一般多粒度量化軟粗糙集模型

劉玉鋒，孫文鑫

1.重慶城市科技學院，重慶402160

2.重慶水利電力職業(yè)技術學院，重慶402160

粗糙集[1]是一種用來進行數據挖掘和規(guī)則提取的數學工具。它在數據信息的處理中有獨到的方法和手段，能準確地刻畫對象。目前，粗糙集的研究主要體現在模型的應用和推廣中[2-3]。例如：有些將等價劃分中的粗糙集推廣到區(qū)間值信息系統(tǒng)、序信息系統(tǒng)等[3-5]；有些將粗糙集和其他理論相結合建立了新的粗糙集模型[6-10]；有些將單論域的粗糙集推廣到雙論域中[11-13]。

多粒度粗糙集[14]是粗糙集的一種推廣，它最早由Qian在2010年提出。它是運用粒計算的知識將單個關系劃分的類看成一個粒，進而定義由多個關系劃分（多個粒）時的粗糙集上下近似算子。近年來，多粒度粗糙集理論的研究成果也是碩果累累[15-20]。

軟粗糙集模型是粗糙集模型的一種推廣，軟下近似是建立在函數F(a)完全包含于被刻畫概念X中的。近幾年，軟粗糙集模型的推廣也有很多成果[21-28]，比如：多粒度軟粗糙集和程度多粒度軟粗糙集模型等[29-30]。其中，樂觀多粒度軟粗糙集的下近似要求至少存在一個粒滿足函數F(a)完全包含于被刻畫概念X中，悲觀多粒度軟粗糙集的下近似則要求所有粒滿足函數F(a)完全包含于被刻畫概念X中，程度多粒度軟粗糙集的下近似要求部分滿足函數F(a)完全包含于被刻畫概念X中，這些模型的下近似定義都是建立在函數F(a)完全包含于被刻畫概念X中的。在實際應用中，數據誤差對概念刻畫會產生誤差，不能完全正確地描述概念，從而降低上述模型在實際應用中的適應性。

為了解決此類問題，本文通過定義含參數α的計數函數構建一種具有知識容錯能力，能夠適應帶有數據誤差情形的一般多粒度量化軟粗糙集模型，并討論了一般多粒度量化軟粗糙的度量及其性質。最后，通過案例進行分析和說明。

1 預備知識

定義1[31]設非空集U、E，對于任意的A?E，如果存在集值映射F:A→P(U)，則稱S=(F,A)為U上的軟集。

注意：對于任意的a∈A，在S=(F,A)中，F(a)可能為空集。

定義2[23]設S=(F,E)是U上的軟集，A?E，那么P=(U,S)稱為軟近似空間。對于任意的集合X?U，定義軟下、上近似分別為：

定義3[29]設S=(F,E)是U上的軟集，(F,A i)(i=1,2,…,m)是論域U中的軟子集(A i?E)。對于任意的X?U，定義樂觀多粒度軟下近似和上近似分別為：

定義悲觀多粒度軟下近似和上近似分別為：

文獻[30]研究了多粒度軟粗糙集模型下近似的結構，在此基礎上考慮粒度的選取，進而提出了程度多粒度軟粗糙集模型，并將多粒度軟粗糙集模型下近似統(tǒng)一到程度多粒度軟粗糙集模型中。

定義4[30]設S=(F,E)是U上的軟集，其中(F,A i)(i=1,2,…,m)為U上的m個不同軟集(A i?E)，對于任意X?U，x?U，則定義元素x在屬性A i下關于X的計數函數

定義5[30]設S=(F,E)是U上的軟集，其中(F,A i)(i=1,2,…,m)是U上的m個不同軟集(A i?E)，對于任意的集合X?U,β∈(0,1]，定義程度多粒度軟下、上近似分別為：

2 一般多粒度量化軟粗糙集模型

程度多粒度粗糙集模型中下近似考慮了在一定數目粒度下“?a∈A i，x∈F(a)且F(a)?X”，在實際應用中不一定完全滿足F(a)?X，需要具備一定容錯能力的粗糙集模型，為解決此類問題，下面通過量化F(a)與X間的包含程度引入計數函數，構建了一種量化軟粗糙集模型。

定義6設S=(F,E)是U上的軟集，其中(F,A i)(i=1,2,…,m)是U上的m個不同軟集(A i?E)，對于任意的集合X?U，參數α∈(0,1]，且F(a)≠?時，記

性質1設S=(F,E)是U上的軟集，其中(F,A i)(i=1,2,…,m)為U上的m個不同軟集(A i?E)，對于任意的集合X、Y?U，參數α,λ∈(0,1]，且F(a)≠?時，則量化計數函數有以下性質成立：

（2）如果X?Y，則

（5）如果α≤λ，則有，特別的，當λ=1時，

證明下面依次給出以上性質的證明過程。

（1）對任意的x?U,假設,則存在a∈矛盾，因此

定義7設S=(F,E)是U上的一個軟集，(F,A i)(i=1,2,…,m)是論域U上的m個不同的軟集(A i?A)，對于任意的X?U，α,β∈(0,1]，定義一般多粒度量化軟下、上近似分別為：

根據一般多粒度量化軟粗糙集的定義，可以得到其正域、負域、下邊界域，上邊界域分別為：

根據一般多粒度量化軟粗糙集的定義，有下面性質成立。

性質2設S=(F,E)是U上的一個軟集，(F,A i)(i=1,2,…,m)是U上的m個不同軟集，對于任意的集合X,Y?U，α,β∈(0,1]，則有以下性質成立：

證明接下來，依次給出以上性質的證明過程。

（7）根據性質（3）和性質（5）可得。

（8）根據性質（4）和性質（6）可得。

定義8[23]設S=(F,E)是U上的軟集，如果則稱S是U上的滿軟集。

性質3設S=(F,E)是U上的滿軟集，(F,A i)(i=1,2,…,m)是U上的m個不同滿軟集A i?E，對于任意的集合X,Y?U，參數α,β,λ∈(0,1]，則有以下性質成立：

3 一般多粒度量化軟粗糙集不確定性度量

不確定性度量是粗糙集中的重要部分，下面討論一般多粒度量化軟粗糙集的不確定性度量。

定義9設S=(F,E)是U上的一個軟集，(F,A i)(i=1,2,…,m)是U上的m個不同軟子集，對于任意的集合X?U，α,β∈(0,1]，定義一般多粒度量化軟粗糙集的精確度和粗糙度為：

由一般多粒度量化軟粗糙集精確度和粗糙度的定義可以得到以下性質成立。

定理5設S=(F,E)是U上的一個軟集，(F,A i)(i=1,2,…,m)是U上的m個不同軟子集，對于任意的集合X?U，α,β,λ∈(0,1]，如果α≤λ，有：

4 案例分析

隨著環(huán)境的改變，各種傳染病如SARS病毒、新型冠狀病毒等通過各種渠道侵犯著人們的身體。為了避免交叉感染，各地各單位都采取了隔離等措施，然而如何將感染的人群隔離開成了一個關鍵問題。有些病人已經感染病毒，卻無法得到確診。這給醫(yī)護人員的工作開展帶來了很大的困擾。無法確診的疑似感染人員也給自身和社會帶來了巨大的恐慌。被感染的患者大都有以下癥狀：發(fā)熱、頭痛、呼吸困難、惡心、干咳、鼻塞、四肢無力、畏寒等記為V={a1,a2,…,a8}。在某城市有一批人疑似感染病毒的群體設為U={x1,x2,…,x10}，這些人中多少有感染的癥狀具體觀察記錄情況見表1。經過一段時間的觀察他們中某些人被確診為感染了病毒設為X={x4,x5,x7,x9,x10}?，F一批來自不同地方的專家進行聯合會診，一批針對發(fā)熱、頭痛、鼻塞癥狀A1={a1,a2,a6}人群進行會診，一批針對呼吸困難、惡心、干咳癥狀A2={a3,a4,a5}人群進行會診，一批針對發(fā)熱、四肢無力、畏寒癥狀A3={a1,a7,a8}人群進行會診。根據表1可得：

表1 某城市疑似感染病毒群體癥狀記錄表

在α=0.6，時，由參數α量化計數函數計算得表2，再根據一般多粒度量化軟粗糙集模型可以計算得：

表2 疑似感染病毒群體的癥狀在α=0.6時的計數函數

根據一般多粒度量化軟粗糙集下、上近似算子的計算結果可以看出，患者x5,x7,x9,x10是確診病人中病情比較嚴重的；患者x4雖然被確診但是有望康復的概率是很大的；患者x2雖未確診但染病的概率極大；患者x1,x3,x6,x8未確診但有染病的風險；患者x1,x3,x8被感染的可能較低，應該分開隔離以避免交叉感染（此處α和β取值可以根據不同地區(qū)感染的嚴重程度和醫(yī)院的情況設置）。根據上述分析，在傳染病盛行的時候，患者人群最好分四類進行觀察管理，這樣有助于將患者進行分區(qū)觀察，也能很好地分配醫(yī)護人員，有助于醫(yī)護人員工作的開展。

在α=0.8，時，由參數α量化計數函數計算得表3，再據一般多粒度量化軟粗糙集模型可以計算得：

表3 疑似感染病毒群體的癥狀在α=0.8時的計數函數

由上述結果可知，下近似隨著α增大而增大，上近似隨著α增大而減少。在實際應用中應該根據對疾病的掌握情況適當地設置α取值，以防止因數據誤差而導致診斷失誤，從而加大傳染病傳播的可能性。因此一般多粒度量化軟粗糙集模型的數據分析方法更具有實際意義，它在決策過程中能夠解決因數據誤差可能帶來的決策失誤。

5 結論

軟粗糙集理論的研究已近成為當今學術界熱門的研究課題之一。本文通過定義α計數函數將多粒度軟粗糙集和量化粗糙集結合起來建立了一般多粒度量化軟粗糙集。此外，為了突出模型的優(yōu)勢和劣勢，定義了一般多粒度量化軟粗糙集的精確度和粗糙度。一般多粒度量化軟粗糙集模型的建立完善了多粒度軟粗糙集理論，為軟粗糙集的數據挖掘和規(guī)則提取奠定了理論基礎。