基于改進(jìn)型灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型的裝備損耗研究

李籽圻，陳桂明，許令亮，李喬揚(yáng)

(1.火箭軍工程大學(xué) 研究生院，陜西 西安 710025；2.火箭軍工程大學(xué) 作戰(zhàn)保障學(xué)院，陜西 西安 710025)

現(xiàn)代技術(shù)特別是高新技術(shù)發(fā)展迅猛，作戰(zhàn)形式逐步轉(zhuǎn)變?yōu)楹！㈥?、空、天、?磁)多維一體，戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境瞬息萬變。先進(jìn)裝備作為未來作戰(zhàn)的核心力量，對(duì)打擊敵方重要目標(biāo)和戰(zhàn)局的扭轉(zhuǎn)等起著關(guān)鍵性作用。因此，在戰(zhàn)爭(zhēng)開始前，大型重要裝備的儲(chǔ)備與保障問題必須慎重考慮，作為重點(diǎn)進(jìn)行深入研究。

隨著戰(zhàn)斗的深入，武器裝備的損耗影響著戰(zhàn)爭(zhēng)的成敗。由于影響戰(zhàn)爭(zhēng)的因素錯(cuò)綜復(fù)雜、盤根交錯(cuò)，對(duì)戰(zhàn)時(shí)裝備損耗模型的建立及預(yù)測(cè)分析而言，變得更加復(fù)雜和困難。

建立較為準(zhǔn)確的戰(zhàn)時(shí)裝備損耗預(yù)測(cè)模型，對(duì)于裝備的儲(chǔ)備與保障起到關(guān)鍵性作用，有利于決策者做出科學(xué)合理的判斷。國(guó)內(nèi)外學(xué)者也加大對(duì)裝備損耗的預(yù)測(cè)研究分析，文獻(xiàn)[1]運(yùn)用隨機(jī)過程理論，建立了描述軍用裝備戰(zhàn)損的數(shù)學(xué)模型，并導(dǎo)出了平均損耗速率的計(jì)算公式進(jìn)行預(yù)測(cè)分析。文獻(xiàn)[2]運(yùn)用平穩(wěn)時(shí)間序列模型，建立了武器裝備損耗備件預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[3]利用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，進(jìn)行了裝備損耗預(yù)測(cè)方法應(yīng)用研究。文獻(xiàn)[4]以最大綜合戰(zhàn)斗力指數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，考慮多種預(yù)測(cè)影響因素，建立多約束條件下的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用遺傳算法對(duì)模型進(jìn)行求解，但影響戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境因素眾多，所建立的模型較復(fù)雜，求解較困難。文獻(xiàn)[5]通過引入火力分配系數(shù)矩陣，改進(jìn)蘭徹斯特戰(zhàn)斗方程，結(jié)合武器毀傷系數(shù)，建立了空空導(dǎo)彈消耗量預(yù)測(cè)模型。文獻(xiàn)[6]研究了基于遺傳算法的空空導(dǎo)彈消耗量BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法。文獻(xiàn)[7]提出綜合毀傷率概念并給出算法，基于最小彈藥消耗量和最優(yōu)活力分配原則，利用加權(quán)平均的思想，建立計(jì)算模型，為彈藥預(yù)測(cè)建立基礎(chǔ)，但是對(duì)于不同目標(biāo)之間的權(quán)重配比，缺乏一定的理論分析。

傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法，大多基于數(shù)據(jù)的擬合或統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)。但對(duì)于戰(zhàn)時(shí)裝備損耗，隨著戰(zhàn)斗進(jìn)程的推進(jìn)，各數(shù)據(jù)之間差異較大，十分分散，規(guī)律性不強(qiáng)，導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度較低。利用智能算法進(jìn)行預(yù)測(cè)，需要大量的數(shù)據(jù)集訓(xùn)練模型，而戰(zhàn)時(shí)裝備損耗的數(shù)據(jù)較少，并且過多的訓(xùn)練次數(shù)，會(huì)使模型記憶訓(xùn)練數(shù)據(jù)脫離原有數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，導(dǎo)致模型泛化能力比較差。

1 整體框架

針對(duì)戰(zhàn)時(shí)裝備損耗的特點(diǎn)，筆者提出改進(jìn)型灰色-馬爾可夫模型。灰色理論由鄧聚龍教授在1982年首次提出，至今灰色理論已經(jīng)形成了一套完整的分析、預(yù)測(cè)、評(píng)估等系統(tǒng)體系，是一種適合信息不完備系統(tǒng)建模的方法[8]?；疑獹M(1,1)預(yù)測(cè)模型首先將原始數(shù)據(jù)處理成單增趨勢(shì)的新數(shù)據(jù)，滿足灰色理論的級(jí)比，就可以運(yùn)用灰色理論?；疑碚撛谔幚硇颖尽埲毙畔⒌扔兄?dú)特的優(yōu)勢(shì)，但是預(yù)測(cè)精度較低[9-11]。馬爾可夫過程是指，將來的事件狀態(tài)取決于當(dāng)前事件狀態(tài)，與過去事件狀態(tài)無關(guān)，具有無后效性。戰(zhàn)時(shí)裝備損耗的特點(diǎn)滿足這一條件，將來所需的預(yù)測(cè)值，只與當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)有關(guān)，而與過去狀態(tài)無關(guān)[12]。因此，結(jié)合馬爾可夫預(yù)測(cè)理論，使預(yù)測(cè)信息更加精確，有利于決策者做出判斷。裝備損耗數(shù)據(jù)受戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境影響較大，無法明確的區(qū)分出各個(gè)因素對(duì)裝備損耗數(shù)據(jù)的影響，而模糊C均值聚類分析適用于處理數(shù)據(jù)之間的模糊關(guān)系，深層次地分析數(shù)據(jù)之間的相似程度，并對(duì)其進(jìn)行分類[13-15]。

圖1為筆者提出的改進(jìn)型灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型的方法流程圖。

2 改進(jìn)型灰色-馬爾科夫預(yù)測(cè)模型

2.1 數(shù)據(jù)處理

設(shè)原始數(shù)據(jù)X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}，xmax代表原始數(shù)據(jù)中的最大值，xmin代表原始數(shù)據(jù)中的最小值，P表示兩者之比，即：

xmax=max{X0}，

(1)

xmin=min{X0} ，

(2)

P=xmax/xmin.

(3)

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行加速指數(shù)變換：

X1={x1(1),x1(2),…,x1(n)} ，

(4)

式中，

x1(k)=x0(k)×Pk-1,k=1,2,…,n.

(5)

再進(jìn)行幾何平均變換：

X2={x2(1),x2(2),…,x2(n)}，

(6)

式中，

(7)

2.2 灰色預(yù)測(cè)模型

將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到指數(shù)單增序列，灰色預(yù)測(cè)模型能夠較好地處理連續(xù)單增的數(shù)據(jù)，因此，對(duì)X2序列進(jìn)行累加得到

X3={x3(1),x3(2),…,x3(n)} ，

(8)

式中，

(9)

將累加后的X3序列代入灰色模型白化微分方程：

(10)

式中：a為發(fā)展灰數(shù)，反映對(duì)應(yīng)序列的發(fā)展趨勢(shì)；b為灰作用量，反映數(shù)據(jù)序列的變化關(guān)系。

進(jìn)一步求得灰色模型灰色微分方程[16-19]：

x0(k)+az1(k)=b，

(11)

式中，

(12)

灰色微分方程對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)序列為

(13)

(14)

其中，

(15)

(16)

k=2,3,…,n,

(17)

2.3 模糊C均值聚類法

模糊C均值聚類法，簡(jiǎn)稱FCM算法，是以類內(nèi)加權(quán)平方誤差和最小為目標(biāo)，將1組數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類，根據(jù)隸屬度最大原則，將數(shù)據(jù)分為n個(gè)聚類中心點(diǎn)，并輸出1個(gè)模糊劃分矩陣，聚類中心點(diǎn)表示每個(gè)類的平均特征，可以認(rèn)為這一類數(shù)據(jù)的代表點(diǎn)。利用原始數(shù)據(jù)與初步預(yù)測(cè)值之差進(jìn)行聚類：

(18)

獲得聚類中心點(diǎn)ci和模糊狀態(tài)劃分矩陣。

FCM算法相比于K均值方法的硬聚類，引入了隸屬度概念，使得聚類結(jié)果更加靈活。FCM算法通過優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)得到每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)所有類中心的隸屬度，從而決定樣本點(diǎn)的類屬以達(dá)到自動(dòng)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分類的目的[20-21]。

FCM算法給每個(gè)樣本賦予屬于每個(gè)簇的隸屬度函數(shù)，通過隸屬度值大小來將樣本歸類，一般步驟為：

1)確定分類數(shù)，指數(shù)m的值，確定迭代次數(shù)(這是結(jié)束的條件，當(dāng)然結(jié)束的條件可以有多種)。

2)初始化一個(gè)隸屬度U(注意條件，總和為1)。

3)根據(jù)U計(jì)算聚類中心ci.

4)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)J.

5)根據(jù)ci返回去計(jì)算U，回到步驟3，一直循環(huán)直到結(jié)束。

假定數(shù)據(jù)集為X，如果把這些數(shù)據(jù)劃分成類，那么對(duì)應(yīng)的就有c個(gè)類中心，每個(gè)樣j屬于某一類i的隸屬度為uij，定義FCM目標(biāo)函數(shù)為

(19)

約束條件為

(20)

式中：n為樣本數(shù)；m為一個(gè)隸屬度的因子；xj為第j個(gè)樣本，是具有d維特征的一個(gè)樣本；ci為i簇的中心，也具有d維度；‖xj-ci‖2表示歐式距離。

FCM不斷迭代計(jì)算隸屬度和簇中心，直至達(dá)到最優(yōu)。

2.4 加權(quán)馬爾可夫過程

馬爾可夫一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為[22]

(21)

(22)

式中：Mij為狀態(tài)i→j一步轉(zhuǎn)移個(gè)數(shù)；Mi為狀態(tài)i的個(gè)數(shù);N為劃分的狀態(tài)空間的個(gè)數(shù)。

多步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

P(q)={P(1)}q，

(23)

式中，q為步長(zhǎng)。

戰(zhàn)時(shí)裝備損耗量數(shù)據(jù)之間存在一定的聯(lián)系，為了挖掘各個(gè)數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，引入狀態(tài)權(quán)重，根據(jù)劃分的狀態(tài)空間的個(gè)數(shù)N，依次求出所需預(yù)測(cè)時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)的前N個(gè)狀態(tài)權(quán)重，依據(jù)數(shù)據(jù)之間的相互依存關(guān)系，進(jìn)行加權(quán)狀態(tài)和，最終確定所需預(yù)測(cè)時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)的狀態(tài)，求得最終預(yù)測(cè)值。

原始數(shù)據(jù)序列的自相關(guān)系數(shù)為

(24)

將求得的自相關(guān)系數(shù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)歸一化，得到狀態(tài)權(quán)重θi：

(25)

為了確定所需時(shí)間點(diǎn)預(yù)測(cè)值數(shù)據(jù)的狀態(tài)，將前面若干時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)作為初始值，根據(jù)前面歷史數(shù)據(jù)到所預(yù)測(cè)值的時(shí)間點(diǎn)的步長(zhǎng)，求得多步轉(zhuǎn)移矩陣；最后計(jì)算權(quán)重和，確定預(yù)測(cè)時(shí)間點(diǎn)的所屬狀態(tài)空間：

(26)

式中：E為狀態(tài)空間；Pj為歷史時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間。

根據(jù)最大隸屬度原則max(Pi)所對(duì)應(yīng)的即為預(yù)測(cè)時(shí)間點(diǎn)數(shù)據(jù)狀態(tài)。則最終預(yù)測(cè)值為

(27)

式中，ci為第i狀態(tài)對(duì)應(yīng)的聚類中心點(diǎn)。

3 實(shí)例驗(yàn)證

目前關(guān)于戰(zhàn)時(shí)裝備損耗的相關(guān)數(shù)據(jù)記錄少、獲取困難，同時(shí)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)具有保密性，無法公開。因此，為了驗(yàn)證提出的損耗預(yù)測(cè)方法應(yīng)用于符合時(shí)間序列特性的數(shù)據(jù)的合理性和正確性，以及方法的優(yōu)越性，筆者采用文獻(xiàn)[23]中某航空彈藥維修器材的損耗數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。將原始數(shù)據(jù)，經(jīng)過加速指數(shù)變換和幾何平均變換數(shù)據(jù)處理后，轉(zhuǎn)換為連續(xù)增長(zhǎng)型數(shù)據(jù)，并帶入灰色預(yù)測(cè)模型，由式(1)～(17)得到初步預(yù)測(cè)值，如表1所示。

表1 航空彈藥維修器材2006—2015年初步預(yù)測(cè)值

利用式(18)求得原始數(shù)據(jù)與初步預(yù)測(cè)值之差，并運(yùn)用FCM，以類內(nèi)加權(quán)平方誤差和最小為目標(biāo)，進(jìn)行狀態(tài)劃分，獲得聚類中心點(diǎn)和模糊劃分矩陣。

圖2表示不同的誤差分類數(shù)下，類內(nèi)加權(quán)誤差平方和和迭代次數(shù)的關(guān)系。由圖2可知，將誤差值ΔE劃分為4類，此時(shí)迭代次數(shù)最少，并且類內(nèi)加權(quán)平方誤差和最小。因此將誤差值分為4類，得到的4個(gè)聚類中心點(diǎn)和模糊劃分矩陣，如表2所示。

表2 聚類中心點(diǎn)和模糊劃分矩陣

利用式(27)，利用初步預(yù)測(cè)值和聚類中心點(diǎn)，可求得2006—2014年的改進(jìn)型灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)值，如圖3所示。

從圖3可知，經(jīng)過灰色預(yù)測(cè)模型得到的初步預(yù)測(cè)值，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度較差，并且預(yù)測(cè)趨勢(shì)與原始數(shù)據(jù)差距較大；而筆者提出的方法預(yù)測(cè)精度較高，并且能夠較好地反映出數(shù)據(jù)的趨勢(shì)走向。

分別計(jì)算出2006—2014年初步預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)之差，由表2可求出對(duì)應(yīng)每一年所處狀態(tài)，由式(21)～(22)得到一步轉(zhuǎn)移矩陣為

(28)

根據(jù)2006—2014年的數(shù)值預(yù)測(cè)2015年損耗量，為深度挖掘2015年數(shù)據(jù)與歷史數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，選擇2011—2014年數(shù)據(jù)，由式(23)～(25)求得各階轉(zhuǎn)移概率矩陣和馬爾可夫狀態(tài)權(quán)重，具體如表3所示。

表3 2015年預(yù)測(cè)值表

由表3可知，由式(25)，求出2015年數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)狀態(tài)的所占權(quán)重，根據(jù)最大隸屬度原則，2015年損耗狀態(tài)為狀態(tài)S2，因此，根據(jù)式(27)，得到2015年預(yù)測(cè)值，如圖4所示。

圖4表明，灰色預(yù)測(cè)模型利用歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)2015年損耗量，存在較大誤差，而利用筆者所提方法，預(yù)測(cè)2015年損耗量，準(zhǔn)確度較高，誤差較小。

為了驗(yàn)證所提模型的預(yù)測(cè)精度，將原始數(shù)據(jù)分別帶入灰色預(yù)測(cè)模型和改進(jìn)灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型，得到預(yù)測(cè)值，分別計(jì)算灰色預(yù)測(cè)模型和改進(jìn)灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型與原始數(shù)據(jù)之間的誤差，得出絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差量，如圖5所示。

由圖5可知，運(yùn)用改進(jìn)型灰色-馬爾可夫模型，進(jìn)行損耗預(yù)測(cè)分析研究，絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差降低明顯，誤差較小，并且由圖3得到，整個(gè)預(yù)測(cè)過程趨勢(shì)和真實(shí)值損耗趨勢(shì)更為接近，較好地反映了將來時(shí)刻損耗預(yù)測(cè)值的走向。

傳統(tǒng)的裝備損耗預(yù)測(cè)方法主要包括唯象型、唯理型方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。唯象型方法快速便捷，但精度不高，逐漸不適用于信息化、智能化戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)代的預(yù)測(cè)要求。唯理型方法，如蘭徹斯特方程，通過解析法預(yù)測(cè)裝備損耗。但現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中包含的諸多因素，復(fù)雜且多變，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了蘭徹斯特方程賴以建立的預(yù)先假設(shè)條件。而當(dāng)下運(yùn)用廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，需要大量的數(shù)據(jù)支撐，也不適用于戰(zhàn)時(shí)裝備損耗預(yù)測(cè)。筆者提出的基于改進(jìn)型灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型的損耗預(yù)測(cè)方法，簡(jiǎn)單快捷，預(yù)測(cè)精度高，同時(shí)對(duì)復(fù)雜不確定的因素進(jìn)行模糊處理，能夠得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。

4 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)戰(zhàn)時(shí)裝備損耗數(shù)據(jù)呈振蕩的特點(diǎn)，運(yùn)用加速指數(shù)變換和幾何平均變換方法，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使其更好地適應(yīng)于灰色預(yù)測(cè)模型，得到初步預(yù)測(cè)值。接著利用原始數(shù)據(jù)與初步預(yù)測(cè)值之差，運(yùn)用FCM法，以類內(nèi)加權(quán)平方誤差和最小為目標(biāo)，根據(jù)迭代次數(shù)最少和誤差平方和最小，將數(shù)據(jù)分為4類，獲得4個(gè)聚類中心點(diǎn)和模糊劃分矩陣，進(jìn)而求得一步轉(zhuǎn)移矩陣，為了挖掘各個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，引入了馬爾可夫狀態(tài)權(quán)重，更加精確地確定預(yù)測(cè)時(shí)間點(diǎn)的所屬狀態(tài)，進(jìn)而求得預(yù)測(cè)值。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證筆者所提方法預(yù)測(cè)精度較高，并且能夠較好地反映出接下來時(shí)刻的損耗趨勢(shì)。考慮戰(zhàn)爭(zhēng)中不確定因素的影響，結(jié)合戰(zhàn)時(shí)記錄數(shù)據(jù)，進(jìn)一步優(yōu)化模型，是接下來研究的重點(diǎn)。