更新間隔為幾何分布的累積沖擊模型的可靠性分析*

姜培華，朱五英，汪曉云

(安徽工程大學(xué)數(shù)理與金融學(xué)院, 安徽 蕪湖 241000)

引言

在文獻(xiàn)[3]和[4]中王丙參等分別研究了基礎(chǔ)過程為泊松過程和泊松-幾何過程條件下累積沖擊模型的可靠性指標(biāo). 姜培華等在文獻(xiàn)[5]中討論了基礎(chǔ)過程為復(fù)合負(fù)二項(xiàng)過程時(shí)，累積沖擊模型系統(tǒng)在時(shí)刻t的正常工作概率和平均損傷，在文獻(xiàn)[6]中研究了康威-麥斯威爾-泊松分布的數(shù)字特征和參數(shù)的共軛分布及共軛分布的邊際分布、條件分布等. 汪葉娜等在文獻(xiàn)[7]中基于更新過程探討了極端沖擊模型的概率結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，并給出一些簡(jiǎn)單應(yīng)用. 馬明等在文獻(xiàn)[8]和[9]中研究了沖擊間隔服從對(duì)數(shù)分布和二項(xiàng)分布的δ沖擊模型的特征量的概率分布. 何雪等在文獻(xiàn)[10]中基于沖擊間隔服從泊松分布研究了δ沖擊模型的可靠性問題，冶建華等在文獻(xiàn)[11]中基于伯努利過程討論了δ沖擊模型的壽命分布. 本文將以伯努利過程作為基礎(chǔ)過程研究一類新的累積沖擊模型，并研究模型的概率性質(zhì)和系統(tǒng)的可靠性指標(biāo).

1 模型描述與假設(shè)

設(shè)系統(tǒng)在[0,t]時(shí)間內(nèi)所受的沖擊次數(shù)是一個(gè)更新過程{N(t),t≥0}，更新間隔Xn服從參數(shù)為p的幾何分布. 系統(tǒng)每次所受的沖擊強(qiáng)度Yn服從均值為λ-1的指數(shù)分布，更新間隔Xn和沖擊強(qiáng)度Yn是相互獨(dú)立的.系統(tǒng)的失效機(jī)制是：沖擊損傷具有可加性，當(dāng)系統(tǒng)的累積損傷達(dá)到或超過設(shè)定的失效閾值τ時(shí)，則系統(tǒng)失效.記T為系統(tǒng)的失效時(shí)間(或壽命)，則累積沖擊模型可以描述為

(1)

Sm,m≥1,表示第m個(gè)沖擊到達(dá)的時(shí)刻；

N(t),t≥0,表示時(shí)間[0,t]內(nèi)的沖擊次數(shù)；

Nτ,表示系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊次數(shù).

2 Sm、N(t)和Nτ的概率分布

本節(jié)主要研究累積沖擊模型基礎(chǔ)過程的幾個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)的概率結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，即沖擊到達(dá)時(shí)刻Sm、時(shí)刻t的沖擊次數(shù)N(t)和系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊次數(shù)Nτ的概率分布性質(zhì).

定理1基于累積沖擊模型(1)，沖擊到達(dá)時(shí)刻Sm的概率分布為

證明因?yàn)榈趍個(gè)沖擊到達(dá)的時(shí)刻可以表示為：Sm=X1+X2+…+Xm，注意到?jīng)_擊來到間隔Xi是獨(dú)立同分布的幾何隨機(jī)變量. 由幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布的關(guān)系可知：來到時(shí)刻Sm服從參數(shù)為(m,p)的負(fù)二項(xiàng)分布，即Sm～NB(m,p)，從而結(jié)論成立.

注1：1)由定理1可知，沖擊到達(dá)時(shí)刻Sm的期望和方差分別為：

E(Sm)=mp-1,Var(Sm)=m(1-p)p-2.

2)定理1的直觀解釋：S1=X1時(shí),可以理解為當(dāng)每次試驗(yàn)以概率p成功時(shí)為了得到一次成功所需要的試驗(yàn)次數(shù). 類似地，來到時(shí)刻Sm可以解釋為達(dá)到m次成功所必須的試驗(yàn)次數(shù)，從而服從負(fù)二項(xiàng)分布，即

Sm～NB(m,p).

定理2基于累積沖擊模型(1)，沖擊次數(shù)N(t)的概率分布為

其中，[·]表示取整函數(shù).

證明1)因?yàn)閧N(t)≥k}?{Sk≤t}，所以有

從而可得

P{N(t)=k}=P{N(t)≥k}-P{N(t)≥k+1}=

綜上，結(jié)論成立.

注2： 1)由定理2可知，沖擊次數(shù)N(t)服從二項(xiàng)分布，其期望和方差分別為：

E(N(t))=[t]p,Var(N(t))=[t]p(1-p).

2)定理2的直觀解釋為：由于在每個(gè)時(shí)刻n=1,2,…，事件以概率p獨(dú)立地發(fā)生，那么事件{N(t)=k}發(fā)生就意味著到[t]時(shí)刻為止恰好有k次事件發(fā)生，從而N(t)服從二項(xiàng)分布，即N(t)～B([t],p).

對(duì)于累積沖擊模型，當(dāng)系統(tǒng)遭受的沖擊損傷累積達(dá)到或超過設(shè)定的失效閾值τ時(shí)系統(tǒng)就會(huì)失效，顯然系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊次數(shù)Nτ是研究者感興趣的量，Nτ是一個(gè)取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量，可以表示如下，

(2)

下面來討論Nτ的概率分布及性質(zhì).

定理3在累積沖擊模型(1)下，若沖擊來到間隔服從發(fā)生率為p的幾何分布，沖擊強(qiáng)度服從均值為λ-1的指數(shù)分布，則系統(tǒng)失效時(shí)所遭受的沖擊次數(shù)Nτ具有下述概率性質(zhì)：

1)沖擊次數(shù)Nτ的概率分布為

2)沖擊次數(shù)Nτ的期望為

所以有

P(Nτ=k)=P(Nτ≥k)-P(Nτ≥k+1)=

綜上，結(jié)論成立.

2)利用結(jié)論1)中證明思路，沖擊次數(shù)Nτ的期望可以表示為

從而結(jié)論成立.

3 沖擊到達(dá)時(shí)刻的條件分布

在泊松過程中，在給定N(t)=n條件下關(guān)于n個(gè)來到時(shí)刻的條件分布有比較經(jīng)典的結(jié)果，即在給定N(t)=n時(shí)來到時(shí)刻S1,S2,…,Sn(考慮無順序的情形)的條件分布等同于(0,t)上n個(gè)均勻分布隨機(jī)變量的分布. 受該結(jié)論的啟發(fā)，下面嘗試討論當(dāng)更新間隔服從幾何分布時(shí)n個(gè)來到時(shí)刻的條件分布是否也具有類似的結(jié)果.

首先考慮簡(jiǎn)單情形，即給定N(t)=1的條件下沖擊到達(dá)時(shí)刻S1的條件分布，

綜上分析可知：在給定N(t)=1的條件下沖擊到達(dá)時(shí)刻S1的條件分布為(0,[t])上的離散均勻分布. 這個(gè)結(jié)果可以推廣到多個(gè)到達(dá)時(shí)刻的情形，即下述的定理4.

定理4在給定N(t)=n的條件下，n個(gè)沖擊到達(dá)時(shí)刻S1,S2,…,Sn服從離散均勻分布，具有分布列，

證明為了得到給定N(t)=n時(shí)沖擊來到時(shí)刻S1,S2,…,Sn的條件分布列，注意對(duì)于

0

{X1=t1,X2=t2-t1,…,Xn=tn-tn-1,Xn+1>t-tn}

考慮到這些到達(dá)間隔都是獨(dú)立同分布的幾何隨機(jī)變量，從而可得

綜上，結(jié)論成立.

4 模型可靠性指標(biāo)的概率分布

對(duì)于累積沖擊模型，系統(tǒng)的壽命、平均壽命、系統(tǒng)的可靠度函數(shù)和累積損傷等指標(biāo)是我們所關(guān)注和感興趣的問題，本節(jié)將討論這些指標(biāo)的概率分布及性質(zhì).

定理5 基于累積沖擊模型(1)，系統(tǒng)壽命T的概率分布為

綜上，結(jié)論成立.

注3： 1)由定理5可知，系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為：

2)由定理5可得，系統(tǒng)的平均壽命為：

定理6基于累積沖擊模型(1)，系統(tǒng)在時(shí)刻t(t

證明因?yàn)楫?dāng)t≥T時(shí)系統(tǒng)累積損傷已達(dá)到或超過閾值，此刻系統(tǒng)已經(jīng)失效，再討論累積損傷已沒有意義.所以僅討論系統(tǒng)正常工作時(shí)(tτ時(shí)，系統(tǒng)所遭受的累積損傷滿足：Y(t)<τ

P(Y(t)

綜上，結(jié)論成立.

注4：注意到?jīng)_擊來到過程與沖擊強(qiáng)度是獨(dú)立的，利用Wald定理可得，系統(tǒng)正常工作時(shí)在時(shí)刻t所遭受的平均累積損傷為：E(Y(t))=[t]pλ-1.

5 結(jié)語

沖擊模型的研究由來已久，關(guān)于連續(xù)型沖擊模型的研究較多且日臻成熟，探索空間有限. 相反，關(guān)于離散型沖擊模型的研究相對(duì)較少，值得探索的內(nèi)容豐富，發(fā)展空間較大. 本文針對(duì)一類離散型累積沖擊模型進(jìn)行研究，在系統(tǒng)沖擊到達(dá)的時(shí)間間隔服從幾何分布，系統(tǒng)沖擊強(qiáng)度服從指數(shù)分布的條件下研究了該沖擊模型的基本性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上研究系統(tǒng)壽命、系統(tǒng)可靠度和系統(tǒng)累積損傷等可靠性指標(biāo)并對(duì)系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行分析.文中的研究方法和結(jié)果不僅豐富了沖擊模型的相關(guān)理論，而且也為實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)系統(tǒng)的可靠性分析和評(píng)估提供了借鑒和依據(jù).