運(yùn)用哪個(gè)公式求解問(wèn)題;不能正確應(yīng)用有關(guān)的定義、公式和性質(zhì)進(jìn)行綜合分析、運(yùn)算和證明。而目前《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》存在的教學(xué)的問(wèn)題如下[4-7]：（1）教學(xué)思維局限。目前普遍存在的現(xiàn)象是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》在授課過(guò)程中，教師偏重書(shū)中的公式和定理，沒(méi)有認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和公式推導(dǎo)能力，導(dǎo)致學(xué)生在面對(duì)眾多公式時(shí)，靠死記硬背而不是自己推導(dǎo)。以全概率公式為例，學(xué)生在面對(duì)全概率公式時(shí)，記不清公式內(nèi)容，容易死記硬背，在解題過(guò)程中容易寫(xiě)錯(cuò)公式進(jìn)而做錯(cuò)。（2）教學(xué)手段單一。目前《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》在授課過(guò)程中，絕大部分教師采用傳統(tǒng)的“定義—定理—例題”的教學(xué)方法，過(guò)于依賴課本的定義，而課本的有些定義及教學(xué)定理晦澀難懂，并不引入適當(dāng)?shù)睦?，學(xué)生難以理解。本文將以極大似然估計(jì)為例來(lái)進(jìn)行講解，如何引入生活中的例子，采用生活化的案例進(jìn)行定義和定理的良好導(dǎo)入。（3）教學(xué)總結(jié)不夠?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是一門(mén)公共基礎(chǔ)課，幾乎高校所有專業(yè)都會(huì)開(kāi)設(shè)，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》在授課過(guò)程中，教學(xué)內(nèi)容隨時(shí)更新，大量的資料、題型與教學(xué)新思路的出現(xiàn)讓我們不得不進(jìn)行較多的總結(jié)和歸納反思。（4）教學(xué)方法陳舊?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門(mén)課公式繁多、定理復(fù)雜、題型種類繁多，在課本上給出了眾多的定義和定理。很多教師將其視作單純的數(shù)學(xué)課，沒(méi)有充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)參與性和積極性，導(dǎo)致眾多學(xué)生參與度不夠，科學(xué)氛圍不好。

針對(duì)以上四點(diǎn)問(wèn)題，如何對(duì)課程進(jìn)行改進(jìn)是問(wèn)題的重中之重，下面將以全概率公式、條件概率、極大似然估計(jì)三個(gè)問(wèn)題點(diǎn)為例，結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)背景對(duì)概率論課程的教學(xué)改進(jìn)進(jìn)行詳細(xì)分析。

2 多層面教學(xué)改進(jìn)

例1 增強(qiáng)公司就業(yè)要求引入——以條件概率為例

條件概率的定義，設(shè)A，B是兩個(gè)事件，且P（A）>0，稱：

P（B|A）=P（AB）P（A）

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。在條件概率的定義中，等號(hào)右邊的P（AB）表示為事件A和事件B的交集。而在實(shí)際的解題過(guò)程中，很多同學(xué)容易將P（AB）和P（B|A）兩者混淆，其中P（AB）表示A和B一起發(fā)生的概率，而P（B|A）表示事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。在講解兩者的區(qū)別時(shí)，應(yīng)加入相關(guān)事件的分析，相關(guān)的意思是當(dāng)前的事件受過(guò)去事件的影響，現(xiàn)實(shí)生活中有很多事件是相關(guān)事件。

在互聯(lián)網(wǎng)公司的也要求中對(duì)條件概率的理解頗深，騰訊面試題有過(guò)如下問(wèn)題：已知一對(duì)夫婦有兩個(gè)孩子，其中一個(gè)是男孩，請(qǐng)教兩個(gè)都是男孩的概率。在這個(gè)問(wèn)題中，題干給出了兩個(gè)重要的條件：（1）有兩個(gè)孩子;（2）其中之一是男孩。而給出的問(wèn)題是求解兩個(gè)孩子都是男孩的概率，這個(gè)事件可以拆分為，第一個(gè)孩子是男孩，且第二個(gè)孩子也是男孩。而問(wèn)題容易犯錯(cuò)的點(diǎn)為：已知條件2，其中之一是男孩，容易讓人認(rèn)為事件C（兩個(gè)孩子都是男孩的概率）轉(zhuǎn)化為（一個(gè)孩子是男孩的概率），從而得出概率為1/2。但是實(shí)際上，這是條件概率問(wèn)題，如果題目已知第一個(gè)孩子是男孩或者第二個(gè)孩子是男孩，則問(wèn)題的答案就是1/2。但題目已知條件為其中之一是男孩，正確的解題思路為。首先應(yīng)給出4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，“男男”“男女”“女男”“女女”四種概率相同的情況。當(dāng)已知了其中之一為男孩時(shí)，則剔除了“女女”這種情況，剩下三種可能性概率相同，而剩下的三種結(jié)果中，“男男”的比重為1/3，故題目的答案應(yīng)為1/3。

在課堂教學(xué)中引入互聯(lián)網(wǎng)思維的案例，可以有效提高學(xué)生對(duì)定義學(xué)習(xí)的自我要求，不在局限于簡(jiǎn)單的了解，而是針對(duì)重要的定義定理有著深刻的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而達(dá)到學(xué)習(xí)這門(mén)課的根本目標(biāo)。

例2 加強(qiáng)定理分析與分解——以全概率公式的為例

在概率論中，全概率公式是以條件概率為基礎(chǔ)的一個(gè)非常重要的公式。全概率公式定義為：設(shè)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2…，Bn為S的一個(gè)劃分，且P（B）>0（i=1，2，…，n），則：

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）+P（A|B）P（B）

稱為全概率公式，而公式的由來(lái)為：

P（A）=P（A∩S）

=P（A∩（B1∪B2∪…∪Bn））

=P（A∩B1）∪P（A∩B2）∪…∪P（A∩Bn）

=P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）

而在式中，最后一個(gè)等號(hào)在應(yīng)用中容易被寫(xiě)為P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A），在課堂講解時(shí)，應(yīng)著引導(dǎo)學(xué)生分析兩個(gè)公式之間的區(qū)別。等號(hào)左邊需要求解A發(fā)生的概率，而P（B1|A）P（A）+…+P（Bn|A）P（A）中P（A）未知，故在推導(dǎo)全概率公式時(shí)顯然應(yīng)采用P（A|B1）P（B1）+…+P（A|Bn）P（Bn）。

因此在定義定理的講解過(guò)程中，教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生可能出現(xiàn)的問(wèn)題，進(jìn)行充分的講解和假設(shè)。在每個(gè)問(wèn)題進(jìn)行講解時(shí)，根據(jù)學(xué)生所犯錯(cuò)誤，進(jìn)行深入探討，加強(qiáng)師生聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)。

例3 增添趣味案例簡(jiǎn)化定理難度——以極大似然估計(jì)為例

矩估計(jì)和極大似然估計(jì)方法是概率論里面非常重要的兩個(gè)估計(jì)方法，其中學(xué)生普遍反映極大似然估計(jì)的理解較為吃力。尤其當(dāng)講解似然函數(shù)時(shí)，相當(dāng)一部分學(xué)生難以理解似然函數(shù)的本質(zhì)思想和似然函數(shù)最大化的意義。因此，在課堂教學(xué)中應(yīng)加入趣味案例進(jìn)行定理的生活化引入。

獵人狩獵故事的引入。兩個(gè)獵人甲和乙去森林打獵，突然沖出一只野兔，兩人同時(shí)舉槍射擊，野兔應(yīng)聲倒下。走近之后發(fā)現(xiàn)野兔的身上只有一個(gè)彈孔，來(lái)自獵人甲，從以上條件如果用極大似然估計(jì)的思想估計(jì)哪位獵人的槍法最準(zhǔn)，那么可以推出獵人甲的槍法更好一些。案例分析：根據(jù)極大似然估計(jì)的思想“一次實(shí)驗(yàn)就發(fā)生的事件擁有最大的概率”，只進(jìn)行一次射擊，獵人甲就射中了，那我們只能認(rèn)為獵人甲的射法更精準(zhǔn)。

在引入趣味案例后，不僅可以有效降低定理的難度，方便學(xué)生理解定義，消除學(xué)生的畏難情緒，還可以有效活躍課堂氣氛。

3 總結(jié)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是高等學(xué)校的基礎(chǔ)課程，在教學(xué)過(guò)程中因其難度較大、定義定理繁多而給教師帶來(lái)諸多挑戰(zhàn)。本文結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)就業(yè)要求針對(duì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)中容易出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行改進(jìn)，引入了公司就業(yè)要求增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識(shí)、加強(qiáng)定理分解以改善課本諸多定理的現(xiàn)象、增添趣味案例簡(jiǎn)化學(xué)生學(xué)習(xí)定理時(shí)候的難度。通過(guò)教學(xué)的不斷改進(jìn)，讓學(xué)生消除對(duì)定理定義的恐懼，讓他們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，并盡可能地將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到日常生活中。

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基金項(xiàng)目：安徽省高校自然科學(xué)基金（KJ2020B07，KJ 2019B01）;安徽省高等學(xué)校省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目（2018jyxm0519，2018kfk166，2019jyxm0201），淮北師范大學(xué)校級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目（kctd18043）

作者簡(jiǎn)介：李翼（1995— ），男，碩士，研究方向：統(tǒng)計(jì)模型。