定位分析策略探索 核心探討教學(xué)微設(shè)

李欣榮

[摘? 要] 圓錐曲線是高考的重難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題流程，形成解題策略極為重要. 教學(xué)中建議立足考題開展過程探究，圍繞核心之問進(jìn)行教學(xué)微設(shè)計(jì)，關(guān)注學(xué)生的思維活動(dòng)，重視解題方法講解. 文章以一道考題為例進(jìn)行教學(xué)探究，基于教學(xué)實(shí)踐提出相應(yīng)建議.

[關(guān)鍵詞] 圓;三角形;面積;線段;最值;平面幾何

考題探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方式，通過引導(dǎo)學(xué)生探究問題，總結(jié)解法，可有效提升學(xué)生的解題思維. 而在探究過程中要關(guān)注兩方面內(nèi)容：一是問題的解析策略，二是學(xué)生的思維活動(dòng). 下面基于一道考題開展教學(xué)探究.

呈現(xiàn)問題，定位分析

問題：已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且與x軸和y軸分別交于點(diǎn)A和B，設(shè)圓心C的坐標(biāo)為t， （t∈R，t≠0），試回答下列問題.

（1）求證：△AOB的面積為定值.

（2）若直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M和N，且OM=ON，試求圓C的方程.

（3）在（2）成立的條件下，設(shè)點(diǎn)P是直線l：x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，探究PB+PQ是否存在最小值，若存在請(qǐng)求出該最小值，以及點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

定位分析：本題目中以圓為背景，探究直線與圓的位置關(guān)系、三角形的面積模型、線段和的最值，其中涉及直線、三角形等幾何圖形，問題的綜合性極強(qiáng). 探究過程要注重讀圖審題，策略分析，思路構(gòu)建.

思路構(gòu)建，問題詳解

考題共分三小問，每一問各自獨(dú)立，又相互依存，思路構(gòu)建過程可采用分步探究的方式，立足設(shè)問條件，探索構(gòu)建方法.

第一問：構(gòu)建幾何模型，解析面積最值

審題：設(shè)定點(diǎn)A和B為圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，并給出圓心坐標(biāo)，求證△AOB的面積為定值.

策略分析：分析三角形特征，構(gòu)建面積模型，設(shè)定坐標(biāo)參數(shù)求證面積定值. 可按照“構(gòu)建模型→定值解析”的思路來逐步突破.

過程突破：已知圓心C的坐標(biāo)為t， ，設(shè)圓的半徑為r，則可將圓的方程表示為（x-t）2+y-? =r2. 由于圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故t2+ =r2，化簡圓的方程可得x2-2tx+y2- y=0. 由于點(diǎn)A和B分別是圓與坐標(biāo)x軸和y軸的交點(diǎn)，結(jié)合圓的方程可得點(diǎn)A（2t，0），B0， . 結(jié)合圖像可將△AOB的面積表示為S = OAOB，由點(diǎn)坐標(biāo)可知OA=2t，OB= ，所以S = 2t· =4，所以△AOB的面積為定值4.

第二問：轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，解析圓的方程

審題：題干設(shè)定直線2x+y-4=0與圓C的交點(diǎn)為M和N，且OM=ON，顯然△OMN是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的等腰三角形，存在幾何特性.

策略分析：根據(jù)上述幾何條件可知點(diǎn)C位于線段MN的中垂線上，OC與MN就為垂直關(guān)系，根據(jù)斜率之積為-1，可求出圓心的坐標(biāo)，后續(xù)對(duì)直線與圓的位置關(guān)系加以論證即可. 分如下兩步求解，第一步，把握幾何特性，提取斜率關(guān)系，推導(dǎo)圓心坐標(biāo);第二步論證直線與圓的相交關(guān)系.

過程突破：設(shè)定MN的中點(diǎn)為H，根據(jù)等腰三角形特性可知CH⊥MN，且C，O，H三點(diǎn)共線，故直線2x+y-4=0與直線OC為垂直關(guān)系. 已知直線2x+y-4=0的斜率為k =-2，則直線OC的斜率k = = ，可解得t=2或t=-2，因此圓心分別為（2，1）或（-2，-1）.

①當(dāng)圓心為（2，1）時(shí)，圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，則圓心到直線的距離為 = < ，此時(shí)直線與圓C為相交關(guān)系，符合題意;②而當(dāng)圓心為（-2，-1）時(shí)，C的方程為（x+2）2+（y+1）2=5，此時(shí)圓心到直線的距離為 = > ，此時(shí)直線與圓為相離關(guān)系，不滿足題意，舍去.

綜上可知，圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5.

過程分析：實(shí)際上對(duì)于第二步的“相交關(guān)系論證”還可以采用方程聯(lián)立的方式進(jìn)行化簡，由于直線與圓C相交，故有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則聯(lián)立Δ>0，即可做出排除.

第三問：處理動(dòng)點(diǎn)條件，探究線段最值

審題：該問在第（2）問的基礎(chǔ)上構(gòu)建，核心條件是點(diǎn)P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則分別滿足對(duì)應(yīng)的方程. 探究PB+PQ的最小值，屬于雙動(dòng)點(diǎn)問題，需要關(guān)注圓與直線的位置特性.

策略分析：PB+PQ中的點(diǎn)P和Q分別為動(dòng)點(diǎn)，故屬于雙動(dòng)點(diǎn)最值問題. 可以采用單動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化的策略，先設(shè)點(diǎn)P為定點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓與直線的距離特性確定最小值;然后分析點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)的最值情形.

過程突破：設(shè)點(diǎn)P為定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，易知PQ的最小值為PC- ，則PB+PQ的最小值為PB+PC- . 而當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求PB+PC- 的最小值，只需PB+PC取得最小值即可，點(diǎn)B和C位于定直線l的同一側(cè)，顯然滿足幾何最值中的“將軍飲馬”模型，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)B′，顯然當(dāng)B′，P和C三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC可取得最小值，此PB+PC=B′C，B′C與直線l的交點(diǎn)可設(shè)為P . 點(diǎn)B（0，2），其對(duì)稱點(diǎn)B′（-4，-2），則線段B′C=3 ，所以PB+PQ的最小值為B′C- =2 . 由點(diǎn)B′和點(diǎn)C的坐標(biāo)可求直線B′C的表達(dá)式為y= x，聯(lián)立方程y= x，x+y+2=0，可得點(diǎn)P - ，- .

綜上可知點(diǎn)，PB+PQ存在最小值，最小值為2 ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為- ，- .

核心探討，教學(xué)“微設(shè)”

上述在解析圓錐曲線問題時(shí)，立足考題條件，開展策略分析，詳盡地呈現(xiàn)了解題過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維. 而在實(shí)際教學(xué)中，建議立足核心之問開展教學(xué)微設(shè)計(jì)，下面基于第（3）問進(jìn)行階梯設(shè)問，引導(dǎo)思考.

環(huán)節(jié)（一）——單動(dòng)點(diǎn)回顧，最值初探

題設(shè)：已知圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，與坐標(biāo)y軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)P是直線l：x+y+2=0上的定點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

設(shè)問：如何求PQ的最小值.

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生設(shè)定點(diǎn)P的位置，結(jié)合圖像分析，當(dāng)點(diǎn)Q位于點(diǎn)P和點(diǎn)C中間，且三點(diǎn)共線時(shí)PQ取得最小值，連接PC，與⊙C的交點(diǎn)就為點(diǎn)Q. 由于圓的半徑為 ，則PQ的最小值為PC- . 分析過程要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題策略，掌握數(shù)形結(jié)合的分析方法，活用“三點(diǎn)共線”確定點(diǎn)的位置.

環(huán)節(jié)（二）——模型回顧，突破最值

題設(shè)：已知圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，與坐標(biāo)y軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)P是直線l：x+y+2=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

設(shè)問：按照上述思路如何求PB+PQ的最小值.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將PB+PQ轉(zhuǎn)化為求PB+PC- ，讓學(xué)生關(guān)注PB+PC中點(diǎn)與直線的位置情形，引入“將軍飲馬”模型，引導(dǎo)學(xué)生回顧模型的解析方法，充分利用軸對(duì)稱變換和“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理進(jìn)行最值求解.

環(huán)節(jié)（三）——問題變式，思維拓展

變式：已知圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5，與坐標(biāo)y軸的交點(diǎn)為B，點(diǎn)P是直線l：x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，試求△PBC周長的最小值.

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)周長公式轉(zhuǎn)化為求PB+PC+BC的最小值，其中BC為定值 ，則本質(zhì)上就是求PB+PC的最小值，同樣可結(jié)合“將軍飲馬”模型進(jìn)行突破. 教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題本質(zhì)，總結(jié)常見模型的知識(shí)原理.

解后探討，教學(xué)反思

1. 注重解題引導(dǎo)，提升解題技巧

圓錐曲線考題的解析難度較大，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題技巧十分重要. 以上述綜合題的突破過程為例，教學(xué)中建議按照“條件審視→策略分析→過程探究”的流程逐步突破，在“條件審視”環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注條件特征，挖掘問題本質(zhì);“策略分析”時(shí)基于問題本質(zhì)思考類型問題的突破策略及知識(shí)原理;而在“過程探究”中注重設(shè)問引導(dǎo)，結(jié)合解題策略分步突破. 教學(xué)引導(dǎo)中要注重解題的方法技巧總結(jié)，必要時(shí)可開展多解探究，充分提升學(xué)生的解題能力.

2. 挖掘幾何特性，構(gòu)建直觀模型

圓錐曲線問題具有“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，充分挖掘其中的幾何特性，構(gòu)建直觀的模型可降低問題的思維難度，也是該類問題突破的重要手段. 如上述第（2）問基于幾何垂直構(gòu)建斜率關(guān)系，第（3）問挖掘其中的“將軍飲馬”模型，直接確定最值情形，平面幾何知識(shí)在問題突破中發(fā)揮了重要的作用. 教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方法分析問題，挖掘圖像中的幾何特性，利用幾何特性轉(zhuǎn)化問題，構(gòu)建思路. 同時(shí)，注重挖掘函數(shù)知識(shí)的幾何意義，借用模型探究培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀性.

3. 關(guān)注學(xué)生思維，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)生的思維活動(dòng)是教學(xué)關(guān)注的重點(diǎn)，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生充分思考，參與探究過程，親歷解題過程，形成解題策略. 以上述考題探究為例，基于核心之問進(jìn)行教學(xué)微設(shè)計(jì)，由易到難，剖析問題本質(zhì)，思考解題策略，同時(shí)基于問題開展變式探究，拓展學(xué)生思維. 教學(xué)中可合理滲透數(shù)學(xué)的思想方法，圍繞解題探索感悟數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、模型思想等，讓學(xué)生掌握解題方法的同時(shí)獲得思想上的提升，后者對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)極為重要.