淺談二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要作用

黃 亮

（江蘇省南京市聾人學(xué)校 江蘇南京 210007）

一、深入了解二次函數(shù)的概念與基礎(chǔ)

在初中數(shù)學(xué)教育中對(duì)函數(shù)有了介紹與理解，而踏入高中數(shù)學(xué)以后會(huì)在此基礎(chǔ)上再次鞏固，加深對(duì)函數(shù)概念、基礎(chǔ)知識(shí)的理解，并基于映射觀點(diǎn)來研究函數(shù)的基本概念與原理，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有一個(gè)更全面的理解。

二次函數(shù)的概念為：二次函數(shù)是從一個(gè)集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素x對(duì)應(yīng)，記為y=ax+bx+c(a≠0)。

這里ax2+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，借助集合與映射讓學(xué)生對(duì)函數(shù)概念有更細(xì)致的理解，等到學(xué)生掌握基礎(chǔ)函數(shù)概念與理論，就可以進(jìn)一步展開下面問題的指導(dǎo)教學(xué)。

典型案例1：已知y=5x+2x+7，求 f(x+1)在解答該類型題目時(shí)，應(yīng)當(dāng)把 f(x+1)理解為自變量做x+1的函數(shù)值，而非x=x+1時(shí)的函數(shù)值。

典型案例2： f(x+1)=3x2+x+5，求 f(x)這種類型題目的本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則，即要求在已知的對(duì)應(yīng)法則 f 下，當(dāng)定義域中元素x+1的象為3x2+x+5時(shí)，求定義域中元素x的象。該類型題目有兩種求解方法：

方法1：采用適應(yīng)性比較強(qiáng)的變量代換方式

令t=x+1，則x=t-1，因?yàn)?f (t+1)=3(t-1)2+(t-1)+5=3t2-5t+7，從而得出 f(x)=3x2-5x+7。

方法2：把題目所給的表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式

f(x+1)=3x2+x+5=3(x+1)2-5(x+1)+7，

再用x代x+1得出 f(x)=3x2-5x+7。

二次函數(shù)類知識(shí)涵蓋比較廣，除了以上內(nèi)容，還考察二次函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，比如讓學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間(-∞，-b/2a) 及[-b/2a，+∞]上的單調(diào)性相關(guān)結(jié)論，并做系統(tǒng)證明，而單調(diào)性學(xué)習(xí)也需要結(jié)合圖形共同理解，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的掌握。

典型案例3：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像來研究其單調(diào)性。

(1)y=x2+4|x+1|+6

(2)y=3|x2+2|

(3)y=x2-2|x|+2

對(duì)于這類比較典型的題型，學(xué)生應(yīng)該關(guān)注二次函數(shù)與這些函數(shù)直接的聯(lián)系與差異，學(xué)會(huì)將含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，并在此基礎(chǔ)上畫出圖像。

經(jīng)典案例4： f(x)=2x2-4x-2，其在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為a( t )。求：a( t )，并畫出y=a( t )的圖像。對(duì)于這類題型的在解答時(shí)，學(xué)生首先應(yīng)該認(rèn)真審題，理解問題求解內(nèi)容，然后思路清晰分析問題。一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上要么只有最大值要么只有最小值，但是當(dāng)定義域產(chǎn)生變化的時(shí)候，取最小值或者最大值的情況也會(huì)隨之發(fā)生變化。解答思路如下：

解： f (x)=2x2-4x-2=2(x-1)2-4，在x=1時(shí)，取最小值-4

當(dāng)1∈[t，t+1]，即0≤t≤1，a( t )=-4

當(dāng)t＞1時(shí)，a(t)= f ( t )=2t2-4t-2

當(dāng)t＜0時(shí)，a(t)= f ( t+1)=2t2-4

二、二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要作用

二次函數(shù)為初中函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)內(nèi)容，也為基本的冪函數(shù)，函數(shù)內(nèi)涵豐富，且拓展考查知識(shí)點(diǎn)多。通過二次函數(shù)學(xué)習(xí)，學(xué)生需要掌握函數(shù)概念、圖像、奇偶性單調(diào)性，尤其是函數(shù)知識(shí)需要建立起不等式、方程、以及函數(shù)之間的緊密聯(lián)系，因此這也是二次函數(shù)比較困難的點(diǎn)，需要學(xué)生深入學(xué)習(xí)。所以對(duì)二次函數(shù)的理解應(yīng)該從數(shù)學(xué)思想、知識(shí)、方法以及應(yīng)用上入手，進(jìn)而充分鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維，以更好地適應(yīng)二次函數(shù)的演變題型，靈活思考。

進(jìn)一步研究二次函數(shù)發(fā)展，這個(gè)章節(jié)知識(shí)是?？紝?duì)象，甚至與各個(gè)章節(jié)知識(shí)有著緊密聯(lián)系，如解析幾何以及導(dǎo)數(shù)等高中主體知識(shí)與二次函數(shù)的有機(jī)結(jié)合，3個(gè)二次的等價(jià)運(yùn)用等，考察的重點(diǎn)則分布在不等式的范圍、函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的分布、等價(jià)轉(zhuǎn)化相關(guān)函數(shù)最值、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等內(nèi)容上。下面結(jié)合常見的高考二次函數(shù)相關(guān)題型，再做相關(guān)重要性介紹：

經(jīng)典數(shù)形結(jié)合題型研究

如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)(1，0)和(0，-2)，且頂點(diǎn)在第三象限，設(shè)P=a-b+c，則P的取值范圍是( ）

A.-4

B.-4

C.-2

D.-1

將兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，從而得到a+b+c=0和c=-2這兩個(gè)結(jié)論，更進(jìn)一步的結(jié)果是a+b=2，然后就由頂點(diǎn)在第三象限想到頂點(diǎn)坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，想到列兩個(gè)不等式，然后……就沒有然后了，全開始卡殼。本題是一道選擇題，所以解析法用在它身上無疑是會(huì)花費(fèi)大量時(shí)間的，因此我們得認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合我們所學(xué)的二次函數(shù)的圖象特征來分析它：

第一個(gè)要關(guān)心的是它的開口方向，由圖中可知，此時(shí)開口向上，頂點(diǎn)在第三象限，想像一下函數(shù)開口變大，那么a值應(yīng)該變小，最小可以變成多少呢？當(dāng)a值小到接近0時(shí)，二次函數(shù)圖象會(huì)接近一條直線（經(jīng)過上述那兩個(gè)已知點(diǎn)），頂點(diǎn)若在這條直線下方，那么開口方向就不再向上了，而變成向下，此時(shí)頂點(diǎn)就不在第三象限了；繼續(xù)剛才的想像，開口變小，那么a值應(yīng)該變大，最大能變成多少呢？當(dāng)a值變大時(shí)，其對(duì)稱軸會(huì)接近y軸，頂點(diǎn)也接近y軸，由于第三象限的限制，故此它的頂點(diǎn)最多只能接近(0，-2）。

基于以上兩個(gè)數(shù)形結(jié)合的動(dòng)態(tài)想像(此時(shí)不宜演示給學(xué)生看動(dòng)畫），開始我們的解析：將函數(shù)解析式化為y=ax2+(2-a)x-2，考慮它變化的兩個(gè)極限情況，當(dāng)二次函數(shù)成為一條直線(一次函數(shù)）時(shí)，a=0，解析式為y=2x-2；當(dāng)頂點(diǎn)在(0，-2）時(shí)，2-a=0，a=2，解析式為y=2x2-2；

最后再來看P=a-b+c，這個(gè)式子是點(diǎn)(-1，a-b+c）的縱坐標(biāo)，理解為當(dāng)橫坐標(biāo)為-1時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值。將x=-1分別代入上面的兩個(gè)函數(shù)解析式，分別計(jì)算出P=-4和P=0，所以范圍是-4

結(jié)語(yǔ)：綜上所述，高中二次函數(shù)靈活多變，考察點(diǎn)眾多，已經(jīng)成為高考考察的重點(diǎn)，因此學(xué)生應(yīng)該予以重視，并從函數(shù)概念，基礎(chǔ)典型題，以及拓展知識(shí)入手，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的吸收與理解，加快學(xué)生發(fā)展。