非衍射渦旋電磁波自由空間傳播特性研究

周 欣，王 翔，劉默然，周 晨

（武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院 空間物理系，湖北 武漢 430072）

0 引言

渦旋電磁波傳播時(shí)具有螺旋相位波前結(jié)構(gòu)，且在有不同本征值的渦旋電磁波之間可以相互正交。利用這一特性，人們通過(guò)研究攜帶有軌道角動(dòng)量的渦旋電磁波在大氣環(huán)境和空間等離子體環(huán)境中的傳播特性，可以發(fā)展在地球空間環(huán)境中的渦旋電磁波通信新技術(shù)和空間環(huán)境遙感探測(cè)新方法。此外，強(qiáng)電磁波與空間等離子體的波粒相互作用特性及其應(yīng)用一直為人們所關(guān)注。

2010 年Mohammadi 系統(tǒng)地研究了如何利用天線陣列仿真產(chǎn)生攜帶OAM 態(tài)的渦旋電磁波[1]。文獻(xiàn)[2]利用渦旋電磁波進(jìn)行了通信實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)組采用具有渦旋形狀的拋物面天線發(fā)射渦旋電磁波并利用八木天線接收，驗(yàn)證了渦旋電磁波能應(yīng)用在無(wú)線傳輸領(lǐng)域[3]。在雷達(dá)成像領(lǐng)域，2013 年Guo 等分析了將渦旋波應(yīng)用于雷達(dá)成像的可能性[4]。此后，一系列理論研究、仿真皆證實(shí)渦旋波可用于雷達(dá)成像研究[5?6]。在此基礎(chǔ)上，2017 年Liu 等實(shí)現(xiàn)基于渦旋波的超分辨率雷達(dá)成像[7]。2017 年崔玉國(guó)等利用光學(xué)中的菲涅爾衍射理論，對(duì)基于拉蓋爾?高斯渦旋電磁場(chǎng)的自由空間傳播特性進(jìn)行了理論分析，并探討了渦旋電磁波在地基大功率電離層加熱中的應(yīng)用[8]。

在光學(xué)領(lǐng)域，基于非衍射信號(hào)源的光束特征研究已經(jīng)有很長(zhǎng)的歷史。文獻(xiàn)[6]指出亥姆霍茲方程存在一類無(wú)衍射模式的解，由于非衍射波束在一定的傳輸距離內(nèi)能保持束型不變，而且傳播過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)自愈和自聚焦現(xiàn)象，使得非衍射波束具有十分廣闊的應(yīng)用前景。在衍射控制方面，目前主要有Bessel 型、Mathieu 型和Airy 型等非衍射波束，這種非衍射波束在傳播過(guò)程中具有非衍射性（Non?Diffraction）和自愈性（Self?Focusing），不會(huì)橫向擴(kuò)散能量，具有重要的科學(xué)意義和工程實(shí)用價(jià)值[7?8]。因此，本文基于非衍射電磁波的原理，研究非衍射渦旋電磁波束的自由空間傳播特性。

本文首先推導(dǎo)典型的非衍射渦旋波束解析形式，研究非衍射渦旋電磁波在自由空間傳播的特性，重點(diǎn)分析不同模態(tài)和傳播距離下，非衍射型渦旋電磁波的空間相位分布和空間場(chǎng)強(qiáng)分布，并將結(jié)果與傳統(tǒng)的衍射型拉蓋爾?高斯波束自由空間傳播特性進(jìn)行比較。本文的研究對(duì)利用渦旋電磁波進(jìn)行空間環(huán)境探測(cè)具有重要的理論指導(dǎo)意義。

1 衍射型渦旋電磁波自由空間傳播特性

拉蓋爾?高斯（Laguerre?Gaussian，LG）模 式是由Allen 等人得到的近軸波動(dòng)方程的一個(gè)簡(jiǎn)單解。LG 波束也是最常見(jiàn)的一種渦旋波束，其幅值分布函數(shù)具有如下的解析形式：

式中：r為徑向位置矢量的模w0是波束的束腰；zR為瑞利距離；波矢，λ是波長(zhǎng)是拉蓋爾多項(xiàng)式；m是拓?fù)浜蓴?shù)；p是光強(qiáng)分布上的徑向節(jié)點(diǎn)。

由于OAM 電磁波可以基于軸向波動(dòng)方程進(jìn)行描述，根據(jù)夫瑯禾費(fèi)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射公式進(jìn)行計(jì)算，故OAM 遠(yuǎn)場(chǎng)輻射的表達(dá)式為：

基于拉蓋爾?高斯模式的源區(qū)歸一化場(chǎng)強(qiáng)模式為：

式中：P0為陣列的反饋電功率；w為半徑比例因子；為拉蓋爾?高斯多項(xiàng)式；p為拉蓋爾?高斯模的階數(shù)；r為空間某點(diǎn)到波束中心軸線的距離。下文中所有仿真的電磁波都是50 MHz 。

拉蓋爾?高斯波束在不同傳播距離下的空間幅度分布和xz面的場(chǎng)強(qiáng)形態(tài)如圖1 所示。由圖1 可以看出，拉蓋爾?高斯渦旋電磁波在自由空間傳播時(shí)，波束中心具有相位奇點(diǎn)，并且場(chǎng)強(qiáng)空洞隨著傳播距離的增加而逐漸增大。

圖1 拉蓋爾?高斯波束在不同傳播距離下的空間幅度分布和xz 面的場(chǎng)強(qiáng)形態(tài)

2 非衍射型渦旋電磁波自由空間傳播特性

與拉蓋爾?高斯渦旋電磁波不同，非衍射波束在無(wú)界的自由空間傳播時(shí)，不會(huì)發(fā)生衍射，也不會(huì)發(fā)生擴(kuò)展，在沿傳播方向的任何地方的垂直面上，光強(qiáng)分布都是相同的。為此本文提出非衍射渦旋波束，利用其在無(wú)界的自由空間中傳播時(shí)，不會(huì)發(fā)生衍射，也不會(huì)發(fā)生擴(kuò)展的特性，來(lái)降低渦旋波束在自由空間傳播時(shí)中心空洞增大的影響。

由此，本文提出了幾種非衍射渦旋波束，并根據(jù)其解析式對(duì)其進(jìn)行仿真分析，最后得出相應(yīng)結(jié)果。通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的分析與比較，發(fā)現(xiàn)非衍射渦旋波束在自由空間傳播時(shí)，其中心空洞不會(huì)隨光強(qiáng)分布的不同而增大。

2.1 非衍射信號(hào)源：貝塞爾?高斯模式電磁波

在自由空間光通信的背景下，貝塞爾波束的電場(chǎng)由零階貝塞爾函數(shù)構(gòu)成。然而在實(shí)際過(guò)程中，真正的貝塞爾高斯（Bessel?Gaussian，BG）是不可能被制備出來(lái)的，這是因?yàn)樗菬o(wú)界的，而且需要無(wú)窮多的能量。貝塞爾?高斯模式電磁波電場(chǎng)表達(dá)式為：

式中：ρ和θ分別是徑向和角向坐標(biāo)；w是半徑因子；Im(x)是m階貝塞爾函數(shù)。由式（4）可以看出，當(dāng)m不為0 時(shí)，其表達(dá)式中含有螺旋相位因子exp(imθ)，因此這可稱為渦旋波束，其中m就是渦旋波束的拓?fù)浜蓴?shù)。

貝塞爾?高斯波束在自由空間中傳播時(shí)，其電場(chǎng)為：

式中，r,?,z分別是衍射場(chǎng)中某點(diǎn)的徑向、角向和縱向坐標(biāo)。利用下面的公式：

可以得到貝塞爾高斯波束的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

本文利用貝塞爾?高斯波束表達(dá)式，經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得到不同模態(tài)下貝塞爾波束的空間幅度分布，如圖2所示。圖2是在模態(tài)值m分別為1，2，3時(shí)，貝塞爾?高斯光束的空間幅度分布。由圖2可以看出，貝塞爾?高斯波束的中心場(chǎng)強(qiáng)是一個(gè)極小點(diǎn)，而且隨著模態(tài)值m的增大，中心空洞也會(huì)隨之增大，但是相對(duì)于拉蓋爾?高斯波束來(lái)說(shuō)，在傳播距離更遠(yuǎn)的時(shí)候，中心空洞變化更小。在仿真中，將其模態(tài)值m都控制為1，但改變其傳播距離后得到圖3。圖3 分別是傳播距 離z為1.88 km，9.41 km 和18.8 km 時(shí)，貝塞爾?高斯波束的空間幅度分布。由圖3 可以得出，貝塞爾光束在自由空間中傳播時(shí)，可保持自身表達(dá)形式不變，不會(huì)隨著傳播距離z的增加而改變其傳播特性。圖4 是貝塞爾?高斯波束在不同傳播距離下的場(chǎng)強(qiáng)形態(tài)的變化，由圖4 可以清楚的看出，中心空洞并沒(méi)有明顯增大。

圖2 不同模態(tài)下貝塞爾波束的空間幅度分布

圖3 不同傳播距離下貝塞爾波束的空間幅度分布

圖4 貝塞爾高斯波束在不同傳播距離下的空間幅度分布和xz 面的場(chǎng)強(qiáng)形態(tài)

2.2 非衍射信號(hào)源：超幾何?高斯模式電磁波

除了大家熟知的厄米?高斯波束、貝塞爾?高斯波束、拉蓋爾?高斯波束，2007 年Karimi 等人給出了近軸亥姆赫茲方程的一個(gè)解，從而得到一類新的傍軸光束，即超幾何?高斯（Hypergeometric?Gaussian，HyGG）波束。

由Victor V.Kotlyar 等提出的廣義超幾何波束的復(fù)振幅[9]為：

式中：w，γ是實(shí)參量；w0為高斯波束的束腰半徑。

超幾何?高斯分布函數(shù)為：

式中：

Cpm為歸一化常數(shù)；p為空心參數(shù)；m是拓?fù)浜蓴?shù)；Γ(x) 是伽馬函數(shù)；1F1(a,b,y) 是合流超幾何函數(shù)。

利用超幾何?高斯波束的表達(dá)式，經(jīng)過(guò)仿真計(jì)算，可以得出不同模態(tài)下超幾何?高斯波束的空間幅度分布如圖5 所示。

圖5 分別是在模態(tài)值m分別為1，2，3 時(shí)，超幾何?高斯光束的空間幅度分布，可以看出超幾何高斯波束的中心場(chǎng)強(qiáng)是一個(gè)極小點(diǎn)，而且隨著模態(tài)值m的增大，中心空洞也會(huì)隨之增大。與貝塞爾?高斯波束相比，在模態(tài)值相同且傳播距離相等時(shí)，超幾何?高斯波束的中心空洞更小。圖6 是不同傳播距離下的空間幅度分布及其xz面的場(chǎng)強(qiáng)形態(tài)。由圖6 可以看出，超幾何?高斯波速的形態(tài)并沒(méi)有明顯變化，中心空洞也沒(méi)有隨著傳播距離的增加而擴(kuò)大。

圖5 不同模態(tài)下超幾何?高斯波束的空間幅度分布

圖6 超幾何高斯波束在不同傳播距離下的空間幅度分布和xz 面的場(chǎng)強(qiáng)形態(tài)

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)利用貝塞爾?高斯波束和超幾何?高斯波束的解析表達(dá)式，仿真分析得到了其空間幅度分布和空間相位分布，以及比拉蓋爾?高斯渦旋波束的空間幅度分布和相位分布，發(fā)現(xiàn)這兩種非衍射渦旋電磁波在自由空間中傳播時(shí)，可以保持渦旋電磁波的傳播特性；并且在不同傳播距離下，其空間幅度分布并沒(méi)有改變，中心空洞也沒(méi)有發(fā)生變化。說(shuō)明基于非衍射波束在傳播中的自愈和自聚焦的特性良好，為下一步利用渦旋電磁波進(jìn)行空間環(huán)境探測(cè)研究奠定了理論基礎(chǔ)。