數(shù)列中最值問(wèn)題的求解方法

江蘇省吳江中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 李士榮

求解數(shù)列最值問(wèn)題首先要考慮的是能否確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，一旦通項(xiàng)公式確定，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。如果在求解的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式無(wú)法求解，那么此時(shí)能夠使用的“傷害最高”的武器就是構(gòu)造法，構(gòu)造一個(gè)與題干中所給的數(shù)列形式相近的新函數(shù)，從新函數(shù)入手進(jìn)行分析，從而確定最值。

一、小試牛刀，求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的最值

數(shù)列問(wèn)題往往不單獨(dú)考查，會(huì)與函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)綜合起來(lái)，欲求原數(shù)列最值，通常可以先結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，當(dāng)anan+1時(shí)，{an}是遞減數(shù)列。在眾多數(shù)列最值問(wèn)題求解時(shí)，數(shù)列單調(diào)性往往是一種重要的手段，尤其是在解決選擇題、填空題時(shí)具備顯著的優(yōu)勢(shì)。

二、情景應(yīng)用，求滿(mǎn)足數(shù)列的特定條件的最值

確定數(shù)列的最值問(wèn)題是對(duì)數(shù)列本身的形式進(jìn)行分析，一般情況下用函數(shù)法，即根據(jù)數(shù)列的形式構(gòu)造新函數(shù)，并對(duì)新函數(shù)的最值進(jìn)行分析，從而確定原數(shù)列的最值。

三、場(chǎng)景遷移，求數(shù)列滿(mǎn)足條件的參數(shù)的最值

對(duì)于該類(lèi)問(wèn)題，首先需要觀察數(shù)列特征，對(duì)于某些看似形式復(fù)雜的數(shù)列而言，可以運(yùn)用裂項(xiàng)的方式進(jìn)行“消除”，這其實(shí)是整理數(shù)列形式的過(guò)程，也是必不可少的一個(gè)環(huán)節(jié)。當(dāng)然，并不是所有的數(shù)列都可以通過(guò)化簡(jiǎn)的方式進(jìn)行整理，此時(shí)就可以考慮函數(shù)法進(jìn)行求解。根據(jù)數(shù)列形式設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，并對(duì)函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行分析，從而確定最值，不過(guò)在該過(guò)程中，函數(shù)的自變量存在范圍限制。

對(duì)于這種分式型的數(shù)列問(wèn)題，首先要考慮的就是形式的轉(zhuǎn)化，因?yàn)閷⒃瓟?shù)列轉(zhuǎn)變?yōu)閱问叫偷臄?shù)列問(wèn)題或者是整式型的數(shù)列問(wèn)題更利于思考。

四、拓展提升，求數(shù)列雙變量參數(shù)最值

該類(lèi)問(wèn)題是數(shù)列中的常見(jiàn)問(wèn)題之一。要求確定某個(gè)最值，根據(jù)最值確定已知數(shù)列的有關(guān)參數(shù)。針對(duì)該類(lèi)問(wèn)題，首先要做的是挖掘隱含條件，然后對(duì)最值的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再進(jìn)一步分析，在確定了最值后，一般情況下數(shù)列的形式也就確定了，由此可以再確定需要求參數(shù)值。

上述例題看上去是一道數(shù)列求取參數(shù)的問(wèn)題，但實(shí)際上是確定a3+a4+a5最值的問(wèn)題。結(jié)合題干中的信息可得z=3a1+9d，但是對(duì)于該類(lèi)雙變量問(wèn)題，直接思考的難度過(guò)高，可以結(jié)合題干信息對(duì)數(shù)列形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這一轉(zhuǎn)化過(guò)程是學(xué)生在面對(duì)該類(lèi)問(wèn)題時(shí)必須要具備的能力。

綜上，數(shù)列的最值問(wèn)題并不是什么“疑難雜癥”，只要“對(duì)癥下藥”也是可以快速解決的，其解法總結(jié)起來(lái)就是，能確定數(shù)列通項(xiàng)公式的先確定其通項(xiàng)公式，如果無(wú)法確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以考慮運(yùn)用構(gòu)造法構(gòu)建新函數(shù)，從而對(duì)函數(shù)形式進(jìn)行分析，最終確定其最值。