有關(guān)統(tǒng)計(jì)與概率的那些典型題型

王磊

“統(tǒng)計(jì)與概率”是初中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)。通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們能增強(qiáng)對(duì)事物的判斷能力，能更科學(xué)地認(rèn)識(shí)世界。在中考中，這部分知識(shí)也是必考的，因此，學(xué)好統(tǒng)計(jì)與概率就顯得更加重要。下面就讓我們一起來(lái)看一下相關(guān)典型問(wèn)題的解題策略。

一、抽樣的合理性

這類(lèi)問(wèn)題主要考查同學(xué)們的生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，難度不大，注意抽樣的科學(xué)性即可。

例1 為調(diào)查某大型企業(yè)員工對(duì)企業(yè)的滿(mǎn)意程度，以下樣本具有代表性的是（）。

A.企業(yè)男員工

B.企業(yè)年滿(mǎn)50歲及以上的員工

C.用企業(yè)人員名冊(cè)，隨機(jī)抽取三分之一員工

D.企業(yè)新進(jìn)員工

【解析】關(guān)注數(shù)據(jù)來(lái)源的均衡性、廣泛性、一致性即可輕松解決這類(lèi)問(wèn)題。故選C。

二、數(shù)據(jù)分析

這類(lèi)問(wèn)題主要考查數(shù)據(jù)的整理和處理，做好數(shù)據(jù)的分類(lèi)、排序、計(jì)算，就可以完成問(wèn)題的解答。

例2 如圖1是成都市某一周內(nèi)日最高氣溫的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)于這7天的日最高氣溫的說(shuō)法正確的是（）。

A.極差是8℃ B.眾數(shù)是28℃

C.中位數(shù)是24℃ D.平均數(shù)是26℃

【解析】極差是一組數(shù)據(jù)中的最大值減最小值后得到的數(shù)據(jù);眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);中位數(shù)是把一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小排列后，中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù);平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商。故選B。

三、摸球試驗(yàn)

這類(lèi)問(wèn)題的典型特征是在一個(gè)不透明的袋子里摸球，球的形狀和大小都相同，顏色不同。這類(lèi)問(wèn)題的難度不大，仔細(xì)讀題，看清數(shù)據(jù)，按照概率的定義解答即可。

例3 一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們除顏色外其余都相同。從袋中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為（）。

A.[14]B.[13]C.[12]D.[23]

【解析】本題考查了同學(xué)們對(duì)概率基本定義的理解。袋子中一共有6個(gè)球，其中紅球有4個(gè)，因此，從袋子中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率P=[46]=[23]。故選D。

四、平面圖形類(lèi)

這類(lèi)問(wèn)題的載體一般是網(wǎng)格。在網(wǎng)格中，利用陰影的面積來(lái)計(jì)算某事件發(fā)生的概率。解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地算出陰影部分圖形的面積。

例4 一個(gè)小球在如圖2所示的方格地磚上任意滾動(dòng)，并隨機(jī)停留在某塊地磚上。每塊地磚的大小、質(zhì)地完全相同，那么該小球停留在黑色區(qū)域的概率是。

【解析】將網(wǎng)格的邊長(zhǎng)看作單位1，算出每個(gè)小三角形的面積，然后數(shù)一數(shù)有多少個(gè)三角形，或者將兩個(gè)三角形看作一個(gè)正方形，數(shù)一數(shù)正方形的個(gè)數(shù)，最后利用P=[陰影部分的面積總面積]這個(gè)公式計(jì)算即可。故答案為[38]。

五、樹(shù)狀圖（或表格）探究

這類(lèi)問(wèn)題，需要同學(xué)們?cè)跇?shù)狀圖（或表格）的幫助下，科學(xué)地列出所有等可能的結(jié)果，然后計(jì)算出事件發(fā)生的概率。

例5 現(xiàn)有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字-1、1、2、3的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同。將它們背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張，記下數(shù)字后放回;再背面朝上洗均勻，隨機(jī)抽取一張記下數(shù)字。前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m、n，則點(diǎn)P（m，n）在第二象限的概率為。

【解析】本題考查了概率的計(jì)算和各象限內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)的特征，列表表示所有等可能的結(jié)果如下：

由上表可知，共有16種等可能的結(jié)果，其中點(diǎn)P（m，n）在第二象限的結(jié)果有3種，即（-1，1），（-1，2），（-1，3），所以點(diǎn)P（m，n）在第二象限的概率為[316]。故答案為[316]。

六、概率設(shè)計(jì)

這類(lèi)問(wèn)題調(diào)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（常見(jiàn)的載體主要是骰子和轉(zhuǎn)盤(pán)），仔細(xì)推敲，運(yùn)用概率的基本定義，認(rèn)真計(jì)算即可解決。

例6 如圖3，可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)被它的兩條直徑分成了四個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字的扇形區(qū)域，其中標(biāo)有數(shù)字“1”的扇形圓心角為120°。轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，待轉(zhuǎn)盤(pán)自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，則該扇形內(nèi)的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字，此時(shí)稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次（若指針指向兩個(gè)扇形的交線(xiàn)，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）。

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)一次，求轉(zhuǎn)出的數(shù)字是-2的概率;

（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)兩次，用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求這兩次分別轉(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率。

【解析】（1）分別求出標(biāo)號(hào)為1、-2和3的三個(gè)扇形圓心角的度數(shù)即可判斷是否是等可能性的，然后求出概率為[13];（2）三個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，故可直接列表把所有結(jié)果列出，找出其中積為正數(shù)的情況，再求概率。

由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中積為正數(shù)的有5種，所以?xún)纱无D(zhuǎn)出的數(shù)字之積為正數(shù)的概率P=[59]。

七、統(tǒng)計(jì)與概率綜合題

在各地的中考題中，統(tǒng)計(jì)與概率的綜合題經(jīng)常出現(xiàn)。同學(xué)們用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，可以提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例7 某校舉行了“防溺水”知識(shí)競(jìng)賽，八年級(jí)兩個(gè)班各選派10名同學(xué)參加預(yù)賽。依據(jù)各參賽選手的成績(jī)（均為整數(shù)）繪制了折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖（如圖4）和統(tǒng)計(jì)表。

（1）統(tǒng)計(jì)表中，a=，b=，c=;

（2）若從兩個(gè)班的預(yù)賽選手中選四名學(xué)生參加決賽，其中兩個(gè)班的第一名直接進(jìn)入決賽，另外兩個(gè)名額在成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生中任選，求另外兩個(gè)決賽名額落在不同班級(jí)的概率。

[班級(jí) 八（1）班 八（2）班 最高分 100 99 眾數(shù) a 98 中位數(shù) 96 b 平均數(shù) c 94.5 ]

【解析】（1）由折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖分別寫(xiě)出八（1）班和八（2）班各10名同學(xué)的參賽成績(jī)，再根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的概念得出a=96，b=96，最后求出八（1）班成績(jī)的平均數(shù)c=94.5。（2）找出兩個(gè)班級(jí)中成績(jī)?yōu)?8分的學(xué)生，利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖求出另外兩個(gè)決賽名額落在不同班級(jí)的概率。設(shè)（1）班學(xué)生為A1、A2，（2）班學(xué)生為B1、B2、B3，畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：

一共有20種等可能的結(jié)果，其中2人來(lái)自不同班級(jí)的情況共有12種，所以這兩個(gè)人來(lái)自不同班級(jí)的概率P=[1220]=[35]。

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）