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    均勻帶電半球面軸線上場強(qiáng)的計(jì)算*

    2021-06-18 06:37:00白春華高國明文麗敏
    物理通報(bào) 2021年6期
    關(guān)鍵詞:球心球面場強(qiáng)

    白春華 高國明 文麗敏

    (云南大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院 云南 昆明 650500)

    1 均勻帶電球面和半球面電場強(qiáng)度的相關(guān)計(jì)算

    電磁學(xué)教學(xué)中電場強(qiáng)度的計(jì)算是一個(gè)重要且基礎(chǔ)的問題.有關(guān)電場強(qiáng)度的計(jì)算可以總結(jié)歸納出幾種常用方法[1,2]:(1)場強(qiáng)疊加原理;(2)高斯定理;(3)電場和電勢的梯度關(guān)系.上述各種方法中,場強(qiáng)疊加原理是求解電場強(qiáng)度最基本的方法,適用于求解各種電荷分布的帶電體的場強(qiáng)分布;高斯定理在求解電荷分布具有高度對稱性(球?qū)ΨQ、軸對稱、平面對稱)的幾何體的電場時(shí)非常簡便.除此之外,還可以利用電勢和電場強(qiáng)度的梯度關(guān)系先求電勢再求電場分布.近年來,學(xué)者們對均勻帶電球面電場的求法以及能否求解球面上的電場進(jìn)行了反復(fù)分析和討論[3~6].由于不能把高斯面取在帶電表面上,所以面上的場強(qiáng)不能由高斯定理直接求出.雖然均勻帶電幾何面兩側(cè)的場強(qiáng)會(huì)發(fā)生躍變,但面上的電場強(qiáng)度也有唯一的確定值.

    我們在教學(xué)中發(fā)現(xiàn),當(dāng)遇到所求問題為均勻帶電球面、圓柱面、多層同心球面、同軸柱面等,學(xué)生利用高斯定理很容易就能求解出空間電場的分布,但對半球面電場該如何求解并不是很清楚.因?yàn)榘肭蛎嫔系碾姾煞植紱]有整個(gè)球面那樣高度的球?qū)ΨQ性,所以我們不能利用高斯定理求解.一般而言,適用球面電場的計(jì)算方法大多適用于計(jì)算半球面的電場.張曉燕等根據(jù)疊加原理求解了均勻帶電半球面底面上的電勢分布和電場強(qiáng)度[7].何海衛(wèi)等分析了均勻帶電半球殼軸線上的電場及其增減性[8].林建福先利用積分法求出均勻帶電半球面軸線上的電勢表達(dá)式,然后利用電場強(qiáng)度與電勢的關(guān)系導(dǎo)出均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度[9].王世芳等利用圓環(huán)帶法、電勢梯度法等多種方法求解均勻半球面球心處的電場強(qiáng)度[10].

    上述研究利用多種解法給出了均勻帶電半球面的電場強(qiáng)度.作為一種補(bǔ)充,下面我們直接利用庫侖定律和場強(qiáng)疊加原理,通過球面積分的方法計(jì)算均勻帶電半球面在球心、球面上以及球面內(nèi)外的電場分布,并給出電場分布的E-z曲線.

    2 用場強(qiáng)疊加原理計(jì)算均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度

    【例題】設(shè)均勻帶電半球面電荷面密度為σ,半徑為R,求半球面軸線上電場強(qiáng)度的分布.

    2.1 均勻帶電半球面在球心處的電場強(qiáng)度

    取如圖1所示的xyz坐標(biāo)系,半球面位于z軸正半軸.場點(diǎn)P點(diǎn)為半球面軸線上一點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)取在球心O處時(shí),在半球面上任取一面積元dS.

    圖1 半球面球心處的電場

    dS=R2sinθdθdφ

    面積元dS所帶電荷量dq=σdS,在球心O處所產(chǎn)生的場強(qiáng)為

    由對稱性分析可知,dE垂直于z軸方向的分量相互抵消,沿z軸方向的分量為dEz.

    (1)

    球心處電場強(qiáng)度的方向沿z軸負(fù)方向.

    2.2 均勻帶電半球面軸線上一點(diǎn)P(0,0,z)的電場強(qiáng)度

    圖2為場點(diǎn)P位于z軸上不同位置的幾種情況.

    (1)若0

    圖2 均勻帶電半球面P點(diǎn)處的電場

    (2)

    采用換元法,令

    t2=R2-2Rzcosθ+z2

    (3)

    由式(3)可得

    對式(3)兩邊分別求導(dǎo)得

    tdt=Rzsinθdθ

    代入式(2),得

    (4)

    該電場強(qiáng)度的方向沿z軸的負(fù)方向.

    (2)若z>R,場點(diǎn)P位于半球面外

    (5)

    該電場強(qiáng)度的方向指向z軸的正方向.

    (3)當(dāng)z=R,即P點(diǎn)在半球面上時(shí)

    (6)

    場強(qiáng)方向沿z軸正方向.

    (4)若0>z>-R,場點(diǎn)P位于球內(nèi)z軸負(fù)半軸,則

    (7)

    (8)

    電場強(qiáng)度的方向指向z軸的負(fù)方向.

    (5)若z<-R,被積函數(shù)與式(7)形式相同,在z=-R上沒有電荷,場強(qiáng)在這點(diǎn)連續(xù),場強(qiáng)表達(dá)式與式(8)相同,只是z的取值范圍不同.

    (9)

    該電場強(qiáng)度的方向沿z軸的負(fù)方向.

    (6)當(dāng)z=-R,P點(diǎn)在z軸負(fù)半軸與球面交點(diǎn)上

    (10)

    場強(qiáng)方向沿z軸負(fù)方向.

    綜上,均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度分布為

    3 分析與結(jié)論

    圖3是用Matlab軟件模擬的均勻帶電半球面軸線上的電場強(qiáng)度E隨z變化的曲線.

    圖3 均勻帶電半球面軸線上的E-z曲線

    4 總結(jié)

    對于均勻帶電的半球面來說,電荷分布不像整個(gè)球面電荷那樣高度對稱分布,不能用高斯定理求解.其他求解的方法也有多種,最基本的方法還是利用場強(qiáng)疊加原理,再通過面積分求出帶電半球面軸線上的場強(qiáng)大小.類似的方法包括分割圓環(huán)帶法、電勢梯度法等.雖然這些解法稍有不同,最終都可歸為場強(qiáng)疊加方法的運(yùn)用.當(dāng)然,直接用場強(qiáng)疊加原理求解計(jì)算量相對要大些,但這種方法適用性最廣.同樣的解題思路也適用于求解均勻帶電球冠電場強(qiáng)度等相關(guān)問題.

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