基于EMD-DFA-小波閾值的MEMS陀螺信號去噪方法

丁明寬，石志勇，韓蘭懿，宋金龍，杜濱瀚

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)，河北 石家莊 050003)

隨著慣性導(dǎo)航技術(shù)在自行火炮中的廣泛應(yīng)用，輪式自行火炮逐漸成為新型地面火炮的主要發(fā)展方向。而隨著微電子技術(shù)研究的不斷深入，慣性導(dǎo)航技術(shù)中的核心器件陀螺儀也進(jìn)行了不斷地改進(jìn)，與傳統(tǒng)陀螺相比，MEMS(Micro Electro Mechanical System)陀螺儀具有體積小、耗能低、質(zhì)量輕、易于集成、可批量生產(chǎn)等特點(diǎn)，具有良好的應(yīng)用前景，但仍存在精度低、穩(wěn)定性差等問題[1]，難以獨(dú)立完成導(dǎo)航任務(wù)。MEMS陀螺儀的誤差分為確定性誤差和隨機(jī)誤差，確定性誤差可通過轉(zhuǎn)臺實(shí)驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定，而隨機(jī)誤差易受結(jié)構(gòu)、電路、環(huán)境因素的影響，逐漸成為制約其精度提高的關(guān)鍵因素[2]。

目前，抑制MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差的方法主要有：建模補(bǔ)償法、小波變換法和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法(EMD)。常用的建模方法包括時間序列建模[3]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模[4]等，但MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差具有的非平穩(wěn)性、弱線性、慢時變等特性會導(dǎo)致所建誤差模型精度較低，而應(yīng)用卡爾曼濾波補(bǔ)償?shù)那疤崾墙?zhǔn)確的誤差模型，因此建模補(bǔ)償法效果不理想[5]。小波變換具有較好的時頻局域化特性和多分辨率特性，而且不需要建立系統(tǒng)的誤差模型，常常用于非平穩(wěn)信號的處理，但其本質(zhì)上是一種窗口可調(diào)的傅里葉變換，仍然沒有擺脫傅里葉變換的局限性，而且小波基的選取和分解尺度的確定對小波去噪的效果影響較大，直接對信號進(jìn)行小波閾值去噪會造成部分有用信號的缺失。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法[6]既不需要任何信號的先驗(yàn)知識，也不需要建立誤差模型，可以直接把原始信號分解為若干本征模態(tài)函數(shù)(IMF)和一個余量，然后去除含有噪聲的高頻分量，重構(gòu)低頻分量就可得到原信號。但是，對于含噪本征模態(tài)函數(shù)分量的篩選一直沒有確定的準(zhǔn)則，許多學(xué)者對此進(jìn)行了研究：文獻(xiàn)[7]通過計(jì)算各階IMF分量的自相關(guān)函數(shù)的方差值來篩選噪聲主導(dǎo)分量，方差值小的IMF分量可認(rèn)為是噪聲占主導(dǎo)；文獻(xiàn)[8]利用相關(guān)系數(shù)法篩選本征模態(tài)函數(shù)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)圖中首次出現(xiàn)局部極小值時，可以判定極值點(diǎn)之前的IMF分量為噪聲分量；文獻(xiàn)[9]根據(jù)皮爾遜相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則將IMF分量分為噪聲IMF、混疊IMF和信號IMF三類，然后對混疊分量進(jìn)行處理，取得了較好的效果。此外，傳統(tǒng)的EMD去噪法直接去除噪聲主導(dǎo)的高頻分量，會丟失部分有用信息，導(dǎo)致重構(gòu)信號出現(xiàn)偏差。針對此問題，文獻(xiàn)[9]對分離出來的混疊IMFs進(jìn)行時間序列建模，并采用Kalman濾波進(jìn)行補(bǔ)償，改善了重構(gòu)信號的質(zhì)量。文獻(xiàn)[10]對集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法進(jìn)行了改進(jìn)，通過對噪聲分量進(jìn)行二次分解，提取有用信息，去噪效果有了較大提升。

基于此，筆者提出了一種EMD-DFA-改進(jìn)小波閾值去噪的方法，并分別針對仿真信號和MEMS陀螺儀實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。結(jié)果表明：和EMD-DFA去噪、EMD-DFA-小波閾值去噪相比，筆者提出的方法去噪后信號信噪比較大、均方差較小，重構(gòu)信號精度更高。

1 EMD-DFA-小波閾值的去噪方法

1.1 EMD去噪原理及不足

EMD算法在分解過程中不需要提前設(shè)定基函數(shù)，可以根據(jù)信號的時間特征對非平穩(wěn)非線性信號進(jìn)行分解，得到若干不同時間尺度的固有模態(tài)函數(shù)分量(IMF)和一個余量(RES)，其中IMF分量需要滿足以下條件：全部極值點(diǎn)的數(shù)量和零點(diǎn)數(shù)量必須相同或者二者至多相差1；信號中任一局部極值點(diǎn)所構(gòu)成的包絡(luò)線的均值為0.EMD分解的具體步驟為：

步驟1求出原始信號S(t)的全部極值點(diǎn)，采用3次樣條插值曲線分別把極大值、極小值點(diǎn)連接得到上包絡(luò)線u1(t)和下包絡(luò)線v1(t)，可得均值曲線為

(1)

步驟2將原始信號與均值信號取差得

h1(t)=S(t)-m1(t).

(2)

當(dāng)h1(t)滿足上述兩個IMF條件時，則輸出第一個IMF分量I1.否則，循環(huán)上述步驟直到符合IMF分量的兩個條件為止。

步驟3將I1信號從S(t)中分離出來得

r1(t)=S(t)-I1.

(3)

步驟4重復(fù)步驟1、2直到剩余分量rn小于設(shè)定值或單調(diào)時停止，此時原始信號可以表示為n個固有模態(tài)分量和余項(xiàng)之和:

(4)

傳統(tǒng)EMD去噪法認(rèn)為噪聲主要存在于高頻分量，因此重構(gòu)低頻分量可得到原信號。但是，該方法仍存在以下兩方面的問題：現(xiàn)有的本征模態(tài)函數(shù)篩選方法不僅缺乏系統(tǒng)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，而且缺少仿真實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證；直接去除噪聲主導(dǎo)的高頻分量，會導(dǎo)致有用信號缺失。文獻(xiàn)[9-10]分別提出采用時間序列建模后補(bǔ)償和二次EMD分解提取有用信息的方法，但都較為繁瑣、運(yùn)算量大。因此，筆者主要從這兩個方面對傳統(tǒng)EMD去噪法進(jìn)行改進(jìn)。

1.2 去趨勢波動分析的噪聲主導(dǎo)模態(tài)分量的選取

針對傳統(tǒng)EMD去噪中噪聲和信息主導(dǎo)的IMF分量的臨界點(diǎn)較難判定的問題，將去趨勢波動分析(DFA)引入到IMF分量臨界點(diǎn)的判定上來。DFA是一種衡量非平穩(wěn)序列長程相關(guān)性的方法，通過消除時間序列的局部趨勢來避免非平穩(wěn)性造成的虛假相關(guān)性[11]，其具體步驟如下：

步驟1根據(jù)式(5)對給定的時間序列x(n)預(yù)處理，得到處理后的時間序列y(k)，并將其分為N個長度為n的子空間序列段：

(5)

步驟2通過k階多項(xiàng)式，用最小二乘法實(shí)現(xiàn)每個子空間序列段中極值點(diǎn)間的非線性擬合，得到各個序列段的局部趨勢ys(i)：

(6)

式中，an為擬合多項(xiàng)式系數(shù)。

步驟3消除各子空間序列段的波動趨勢，求出平方的平均數(shù)，并計(jì)算該數(shù)據(jù)序列的二階波動函數(shù)：

(7)

(8)

步驟4改變步驟1中子區(qū)間的長度n，重復(fù)步驟2、3，得到全序列波動函數(shù)隨子區(qū)間長度n的變化曲線，繪制曲線的雙對數(shù)坐標(biāo)圖，擬合曲線得到的斜率即為去趨勢波動分析法求得的Hurst指數(shù)。

(9)

文獻(xiàn)[12]中指出：Hurst指數(shù)反應(yīng)了時間序列的相關(guān)性，常用標(biāo)度指數(shù)α來表示。α=0.5,1.0,1.5分別表示完全不相關(guān)白噪聲、粉紅噪聲和布朗噪聲。作為衡量信號序列粗糙度的指標(biāo)，其值越大，信號越平滑或趨于緩慢波動。當(dāng)0<α<0.5時，信號短程相關(guān)，可認(rèn)為噪聲占比大；α=0.5表示信號不相關(guān)；當(dāng)α>0.5時，信號存在長程相關(guān)性，為有用信號。因此，通過計(jì)算各階IMF分量的標(biāo)度指數(shù)值α，可以較準(zhǔn)確的分辨噪聲和信息主導(dǎo)的IMF分量。

1.3 小波閾值去噪及改進(jìn)

針對傳統(tǒng)EMD去噪法直接去除噪聲分量時導(dǎo)致部分有用信號缺失的問題，筆者利用小波閾值去噪法對噪聲主導(dǎo)的分量進(jìn)行去噪，提取有用信號。小波變換具有較好的時頻局域化特性和多分辨率特性，而且不需要建立系統(tǒng)的誤差模型，理論上非常適合MEMS陀螺儀非平穩(wěn)信號的處理。

小波閾值去噪是根據(jù)信號和噪聲在小波分解系數(shù)中分布特性的不同進(jìn)行閾值量化處理，其具體步驟如下：首先確定合適的小波基函數(shù)和分解層次，對含噪信號分解得到各小波系數(shù)；其次是選定合適的閾值及閾值函數(shù)，對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理；最后，將閾值化處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換得到原信號。其中核心的步驟包括閾值的選取和閾值的作用規(guī)則，筆者從這兩個方面進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步提取噪聲主導(dǎo)的含噪分量中的有用信息。

在門限閾值的選取方面，常用的固定閾值計(jì)算公式為

(10)

式中：σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；L為信號長度。

當(dāng)信號較長時，式(10)求得的閾值較大而且在各層閾值量化過程中始終保持不變，會略去部分有用信號。隨著分解尺度的增大，含有噪聲的小波系數(shù)逐漸減小，這就要求閾值應(yīng)隨分解尺度的增加而逐漸減小。因此筆者采用隨分解層數(shù)動態(tài)變化的閾值選取規(guī)則,為

(11)

式中：i為分解層數(shù)；λi為對應(yīng)i層上的門限閾值。

在閾值函數(shù)的選取方面，硬閾值法完全保留了較大的小波系數(shù)，對于較小的小波系數(shù)直接置0，使得在wj,k=±λ處不連續(xù)，會導(dǎo)致重構(gòu)信號的振蕩。而軟閾值法通過對大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行收縮來提高連續(xù)性，但存在恒定偏差λ，影響重構(gòu)信號精度。除此之外，對于小于λ的小波系數(shù)，軟、硬閾值函數(shù)均將小波系數(shù)置0處理，使得部分信號丟失，必然會導(dǎo)致重構(gòu)信號存在偏差。因此，筆者設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)：

(12)

通過調(diào)節(jié)a、b的大小，可以使此改進(jìn)函數(shù)具有較大的靈活性，而且對小波系數(shù)小于閾值的部分進(jìn)行了保留，減小了重構(gòu)誤差。由式(13)、(14)知，該函數(shù)在wj,k=λ處連續(xù)，同理可證在-λ處連續(xù)，相比硬閾值函數(shù)具有較好的連續(xù)性。

(13)

(14)

1.4 基于EMD-DFA-小波閾值去噪流程圖

筆者提出的EMD-DFA-小波閾值去噪方法流程圖如圖1所示。

2 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

仿真實(shí)驗(yàn)分為3個部分：利用合成信號對DFA篩選準(zhǔn)則的可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)；分別利用傳統(tǒng)小波閾值法和改進(jìn)小波閾值法對仿真信號進(jìn)行去噪，對比其去噪效果，證明改進(jìn)小波閾值去噪的可行性；利用提出的方法對MATLAB中doppler信號進(jìn)行去噪，與傳統(tǒng)閾值去噪和EMD-DFA傳統(tǒng)小波閾值去噪做對比，驗(yàn)證筆者提出方法的有效性。為進(jìn)一步評價各種去噪方法的效果，采用均方根誤差(MSE)和信噪比(SNR)兩個參數(shù)來衡量。

(15)

(16)

式中：f(i)為原始信號；f′(i)為去噪后信號。

當(dāng)f′(i)-f(i)越小時，信噪比越大，均方根誤差越小，此時去噪效果越好。

2.1 去趨勢波動分析篩選噪聲主導(dǎo)分量方法的驗(yàn)證

為驗(yàn)證DFA判別法的可行性，分析仿真信號：x(t)=sin(2πf1t)+sin(2πf2t)，f1=1 Hz，f2=10 Hz，采樣頻率為fs=2 kHz，采樣長度N=1 000，向該信號中添加隨機(jī)白噪聲。EMD分解得到8階IMF分量，計(jì)算各階IMF分量分別為0.317 9、0.226 7、0.348 1、0.441 2、0.776 4、0.903 0、0.995 8、0.994 6，其中1～4階IMF分量的標(biāo)度指數(shù)均小于0.5，可認(rèn)為前4階為噪聲主導(dǎo)分量；5～8階IMF分量的標(biāo)度指數(shù)均大于0.5，為信號主導(dǎo)分量。從IMF2開始依次遞增地合并到IMF8的分量中，效果對比如圖2所示，合并5～8階的IMF分量與原始信號波形最接近。為進(jìn)一步比較逐階合并后的去噪效果，計(jì)算降噪前后信噪比和均方差大小,如表1所示，合并5～8階IMF分量的重構(gòu)信號均方差最小、信噪比最高。以上分析皆表明：前4階IMF分量為噪聲主導(dǎo)分量，與DFA判定方法一致，證明了DFA法判定噪聲主導(dǎo)IMF分量的可行性。

表1 逐層合并IMF分量的去噪效果對比

2.2 改進(jìn)小波閾值去噪法的效果驗(yàn)證

為驗(yàn)證改進(jìn)閾值函數(shù)的有效性，向仿真信號中加入3 dB白噪聲,采用傳統(tǒng)小波閾值法和改進(jìn)小波閾值法進(jìn)行去噪。小波變換時選取小波基為db5，分解層數(shù)取為5.經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)，采用硬閾值函數(shù)去噪后信號的波形有一定的振蕩且波形較為粗糙；采用軟閾值函數(shù)去噪后的信號波形較光滑但可能丟失部分有用信息；而改進(jìn)的小波閾值去噪法在盡量減小波形振蕩的同時有效地抑制了有用信息的丟失，提高了重構(gòu)信號的可信度。當(dāng)a=1.25,b=-0.16，時，改進(jìn)小波閾值去噪的效果最好，其降噪效果如圖3所示。為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)小波閾值去噪的普適性，向仿真信號中分別加入-3 dB和6 dB白噪聲后進(jìn)行去噪分析。由于噪聲的隨機(jī)性，筆者通過多次實(shí)驗(yàn)求取均方差和信噪比的平均值，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。在不同噪聲情況下，改進(jìn)的小波閾值去噪方法效果均優(yōu)于傳統(tǒng)的小波閾值去噪，尤其適用于低信噪比的情況。

表2 加入不同噪聲時各種去噪方法效果對比

2.3 基于EMD-DFA-小波閾值去噪法仿真分析

為驗(yàn)證筆者提出方法的有效性，采用doppler仿真信號進(jìn)行分析，分別向信號中添加信噪比為-3、3、6 dB的高斯白噪聲，然后利用EMD-DFA法、EMD-DFA-小波硬閾值法、EMD-DFA-小波軟閾值法、EMD-DFA-改進(jìn)小波閾值法對該信號進(jìn)行去噪，計(jì)算各種方法去噪前后的信噪比和均方差結(jié)果如表3所示。

表3 仿真信號去噪效果比較

在添加-3 dB噪聲情況下，EMD-DFA-改進(jìn)小波閾值和EMD-DFA去噪法相比，信噪比提高了26.6%，均方差降低了29.9%；采用不同的閾值對噪聲主導(dǎo)的IMF分量去噪過程中，改進(jìn)的小波閾值去噪法信噪比提高了6.5%，均方差減小了5.2%.除此之外，在添加3 dB、6 dB噪聲的情況下，筆者提出的方法仍然有效，證明了提出方法的有效性和適用性。

3 MEMS陀螺儀實(shí)測數(shù)據(jù)分析

筆者針對低成本的MPU-6050陀螺儀進(jìn)行研究，在室溫條件下，將標(biāo)定后的MEMS慣性傳感器通過夾具靜止固定于水平試驗(yàn)臺上，采樣頻率設(shè)定為100 Hz，接通電源，預(yù)熱0.5 h后連續(xù)采集30 s數(shù)據(jù)，取陀螺儀的Y軸采樣數(shù)據(jù)作為陀螺儀的原始輸出數(shù)據(jù)，經(jīng)解算后，陀螺儀隨機(jī)漂移誤差的原始信號如圖4所示。將該信號進(jìn)行EMD分解，得到11階IMF分量，如圖5所示。按照頻率高低依次展開，分別計(jì)算其標(biāo)度因數(shù)，如表4所示，前5階IMF分量小于0.5,可認(rèn)為前5階為噪聲主導(dǎo)分量，后6階作為有效IMF分量。

表4 MEMS陀螺儀信號各階IMF分量的標(biāo)度指數(shù)

利用EMD-DFA法、EMD-DFA-傳統(tǒng)小波閾值法、EMD-DFA改進(jìn)的小波閾值法去噪后的效果如圖6所示，分別計(jì)算其均方差、信噪比如表5所示。采用EMD-DFA去噪法直接去除了前5階噪聲主導(dǎo)分量，導(dǎo)致部分信息缺失，而采用EMD-DFA-改進(jìn)小波閾值去噪法較好地保留了信號的波形，其均方差降低了22%，信噪比提高了59%；和傳統(tǒng)小波閾值去噪法相比，筆者提出的方法去噪后均方差降低了12%，信噪比提高了13%.

表5 MEMS陀螺儀信號去噪效果評價

4 結(jié)束語

針對MEMS陀螺儀輸出信號中噪聲較大的問題，提出了一種EMD-DFA-改進(jìn)小波閾值去噪的方法。將DFA方法引入到噪聲主導(dǎo)的IMF分量的判定上來，并通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了DFA判定方法的可行性。另外，改進(jìn)閾值函數(shù)的小波去噪性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的小波閾值去噪。通過對MEMS陀螺實(shí)測信號去噪分析表明，筆者提出的方法比傳統(tǒng)EMD法的均方差降低了22%，信噪比提高了59%，和EMD-DFA-傳統(tǒng)小波閾值去噪相比，均方差降低了12%，信噪比提高了13%，驗(yàn)證了所提出的方法在MEMS 陀螺信號去噪中的可行性和優(yōu)越性。

筆者提出的方法能有效抑制MEME陀螺儀隨機(jī)誤差，對提高M(jìn)EMS微慣性測量單元的精度具有較大意義。該方法本質(zhì)上是將小波閾值去噪引入到EMD去噪中，取得了較好的效果，對于多種理論融合去噪法的研究具有一定的參考價值。