一種索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度分析*

高 征 張佳涵 王 霞

(河北大學(xué)電子信息工程學(xué)院，河北 保定 071000)

索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、剛度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在制造、檢測(cè)、搬運(yùn)等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。精度是并聯(lián)機(jī)構(gòu)最重要的性能指標(biāo)之一，直接影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作性能[1]。國(guó)內(nèi)外的研究學(xué)者從不同的角度提出了一些計(jì)算以及研究方法。曾達(dá)幸等以3-CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)為例，利用矢量法建立3-CUR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差模型，仿真分析上述誤差規(guī)律，并設(shè)計(jì)加工試驗(yàn)樣機(jī)，驗(yàn)證誤差模型的正確性[2]。李官明等針對(duì)平面冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)基于矩陣法建立了機(jī)構(gòu)的誤差模型，得到了機(jī)構(gòu)誤差敏感指標(biāo)[3]。許兆唐等提出并聯(lián)機(jī)構(gòu)綜合誤差負(fù)反饋?zhàn)钥刂鲃?dòng)補(bǔ)償是補(bǔ)償及控制并聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合誤差、提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)精度的先進(jìn)方法[4]。周文全等設(shè)計(jì)了一種碼垛機(jī)器人，并利用攝動(dòng)法理論建立了碼垛機(jī)器人的誤差模型[5]。王曉磊等以四足機(jī)器人腿部并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，提出靈敏度誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)，確定了平面構(gòu)件制造公差的方法[6]。李康等針對(duì)六維控制器運(yùn)用矩陣微分法建立了誤差模型，然后采用最小二乘法對(duì)轉(zhuǎn)角誤差進(jìn)行補(bǔ)償[7]。于珊珊等設(shè)計(jì)了RR-P5R全球面工作空間解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用環(huán)路增量法對(duì)RR-P5R機(jī)構(gòu)進(jìn)行誤差分析[8]。李虹等基于4S優(yōu)良閉環(huán)性能，設(shè)計(jì)了一種帶球鉸閉環(huán)的新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，減少了4S并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位型[9]。王娜等以探月工程采樣封裝專項(xiàng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)3UPS-PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，利用矩陣微分方法構(gòu)建了機(jī)構(gòu)的誤差分析模型，為機(jī)構(gòu)的誤差補(bǔ)償提供了理論依據(jù)[10]。鄧嘉鳴等針對(duì)四自由度機(jī)構(gòu)，利用D-H變換矩陣法建立了機(jī)構(gòu)位姿誤差模型，運(yùn)用該誤差模型經(jīng)行了誤差分析與計(jì)算[11]。許致華等以3-RPS飛行模擬運(yùn)動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象。對(duì)其進(jìn)行誤差與靈敏度分析，獲得影響末端不可補(bǔ)償位姿誤差源的靈敏度影響系數(shù)，研究結(jié)果對(duì)同類并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有指導(dǎo)意義[12]。

本文主要在索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程基礎(chǔ)上，根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人微分理論，建立了動(dòng)平臺(tái)位姿誤差分析模型，利用MATLAB分析了索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差對(duì)動(dòng)平臺(tái)輸出位姿精度的影響，并制作試驗(yàn)樣機(jī)。

1 索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)

索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)主要由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、1個(gè)直線電機(jī)以及3條柔索構(gòu)成。如圖1所示。直線電機(jī)一端固定在定平臺(tái)的圓心處，另一端使用球面副連接在動(dòng)平臺(tái)的圓心處。3個(gè)絞盤和步進(jìn)電機(jī)安裝在定平臺(tái)正三角形的3個(gè)頂點(diǎn)處。3條柔索的一端纏繞在絞盤上，另外一端分別通過(guò),3個(gè)球位于正三角形3個(gè)頂點(diǎn)處的球面副，與動(dòng)平臺(tái)相連。

2 索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系建立和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

建立如圖2所示的定坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系，在定平臺(tái)建立定坐標(biāo)系O-xyz，柔索與定平臺(tái)連接處3個(gè)端點(diǎn)位于3個(gè)絞盤的中心，且按正三角形的形式分布于3個(gè)頂點(diǎn)的位置，3個(gè)絞盤中心點(diǎn)分別為Mi(i=1，2，3)。在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1，原點(diǎn)O1為直線電機(jī)與動(dòng)平臺(tái)連接的球面副的中心點(diǎn)，3條柔索分別與動(dòng)平臺(tái)上的3個(gè)球面副連接，3個(gè)球面副的中心點(diǎn)為Ni(i=1，2，3)。

在上述坐標(biāo)系中，根據(jù)矢量封閉原理可以得到索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的3條柔索的長(zhǎng)度矢量Li(i=1，2，3)在定坐標(biāo)系下可以表示為：

Li=Ni-Mi

(1)

式中：R為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系O1-x1y1z1相對(duì)于定坐標(biāo)系O-xyz的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣，c為cos,s為sin。

3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差數(shù)學(xué)模型

索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為：

(2)

式中：α、β、γ為動(dòng)平臺(tái)的位姿參數(shù)，分別表示為動(dòng)平臺(tái)繞X軸、Y軸、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。h為直線電機(jī)的長(zhǎng)度，a、b分別表示定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)的正三角形邊長(zhǎng)，l1、l2、l3分別表示3條柔索的長(zhǎng)度。

將式(2)進(jìn)行微分得：

(3)

移項(xiàng)得：

(4)

轉(zhuǎn)化為矩陣形式表示：

(5)

式中：dα為繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的動(dòng)平臺(tái)位姿誤差，dβ是繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向動(dòng)平臺(tái)位姿的誤差，dγ是繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的動(dòng)平臺(tái)位姿誤差。

J-1為該索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆雅克比矩陣，當(dāng)J-1的行列式的值為0時(shí)，該索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)會(huì)出現(xiàn)奇異位型，影響索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的正常工作[1]。所以我們?cè)谠O(shè)計(jì)和制作索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)，要選擇合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)，避免奇異位型的出現(xiàn)。

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差分析

對(duì)索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)柔索l1的長(zhǎng)度存在誤差時(shí)，對(duì)動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差的影響展開分析。

給定索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際參數(shù)。如表1所示。若結(jié)構(gòu)誤差dl1=0.05 mm,其余結(jié)構(gòu)參數(shù)保持精確值，末端位姿在0<α<3 rad，0<β<3 rad，γ=0范圍變化時(shí)，在MATLAB中仿真結(jié)果如圖3所示。

表1 索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際參數(shù)

根據(jù)MATLAB仿真的結(jié)果，當(dāng)1T2R索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的柔索l1的長(zhǎng)度存在誤差時(shí)，可以看出對(duì)動(dòng)平臺(tái)位姿的影響由有如下的變化趨勢(shì)。

轉(zhuǎn)動(dòng)誤差dα是繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差，沿著坐標(biāo)軸的正方向誤差的大小逐漸增加。

轉(zhuǎn)動(dòng)誤差dβ是繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差，沿著坐標(biāo)軸的正方向誤差的大小不斷增加。

轉(zhuǎn)動(dòng)誤差dγ是繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差，沿著坐標(biāo)軸的正方向誤差的大小不斷減小。

5 精度綜合

精度綜合是在保證并聯(lián)機(jī)構(gòu)在要求的精度范圍內(nèi)，合理分配并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各構(gòu)件的結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差。嚴(yán)格控制對(duì)輸出位姿誤差影響敏感的結(jié)構(gòu)參數(shù)公差取值，保證并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度。同時(shí)對(duì)輸出位姿誤差不敏感的結(jié)構(gòu)參數(shù)公差取值可以適當(dāng)加大，盡最大可能地降低并聯(lián)機(jī)構(gòu)的制作成本。

由式(5)得到索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度綜合數(shù)學(xué)模型為：

Δ=AK

(6)

式(6)中：

把式(6)展開得到輸出位姿的誤差與機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的映射關(guān)系

(7)

(8)

(9)

deij為對(duì)應(yīng)于eij的原始誤差aij，是矩陣A的i行j列的元素。根據(jù)原始誤差等效原理，得到給定精度下的各項(xiàng)原始誤差的公差值

求解式(10)、(11)和(12)，可得所建立1T2R索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)用原始誤差等效作用法單個(gè)位姿下的精度綜合模型。式(10)、(11)、(12)中dα、dβ和dγ為給定終端位姿的要求，求解方程(10)、(11)和(12)可分別得到上平臺(tái)邊長(zhǎng)a、下平臺(tái)邊長(zhǎng)b、柔索長(zhǎng)度l1的公差值，然后取3項(xiàng)的最小值，式(13)為單個(gè)位姿下精度綜合的最終結(jié)果。

6 索桿混聯(lián)機(jī)器人精度綜合仿真

以原始誤差dl1、da和db為例，當(dāng)索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿精度要求為：dα=0.02 rad，dβ=0.02 rad，dγ=0.01 rad時(shí)，在0<α<3 rad，0<β<3 rad，γ=0的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 MATLAB中仿真結(jié)果如圖4所示。

根據(jù)圖4中MATLAB精度綜合仿真分析可得，在索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的工作空間內(nèi)，該索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)邊長(zhǎng)參數(shù)a、b對(duì)動(dòng)平臺(tái)的輸出位姿影響最不敏感，柔索的長(zhǎng)度l1對(duì)動(dòng)平臺(tái)輸出位姿精度影響最敏感。所以在樣機(jī)制作與控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該對(duì)柔索長(zhǎng)度進(jìn)行精確控制。

7 索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)制作

索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)控制系統(tǒng)如圖5所示，主要由觸摸屏、PLC、步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器、步進(jìn)電機(jī)、編碼器組成，觸摸屏將相關(guān)的數(shù)據(jù)發(fā)送給PLC，PLC經(jīng)過(guò)處理后輸出相應(yīng)的控制脈沖信號(hào)，經(jīng)過(guò)步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器的放大處理后傳送到步進(jìn)電機(jī)，步進(jìn)電機(jī)再帶動(dòng)絞盤和編碼器進(jìn)行同軸運(yùn)動(dòng)，編碼器檢測(cè)絞盤旋轉(zhuǎn)的角度，以計(jì)數(shù)脈沖的形式反饋到PLC中。應(yīng)用閉環(huán)控制系統(tǒng)，可以有效克服步進(jìn)電機(jī)的失步現(xiàn)象，提高柔索長(zhǎng)度的控制精度。

索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)試驗(yàn)樣機(jī)如圖6所示，在工作空間范圍內(nèi)，分別在觸摸屏中輸入動(dòng)平臺(tái)位姿繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度α，繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度β，繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度γ，用MPU9250角度傳感器測(cè)量動(dòng)平臺(tái)輸出位姿參數(shù)。如表2所示。

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得設(shè)計(jì)的索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)試驗(yàn)樣機(jī)在精度要求范圍之內(nèi)。

8 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)建立索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解方程，運(yùn)用微分原理求解該機(jī)構(gòu)的誤差模型，并用MATLAB軟件仿真分析柔索長(zhǎng)度對(duì)于動(dòng)平臺(tái)位姿誤差的影響。

根據(jù)原始誤差等效原理，對(duì)索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度綜合的研究，使非線性、最優(yōu)化、復(fù)雜的索桿混聯(lián)機(jī)構(gòu)精度綜合問(wèn)題的研究變得簡(jiǎn)單方便。

根據(jù)精度綜合的分析結(jié)果，得到了對(duì)動(dòng)平臺(tái)輸出位姿誤差影響最敏感的結(jié)構(gòu)參數(shù)是3條柔索的長(zhǎng)度誤差，在制作試驗(yàn)樣機(jī)時(shí)要對(duì)3條柔索的長(zhǎng)度進(jìn)行精確控制。