有理數(shù)加法法則教學(xué)的調(diào)查研究及教學(xué)啟示

孫凱 仲博文

[摘? 要] “有理數(shù)的加法”是整個初中階段代數(shù)的基礎(chǔ)，對后續(xù)代數(shù)式、函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)有著重要的影響. 為提升初中生有理數(shù)加法法則的正確使用率，筆者利用自編的調(diào)查問卷對七年級學(xué)生進(jìn)行了“學(xué)前調(diào)查”和“學(xué)后調(diào)查”，得到了如下教學(xué)啟示：構(gòu)建背景支架，明晰法則的來龍去脈;構(gòu)建直觀支架，理解法則的數(shù)學(xué)本質(zhì);構(gòu)建情感支架，體悟法則的通解通法;構(gòu)建遷移支架，挖掘法則的應(yīng)用延伸.

[關(guān)鍵詞] 有理數(shù)加法;調(diào)查研究;教學(xué)啟示;支架

問題的提出

“有理數(shù)的加法”是蘇科版七年級數(shù)學(xué)上冊第一章第五節(jié)第一課時的內(nèi)容，是小學(xué)加法運算的拓展，是整個初中階段代數(shù)的基礎(chǔ)，對其掌握程度直接關(guān)系著實數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式以及函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)成效. 就本節(jié)課而言，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能運用有理數(shù)加法法則正確、熟練地進(jìn)行有理數(shù)加法運算，是這節(jié)課成功的重要標(biāo)志. 然而，在實際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生學(xué)習(xí)完有理數(shù)加法法則之后，法則的使用率不高或者使用不規(guī)范，導(dǎo)致運算的錯誤率較高，這表明學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則的現(xiàn)狀不容樂觀，在教師教與學(xué)生學(xué)這兩個層面上都存在問題，現(xiàn)梳理、總結(jié)如下.

從學(xué)生層面上看，主要有以下三點. 第一，法則使用不規(guī)范. 學(xué)生對異號兩數(shù)相加且正數(shù)的絕對值較大的兩數(shù)相加時，不遵循“判斷類型—確定和的符號—進(jìn)行絕對值的加減運算”的法則應(yīng)用步驟，而是先進(jìn)行絕對值的加減運算，再判斷結(jié)果的符號，或干脆不判斷結(jié)果的符號. 第二，對“+”“-”符號的理解有誤. 部分學(xué)生計算時直接省略“+”號，把加法運算轉(zhuǎn)化為減法運算，還有部分學(xué)生直接去括號，讓兩個符號沒有括號分隔，使計算出現(xiàn)混亂. 第三，對有理數(shù)加法法則的來龍去脈認(rèn)識模糊. 法則內(nèi)容繁雜，步驟較多，學(xué)生在法則運用時有困惑，從而產(chǎn)生畏難情緒，有一部分學(xué)生甚至未使用法則進(jìn)行運算，對法則的使用缺乏信心.

從教師層面上看，單課時教學(xué)時間短、任務(wù)重，且對學(xué)生學(xué)情了解不透徹. 教師很難在有限的時間內(nèi)從學(xué)生的原有認(rèn)知經(jīng)驗出發(fā)，遵循學(xué)生的心理發(fā)展順序設(shè)置教學(xué). 若讓學(xué)生在運算活動中充分探索、嘗試錯誤、理解方法，并自主總結(jié)法則，會出現(xiàn)由于時間不夠而導(dǎo)致對法則的思考和認(rèn)知不足的情況，從而形成一種假性建構(gòu)，學(xué)生無法形成正常的使用法則運算的條件反射，還會依照原來的運算方法進(jìn)行有理數(shù)加法運算，導(dǎo)致運算正確率無法正常提升.

調(diào)查研究背景的說明與假設(shè)

1. 調(diào)查研究背景的說明

（1）調(diào)查對象

調(diào)查對象為A校初一學(xué)生，隨機抽取具有代表性的兩個班級，調(diào)查共設(shè)兩個時段：一是在他們學(xué)習(xí)“有理數(shù)的加法”的前一天（下文簡稱“學(xué)前調(diào)查”），二是在其學(xué)過該節(jié)一學(xué)期后（下文簡稱“學(xué)后調(diào)查”）.

（2）問卷設(shè)計

問卷共8道題，其中6道是計算題，2道是開放性問題. 開放性問題為：你的計算依據(jù)是什么？說一說你是怎樣算出來的. 這兩道開放題是為了解學(xué)生的具體思維過程而設(shè)定的. 6道計算題涉及有理數(shù)加法法則的四個部分，分別是符號相同的兩個數(shù)相加、符號不同且絕對值不相等的兩個數(shù)相加、符號不同且絕對值相等的兩個數(shù)相加，一個數(shù)同零相加. 難度設(shè)置循序漸進(jìn)，遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律.

（3）調(diào)查目的

通過此次調(diào)查，教師能細(xì)致、準(zhǔn)確地了解學(xué)生在進(jìn)行有理數(shù)加法運算時的依據(jù)和所經(jīng)歷的思維過程. 調(diào)查后可統(tǒng)計學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后，使用的各種運算方法及正確率，對比分析后，研究學(xué)生在運用有理數(shù)加法法則時出現(xiàn)的問題及原因，找出能讓學(xué)生切實體會到運用加法法則必要性的方法，并就如何提升學(xué)生正確運用有理數(shù)加法法則的能力，給出針對性的教學(xué)建議.

2. 調(diào)查研究背景假設(shè)

問卷由學(xué)生獨立填寫，不要求署名. 問卷限定10分鐘完成，共收回有效問卷101份，占所發(fā)問卷的97.16%. 在學(xué)前調(diào)查中，假定學(xué)生在參與調(diào)查之前沒有自學(xué)過有理數(shù)加法法則;假定每一位學(xué)生都能精準(zhǔn)地表述自己進(jìn)行有理數(shù)加法運算的依據(jù)，能清晰地說出自己是怎樣計算的;由于6道計算題用于運算的數(shù)都較為簡單，且初一學(xué)生的運算能力有所提升，所以假設(shè)學(xué)生不會出現(xiàn)運算失誤的情況，結(jié)果錯誤都是由學(xué)生的解題思路有偏差造成的.

調(diào)查研究結(jié)果統(tǒng)計和分析

1. 調(diào)查研究數(shù)據(jù)統(tǒng)計

本次參與調(diào)查的共101人，時間跨度為一學(xué)期. 根據(jù)假設(shè)，計算總正確率的規(guī)則為總正確率= ×100%. 特別地，學(xué)生必須6道計算題全部計算正確且計算依據(jù)描述清晰完整，才能計入總正確人數(shù). 若學(xué)生有1道及以上的題目做錯，則計入總錯誤人數(shù)，由此得到不同錯誤算法種類的錯誤率. 每一道題的正確率則利用公式“每一道題的正確率= ×100%”進(jìn)行計算. 學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前，學(xué)生運算的總正確率為39.6%;學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之后，學(xué)生運算的總正確率為90%.有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)前的調(diào)查統(tǒng)計如表1，一學(xué)期后計算思路及人數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表2.

2. 調(diào)查研究結(jié)果分析

（1）使用有理數(shù)加法法則進(jìn)行運算的準(zhǔn)確率遠(yuǎn)高于其他方法

調(diào)查顯示，學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前，學(xué)生的計算方法繁雜多樣，但利用法則進(jìn)行加法運算的學(xué)生為9人，占學(xué)生總?cè)藬?shù)的0.09%;學(xué)習(xí)完該節(jié)課的內(nèi)容之后，有85%左右的學(xué)生運用有理數(shù)加法法則進(jìn)行運算. 然而，就目前的情況來看，嚴(yán)格按照有理數(shù)加法法則運算步驟進(jìn)行有理數(shù)加法運算的學(xué)生占比不高，一些學(xué)生還沒有養(yǎng)成使用有理數(shù)加法法則運算的習(xí)慣，繼續(xù)沿用以往的運算習(xí)慣.

（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前已基本具備數(shù)形結(jié)合意識

超過10%的學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前就已經(jīng)可以利用數(shù)軸解決有理數(shù)加法問題，且對“0”這個有理數(shù)的幾何意義有非常清晰的理解. 這些前序知識的積累為本節(jié)課進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想奠定了堅實的基礎(chǔ). 初一的學(xué)生正處在具體運算階段向形式運算階段過渡的時期，學(xué)生已掙脫具象思維的束縛，開始逐步形成抽象邏輯思維，學(xué)生此時萌發(fā)出的數(shù)形結(jié)合意識急需得到教師的引導(dǎo)和肯定. 學(xué)生所處的這種特殊發(fā)展階段，極大地縮短了學(xué)生獨立解決問題的真實發(fā)展水平與在教師指導(dǎo)或同其他同學(xué)合作情況下解決問題的潛在發(fā)展水平之間的差距.

（3）學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后，“轉(zhuǎn)化為相反數(shù)”的方法使用率降低最多

數(shù)據(jù)顯示，在有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)之前，有近20%的學(xué)生嘗試運用該方法進(jìn)行有理數(shù)的加法運算，這是使用率最高的一種算法. 這種算法的本質(zhì)是將正數(shù)與負(fù)數(shù)的加法運算轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)之間的減法運算，運用了轉(zhuǎn)化與化歸思想，將涉及負(fù)數(shù)的“陌生問題”轉(zhuǎn)化為兩個正數(shù)之間的運算，即把“陌生問題”轉(zhuǎn)化為“熟悉的問題”. 學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則后，這種算法的使用率為3%左右，降低了近17%，這說明轉(zhuǎn)化與化歸思想已經(jīng)逐步在學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之后得到深化，已融入法則的應(yīng)用當(dāng)中.

（4）學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后，“省略‘+號”的方法使用率也有所下降

通過統(tǒng)計學(xué)生的計算方法，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對“+”“-”號的意義理解得不夠透徹. 對于直接將“+”號省略進(jìn)行運算的方法使用率，學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則前后降低了10%左右，這說明學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之前對有理數(shù)加法的運算對象認(rèn)識不清晰，學(xué)習(xí)完有理數(shù)加法法則之后，仍沒有完全消除這種運算對象模糊的現(xiàn)象. 若教師能在學(xué)生學(xué)習(xí)法則時對有理數(shù)加法的運算對象進(jìn)行強調(diào)，加深其對“+”“-”號意義的理解，則會幫助學(xué)生認(rèn)識有理數(shù)加法的運算本質(zhì)，從而為有理數(shù)加法法則的正確運用奠定有力的基礎(chǔ).

教學(xué)啟示

1. 構(gòu)建背景支架，明晰法則的來龍去脈

奧蘇伯爾的研究表明：學(xué)習(xí)的實質(zhì)是學(xué)習(xí)者使具有潛在意義的新知與其原認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立實質(zhì)性的聯(lián)系，進(jìn)而擴建新認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程. 可見，新的知識總是基于學(xué)生已有的舊知而建立起來的. 因此，在教學(xué)中構(gòu)建背景支架，有利于學(xué)生找準(zhǔn)新、舊知識的連接點，能喚起與形成新知識相關(guān)的舊知，從而使學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu)對新知的學(xué)習(xí)具有某種“召喚力”. 學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗是小學(xué)階段的算術(shù)數(shù)（絕對值）、有理數(shù)及相關(guān)概念，主要包括數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值三個部分. 基于張奠宙教授關(guān)注的“超經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的教學(xué)研究[1]，我們可以舍棄一些偽情境對本課主要研究課題的干擾，直擊問題，從“相反數(shù)的和為0”出發(fā)，歸類研究不同情形的兩數(shù)求和問題. 特別地，要能說清符號不同兩數(shù)求和的算理，利用運算律、相反數(shù)的和為0的性質(zhì)進(jìn)行推證，這樣不僅能得到符號不同的兩數(shù)相加的法則，而且有一定的“數(shù)學(xué)味”（證明的味道），能幫助學(xué)生明晰有理數(shù)加法法則的來龍去脈，于潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2. 構(gòu)建直觀支架，理解法則的數(shù)學(xué)本質(zhì)

國外相關(guān)研究表明，學(xué)生在小學(xué)階段對自然數(shù)加法意義的認(rèn)識和算理的理解不夠深入，導(dǎo)致在初中階段對有理數(shù)加法的理解存在認(rèn)知困難. 對于有理數(shù)的運算，不僅要會正確運算，而且要明晰算理，能說出運算中每一步所涉及的概念、運算定律和運算法則. 對于有理數(shù)的運算教學(xué)，教師不能只關(guān)注學(xué)生能否正確運算，還應(yīng)充分挖掘其教學(xué)價值，以促進(jìn)學(xué)生思維的提高和發(fā)展. 比如課本中的第一個情境是足球比賽得分問題，備課時我們就應(yīng)該思考如下問題：它的本質(zhì)是什么？作用是什么？任何一個生活情境的解讀都必須體現(xiàn)借助生活現(xiàn)實、完成數(shù)學(xué)抽象、利用邏輯推理這三大過程，這也是基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生活情境解讀之道[2]. 在邏輯推理環(huán)節(jié)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸探究并歸納有理數(shù)加法法則，學(xué)生則依據(jù)這個直觀平臺進(jìn)行分析，于是容易獲得兩個不同有理數(shù)相加的結(jié)果. 接下來，教師不要急于肯定學(xué)生的答案，而應(yīng)追問：這個結(jié)果合理嗎？“-”“+”是什么意思？絕對值又代表什么？在教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生運算有據(jù)的推理意識，發(fā)展學(xué)生的推理能力，理解法則的數(shù)學(xué)本質(zhì). 最后，在歸納解決問題的過程中，滲透算法思想，進(jìn)一步強化規(guī)則的重要性[3].

3. 構(gòu)建情感支架，體悟法則的通解通法

上文中的研究數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果顯示，學(xué)習(xí)有理數(shù)加法法則之后，還有很多學(xué)生堅持用自己的方式進(jìn)行有理數(shù)加法運算，導(dǎo)致在有理數(shù)加法運算中出現(xiàn)錯誤，且對有理數(shù)運算的理解水平偏低. 針對這種現(xiàn)象，國內(nèi)學(xué)者對其展開了一些調(diào)查研究. 王傳兵在研究報告中指出，七年級學(xué)生對“+”“-”號的3種意義（即表示運算符號，表示正、負(fù)數(shù)的性質(zhì)符號，“-”號還可以表示相反數(shù)）的理解存在一定困難[4]. 胡趙云研究發(fā)現(xiàn)，七年級的學(xué)生甚至八年級的學(xué)生學(xué)習(xí)了有理數(shù)加法法則之后，仍然傾向于將有理數(shù)的加減法運算轉(zhuǎn)化為自然數(shù)的加減法運算[5]. 由此可見，引導(dǎo)學(xué)生意識到他們的方法只能解決有理數(shù)加法運算中的部分問題，負(fù)數(shù)引入后，急需探索一種通解通法用于解決所有類別的有理數(shù)相加問題，從而讓他們體悟有理數(shù)加法法則學(xué)習(xí)的必要性. 德國教育學(xué)家第斯多惠說：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒、鼓舞. ”有效的情感支架對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程具有非常明顯的推動作用，因此，教師應(yīng)采取各種手段創(chuàng)設(shè)情感情境，讓學(xué)生以飽滿的熱情參與到學(xué)習(xí)當(dāng)中，樂于使用有理數(shù)加法法則解決有理數(shù)加法問題.

4. 構(gòu)建遷移支架，挖掘法則的應(yīng)用延伸

蘇聯(lián)著名教育家斯托利亞爾在《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué).”在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置一定的延伸性數(shù)學(xué)活動，構(gòu)建遷移支架，能使學(xué)生從教師的分析、引導(dǎo)中懂得怎樣變更問題，進(jìn)行聯(lián)想、類比、遷移等. 比如在最后的有理數(shù)加法法則運用環(huán)節(jié)，可以做一個延伸，具體題目如下：

例1 用“>”或“<”填空.

（1）如果a>0，b>0，那么a+b_____0;

（2）如果a<0，b<0，那么a+b_____0;

（3）如果a>0，b<0，a>b，那么a+b_____0;

（4）如果a<0，b>0，a>b，那么a+b_____0.

例2 請根據(jù)式子（-4）+3，舉出一個恰當(dāng)?shù)纳顚嵗?

對有理數(shù)加法法則的延伸，既能加深學(xué)生對法則的理解，又能擴大法則的應(yīng)用，還能使學(xué)生切實提升基礎(chǔ)知識的深度與廣度. 從法則的價值來看，學(xué)生需要體悟的不僅僅是法則的運用，它的探索過程同樣值得借鑒，能為接下來有理數(shù)的運算學(xué)習(xí)提供范式. 因此，在構(gòu)建遷移支架時，需要在法則探索過程中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)思想方法. 經(jīng)歷有理數(shù)加法法則的延伸教學(xué)，學(xué)生可以靈活運用法則，促進(jìn)思維從低階思維向高階思維發(fā)展. 在教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析、大膽創(chuàng)新，既要注意有理數(shù)加法法則的綜合應(yīng)用，又要善于把法則和其他內(nèi)容進(jìn)行有機聯(lián)系，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

[1] 張奠宙. 關(guān)注“超經(jīng)驗數(shù)學(xué)”的教學(xué)研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2015（08）.

[2] 浦?jǐn)⒌? 初中數(shù)學(xué)教材中“生活情境”的解讀之道[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（08）.

[3] 王紅權(quán)，李馨. 從系統(tǒng)的觀點看一元二次方程的解法教學(xué)設(shè)計[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（03）.

[4] 王傳兵. 七年級學(xué)生對負(fù)數(shù)概念的理解[D]. 華東師范大學(xué)，2007.

[5] 胡趙云. 立足學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)? ?重構(gòu)有理數(shù)加減運算[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2004（04）.