基于膜結(jié)構(gòu)假定的無背索斜拉橋主梁軸力解析

黃晨光，林麗霞，丁南宏

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

隨著無背索斜拉橋跨徑的不斷增大，拉索的長度逐漸增加，傾角逐漸減小，使得拉索的垂度效應(yīng)影響逐漸顯著，從而令拉索的支撐效率由近塔處向遠(yuǎn)端逐漸降低.人們通常采用增大索力的方法來改善遠(yuǎn)端拉索效率低下問題，但會使主梁軸力整體變大，加重近塔處主梁截面負(fù)擔(dān).同時(shí)，索力的非均勻增大、無背索斜拉橋的特殊構(gòu)型及拉索的垂度效應(yīng)，均會使主梁軸力變化出現(xiàn)非線性特征，此時(shí)簡化過于嚴(yán)重的線性軸力分析將不再適用，軸力的計(jì)算也趨于復(fù)雜.因此，如何基于軸力的非線性變化進(jìn)行分析，快速計(jì)算出主梁軸力便成為了一個(gè)重要問題.

在探究斜拉橋結(jié)構(gòu)體系的過程中，人們發(fā)現(xiàn)主梁軸力是限制斜拉橋跨徑增大的主要因素，并探究出許多計(jì)算軸力的方法[1-3].丹麥學(xué)者Gimsing將扇形體系轉(zhuǎn)化成輻射式布置，然后按照輻射式布置求得主梁軸力分布函數(shù)[4].王伯惠基于平均索法的思想，將一側(cè)若干根拉索等效為1根虛擬索，以此來計(jì)算近塔處主梁軸力[5-6].吳萬忠等在不考慮無索區(qū)的前提下，將索膜當(dāng)作連續(xù)體分析，推導(dǎo)了有索區(qū)主梁軸力近似公式[7].彭旺虎等認(rèn)為無背索斜拉橋拉索傾角的變化范圍較小，故在計(jì)算主梁軸力時(shí)，取拉索傾角的平均值，按等角度計(jì)算，給出了理想成橋狀態(tài)下的主梁軸力遞減函數(shù)[8].文獻(xiàn)[4]和[8]所做簡化實(shí)際上改變了該橋原有布索方式.文獻(xiàn)[7]未考慮無索區(qū)對軸力函數(shù)的影響，適用于大跨度斜拉橋有索區(qū)梁長遠(yuǎn)大于無索區(qū)梁長的情況.無背索斜拉橋以中小型跨徑居多，且主塔呈傾斜狀態(tài)，故需要考慮無索區(qū)及斜塔傾角的影響.

針對無背索斜拉橋主梁軸力解析問題，本文基于平衡荷載理論及膜結(jié)構(gòu)假定，分別推導(dǎo)索面按照輻射式、扇形式及豎琴式布置時(shí)，無背索斜拉橋有索區(qū)梁段主梁軸力沿梁長變化的連續(xù)函數(shù)，利用Heaviside函數(shù)進(jìn)行修正[9]，得到含無索區(qū)及斜塔傾角影響的主梁軸力解析式.

1 主梁軸力解析式

在無背索斜拉橋結(jié)構(gòu)中，主梁軸力曲線是1條以主梁拉索錨固為分界點(diǎn)的階梯型分段函數(shù)曲線，隨著拉索數(shù)量增加，單位梁長內(nèi)的拉索密度增大，軸力曲線每兩階梯間的級差逐漸減小，曲線形式逐漸由離散狀向平滑過渡.因此，在密索體系斜拉橋中，可以將拉索體系近似看作一個(gè)平面索膜，當(dāng)作連續(xù)體分析，且由于塔的位移較小，因此不考慮斜塔的抗推剛度.

1.1 扇形式索面布置

假設(shè)梁體的恒載荷載集度為q0，主梁兩側(cè)無附加軸力，拉索為等索距布置，且主梁與主塔上錨固區(qū)的索距比為k，塔高為h，主梁索面兩側(cè)無索區(qū)梁端長度為L0、L1，有索區(qū)梁端長度為Ly，斜塔傾角為θ，最外側(cè)2根拉索在主梁上錨固點(diǎn)位置的橫坐標(biāo)為x1、x2.將拉索索面看作一膜結(jié)構(gòu)，當(dāng)作連續(xù)體分析，作用在梁段Ly.主梁軸力計(jì)算簡圖如圖1所示.

(a) 斜拉橋結(jié)構(gòu)

(b) 主梁微段受力圖1 主梁軸力計(jì)算簡圖

在有索區(qū)梁段Ly內(nèi)取一微段，則索膜纖維在斜塔及主梁上的位置關(guān)系在笛卡爾坐標(biāo)系下可用函數(shù)表示為

(1)

主梁有索區(qū)微段的平衡條件為

(2)

聯(lián)立式(1)～(2)得

(3)

將式(3)積分，令a=1/tanθ、b=h-ce、c=ksinθ、e=L0+Ly，則有索區(qū)主梁軸力表達(dá)式為

NLy(x)=

(4)

由式(4)中的對數(shù)函數(shù)項(xiàng)可以看出，軸力沿梁長方向有著明顯的非線性分布特征.

1.2 豎琴式索面布置

豎琴式布置時(shí)，各拉索間相互平行，基于幾何相似原理，有

(5)

式中：λt、λc分別為斜塔及主梁上的拉索間距.

將式(5)帶入式(4)，可得豎琴式索面布置下的主梁軸力解析式為

(6)

1.3 輻射式索面布置

當(dāng)無背索斜拉橋索面布置為輻射式時(shí)，拉索在塔上集中錨固于一點(diǎn)，塔上錨固區(qū)索距為0，故索距比k值恒為0，這使得式(4)中的對數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)“∞·0”的形式，使得方程無定解.將(4)式整理為

(7)

將式(7)中的對數(shù)項(xiàng)進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，有

(8)

取級數(shù)的前2項(xiàng)帶入式(7)，整理得

(9)

式(9)即為輻射式索面布置下，無背索斜拉橋有索區(qū)主梁軸力解析式.

2 主梁軸力解析式修正

通過上述推導(dǎo)，得到了考慮斜塔傾角時(shí)，扇形式、豎琴式、輻射式索面布置下的主梁有索區(qū)軸力解析式.為進(jìn)一步考慮無索區(qū)梁段對主梁軸力的影響，利用Heaviside函數(shù)性質(zhì)對主梁軸力解析式進(jìn)行修正.

假設(shè)無索區(qū)梁段所受恒載由索面邊緣的1根拉索及支座共同承擔(dān)，可看作相應(yīng)橫截面上作用1個(gè)軸力，則兩側(cè)無索區(qū)產(chǎn)生的軸力為

NL0=η0q0L0tanα，

(10)

NL1=η1q0L1tanβ，

(11)

式中：η0、η1分別為近塔處與遠(yuǎn)端無索區(qū)主梁恒載修正系數(shù)，與恒載等效為集中力后的作用點(diǎn)有關(guān)[10].

引入Heaviside函數(shù)H(x)，為保證有索區(qū)梁段軸力函數(shù)值域的完整，定義H(x)為

(12)

式(7)中x不取坐標(biāo)原點(diǎn)，認(rèn)為最大軸力存在于近塔處.則無背索斜拉橋主梁軸力分布表示為

N(x)=(NL0+NLy(L0)+NL1)H(x)+

(NLy(x)-NLy(L0)-NL0)H(x-x1)-

(NLy(x)+NL1)H(x-x2).

(13)

若不考慮主梁無索區(qū)及斜塔傾角影響，則式(13)退化為

N(x)=

(14)

可知式(14)與文獻(xiàn)[7]中所推導(dǎo)的軸力計(jì)算公式一致.

3 算例分析

將無背索斜拉橋的拉索分別按照輻射式、扇形式和豎琴式布置，主梁采用鋼筋混凝土梁.根據(jù)第1節(jié)理論及公式，可得到主梁截面軸力沿梁長變化曲線，如圖2所示.

圖2 主梁軸力曲線

由于豎琴式布索時(shí)，各個(gè)拉索與主梁間的夾角相同，使得拉索在水平方向上的投影值近乎相等；

而豎琴式及輻射式布索時(shí)，隨著拉索逐漸向近塔處靠近，拉索角度逐漸增大，其水平投影值逐漸減小，且減小的速率存在非線性特征.因此，豎琴式索面布置時(shí)，近塔處主梁軸力最大，扇形式次之，輻射式最小.輻射式索面布置時(shí)，主梁軸力沿梁長方向的非線性變化最為顯著.

為驗(yàn)證主梁軸力解析式的準(zhǔn)確性，以扇形式索面布置的無背索斜拉橋?yàn)槔?，分別采用索膜方法、文獻(xiàn)[4]方法及有限元法計(jì)算主梁軸力.恒載集度取281.3 kN/m.η1、η2分別取0.20、0.13.選取主跨的近塔處、1/8截面、1/4截面、3/8截面、1/2截面為關(guān)鍵位置截面.主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，根據(jù)表1中結(jié)構(gòu)參數(shù)建立有限元模型，如圖3所示.

表1 主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖3 無背索斜拉橋有限元模型

有限元模型共采用82個(gè)節(jié)點(diǎn)，89個(gè)單元，主梁與斜塔均采用梁單元，主梁為簡支結(jié)構(gòu)，斜塔底部固結(jié)，拉索采用桁架單元，與梁塔直接通過節(jié)點(diǎn)連接.由于不考慮斜塔的抗推剛度，因此采用強(qiáng)塔弱梁結(jié)構(gòu).計(jì)算結(jié)果及誤差如表2和圖4所示.

表2 主梁軸力計(jì)算結(jié)果及誤差

圖4 扇形式布索主梁軸力曲線

由表2及圖4可見：文獻(xiàn)方法計(jì)算主梁軸力結(jié)果偏小，與有限元法結(jié)果相差較大；本文方法與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合良好，偏差較小且分布較為均勻.

此外，仍取表1的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為基礎(chǔ)，在上述模型的基礎(chǔ)上，令主梁錨固點(diǎn)位置不變，改變斜塔上錨固點(diǎn)位置，按豎琴式布置索面.聯(lián)立式(6)、式(9)～(10)、式(13)，用本文的方法計(jì)算主梁軸力.計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果對比如圖5所示.

圖5 豎琴式布索主梁軸力曲線

仍以上述模型為基礎(chǔ)，保持主梁錨固點(diǎn)位置不變，塔上錨固點(diǎn)均取塔頂位置，按輻射式布置索面.聯(lián)立式(9)～(11)及式(13)，按本文方法計(jì)算主梁軸力，并與有限元法結(jié)果對比，如圖6所示.

圖6 輻射式布索主梁軸力曲線

由上述算例驗(yàn)證結(jié)果可以看出:在不同索面布置下，若無索區(qū)長度在跨徑中不占較大比重，有索區(qū)內(nèi)側(cè)端點(diǎn)的軸力值與近塔處的軸力值可能較為接近;但前者始終小于后者，無索區(qū)梁長比重越大，該部分差異越明顯.這是由于無索區(qū)同樣受到荷載作用，該部分荷載由拉索和支座共同承擔(dān)，因此拉索索力增大，索力的水平投影增大，使得軸力增大.在不用有限元法計(jì)算的情況下，文獻(xiàn)方法所求結(jié)果相比實(shí)際結(jié)果較小，無法確定其安全系數(shù)，不利于設(shè)計(jì).而由圖4～6可以看出，本文方法與有限元法計(jì)算結(jié)果較為接近，誤差均在5%左右，且整體結(jié)果略微偏大，無須確定安全系數(shù)，是更偏于安全的計(jì)算方法.

4 結(jié)論

1) 本文針對無背索斜拉橋結(jié)構(gòu)，基于平衡荷載理論及索膜假定，考慮斜塔傾角及無索區(qū)影響，推導(dǎo)了多種索面布置下的主梁軸力解析式.通過算例分析，其計(jì)算結(jié)果與有限元法結(jié)果較為吻合，誤差均在5%左右，對實(shí)際結(jié)果有所包絡(luò)，是更偏于安全的計(jì)算方法.

2) 由本文所推導(dǎo)的主梁軸力解析式可知，主梁軸力與荷載、跨徑、斜塔高度及索距比有關(guān)，適當(dāng)增加斜塔高度，減小荷載或跨徑，都可以降低主梁軸力，減小近塔處主梁截面的負(fù)擔(dān).

3) 豎琴式布索的無背索斜拉橋主梁軸力整體較大，扇形式次之，輻射式最??；但輻射式布索時(shí)軸力變化的非線性特征最明顯，因此在設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)布索形式的不同，需要對主梁不同位置截面的材料及構(gòu)造有所側(cè)重.