以學為中心的互動探究性教學在“拉格朗日乘數法”教學中的應用

景慧麗，李應岐

(火箭軍工程大學 基礎部，陜西 西安 710025)

教育家波利亞說：“學習任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現，因為這種發(fā)現，理解最深刻，也最容易掌握其中的內在規(guī)律、性質和聯系。[1]”因此，在教學過程中教員要創(chuàng)造探索、探究情境，讓學員主動地去參與到知識的探索發(fā)現過程中，要充分發(fā)揮學員學習主體的作用。注意到探究性教學是在教員的指導下，學員圍繞一定的問題、文本或材料，通過自主參與發(fā)現問題、分析問題和解決問題等一系列的探索活動(其中包括思維、情感和動作等方面的活動)，來獲得知識和技能、發(fā)展能力、培養(yǎng)情感體驗，它突出學員的主體地位，注重培養(yǎng)學員發(fā)現問題的意識和能力，強調學員主動性和創(chuàng)造性的發(fā)揮[2]。因此，筆者研究和探索了以學為中心的互動探究性教學法，并在軍?！案叩葦祵W”課程教學中進行了多年實踐檢驗，教學效果不錯。該教學模式注重學員問題意識和創(chuàng)新能力的發(fā)展，能充分發(fā)揮學員學習主體的作用，有效解決了學員缺乏質疑精神和探討熱情、不愿參與到教學活動中、懶于動腦思考的問題。解決了“高等數學”這門理論性強又高度抽象且讓學員感覺“枯燥”、“畏懼”的課程互動內容簡單、互動形式單一、互動對象不平等、互動策略不多、互動教學不實、互動效果不好的問題。實現了從注重課本知識傳授的“以教為中心”向“科學知識+思想方法+問題意識+創(chuàng)新能力+價值塑造”并重的“以學為中心”的教學理念、教學模式的轉變。本文以“拉格朗日乘數法”的教學為例，探討一下以學為中心的互動探究性教學法的具體實施過程。

1 創(chuàng)設情境，引出條件極值的概念，并給出幾何解釋

一堂課的引入是非常重要的，課堂引入往往直接影響教學效果，好的課堂引入能激發(fā)學員的學習興趣，喚起學員的思維，引燃學員的學習激情[3]?？紤]到目前“高等數學”課程教材缺少實際應用和軍事應用的例子，再結合軍校學員身份的特殊性，既是學生更是軍人，筆者就以軍事應用問題(某部隊某基地物資中轉站的選址問題)作為本節(jié)課的引入，并啟發(fā)學員將實際問題進行一些合理的簡化，同時引導他們用數學語言來描述、解決該實際問題，進一步概括總結，從而得到條件極值的概念，即當自變量(x，y)滿足條件ψ(x，y)=0時，計算函數z=f(x，y)的極值問題。這類問題也稱為有約束極值問題。

這種引入不但讓學員體會到了數學來源于實際生活，而且也讓他們感受到了數學的軍事應用價值，同時也讓他們初步掌握了簡單的數學建模方法，培養(yǎng)了他們綜合所學數學知識解決實際問題的意識和能力。

為了讓學員更深刻地理解條件極值的概念，筆者又利用多媒體軟件演示了條件極值的動態(tài)圖，這種幾何輔助分析法不但能直觀地揭示條件極值這個概念的本質，而且也豐富了數學教學手段。

在本節(jié)以學為中心的互動探究性教學過程中典型例題的選取也是很重要的，例題不但要直觀明了，也要為后面由淺入深、由簡單到復雜地探索條件極值的解法奠定基礎。

條件極值的概念解釋清楚后就進入了最重要的環(huán)節(jié)——條件極值的求解問題。

2 由簡單到復雜，求解約束條件能顯化的例子，得代入法

3 約束條件逐步復雜化，代入法失效

4 借助幾何直觀輔助分析，獲得靈感

筆者發(fā)現學員無從下手、毫無頭緒，不知道該從哪里入手進行分析，此時筆者及時地進行引導，告訴學員在探索知識的過程中當理論分析陷入困境時，可以運用“數形結合”的思想方法，借助幾何圖形輔助分析，因為著名數學家華羅庚先生曾說：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少知覺，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非。[6]”這種借助學員熟悉的名人的名言的教學方法，不但可以使自己的講解更具說服力，還可以增加學員的學習興趣。

接著筆者帶領學員利用“數形結合”的方法進行探索，筆者首先給出目標函數z=f(x，y)的等值線f(x，y)=c和約束條件ψ(x，y)=0的曲線l，如圖1所示。

圖1 條件極值的幾何特征

然后筆者通過動態(tài)演示讓學員觀察并思考在條件極小值點處約束曲線和等值線有什么關系？并通過讓學員解決一系列階梯問題，最終得到結論：在條件極小值點P0(x0，y0)處，等式

(1)

成立。

得到等式(1)后，筆者提出兩個問題，讓學員思考、討論：上述結論是否具有一般性呢？上述結論是從幾何圖形上得到的，那么其在理論上成立嗎？

5 大膽猜想，并對猜想進行驗證

學員對上述等式是否在理論上成立意見并不一致，這個屬于正常情況，因為學員數學素養(yǎng)、數學基礎不同，接受新事物的能力也不同，所以當學員的探索偏離主題或出現錯誤時，就需要教員進行及時的指導。此時筆者鼓勵學員不妨大膽猜想上述等式在理論上也是成立的，并且也通過名人名言名事告訴學員合理猜想在科學發(fā)展史上的重要性，讓學員體會合理猜想的價值。然后筆者告訴學員合理猜想后還需要對猜想進行驗證，驗證猜想也是科學探索、獲取知識的一個重要環(huán)節(jié)，并讓學員思考如何驗證上述猜想。此時大部分學員都不知道怎么驗證，筆者告訴學員借助已知來研究未知是最常用的數學方法，啟發(fā)學員可以利用已學的知識進行驗證，另外，注意到等式(1)是在極值點處成立的，因此可以從函數取得極值的必要條件入手進行驗證。大部分學員都會想到用已知的“代入法”進行驗證，但是使用代入法時要求約束條件ψ(x，y)=0必須能顯化，但是這里的前提條件是約束條件ψ(x，y)=0不易顯化或者不能顯化，這就構成了矛盾，該如何化解矛盾呢？學員思考、討論后，筆者帶領學員共同完成了猜想的驗證過程。

6 水到渠成，獲得拉格朗日乘數法

(2)

針對方程組(2)，筆者提出了以下問題：從代數學的角度分析，點(x0，y0，λ0)能否看成是方程組的解？哪個方程組呢？該方程組具有什么特征？該方程組能否看成是某個函數的偏導數構成的方程組？如果點(x0，y0)是所求的條件極值點，那么點(x0，y0，λ0)一定是方程組的解嗎？在數學中，使一個函數的一階偏導數同時為零的點叫做什么？上述問題都是基本問題，學員通過解決上述問題，最終得到結論：如果點(x0，y0)是所求的條件極值點，那么點(x0，y0，λ0)一定是函數L(x，y，λ)=f(x，y)+λψ(x，y)的駐點。此時，筆者又提出問題：根據所得結論，能否得到求解條件極值的方法？一般解題步驟是什么？上述方法的前提條件是什么？學員討論完，筆者進行講評、歸納和總結，最終得到如下結論：若f(x，y)、ψ(x，y)在定義域內具有一階連續(xù)偏導數，且ψx、ψy不同時為零，則求函數f(x，y)在條件ψ(x，y)=0限制下的極值的一般步驟是：

Step 1 構造輔助函數

L(x，y，λ)=f(x，y)+λψ(x，y)；

Step 2 解方程組

Step 3 考查駐點是不是極值點。

探索到這里，筆者告訴學員這種方法其實就是“拉格朗日乘數法”，其中引進的λ稱為“拉格朗日乘子”，構造的輔助函數L(x，y，λ)=f(x，y)+λψ(x，y)稱為“拉格朗日函數”，這樣就還原了“拉格朗日乘數法”的創(chuàng)建過程，讓學員在探索過程中獲取了知識。至此，本節(jié)課并沒有結束，此時筆者又介紹了拉格朗日創(chuàng)建“拉格朗日乘數法”的數學史，及“拉格朗日乘數法”這種思想在最優(yōu)化理論與方法發(fā)展史上的重要價值，這樣不但提高了學員的學習興趣，而且讓學員感受到了前輩們發(fā)現、創(chuàng)造數學知識的艱辛[3]。

7 應用和推廣拉格朗日乘數法解決實際問題，掌握解題方法，加深理解

為了讓學員理解并掌握拉格朗日函數法的構造方法以及用拉格朗日乘數法解決條件極值的具體過程，筆者精選了典型例題，讓學員獨立完成，然后筆者隨機抽取幾名學員的解題步驟展示在屏幕上，讓所有學員討論、點評、挑刺，筆者對學員的點評進行補充。最后，筆者告訴學員在實際應用中更常見的是n(n≥3)元函數受m(m

8 歸納總結兩種方法的實質，“化歸”思想自然呈現

得到拉格朗日乘數法的推廣形式后，筆者先讓學員提煉并歸納總結“代入法”和“拉格朗日乘數法”的本質、使用條件及適用范圍，然后筆者進行必要的補充：“代入法”是將二元函數的條件極值問題轉化成求一元函數的無條件極值問題，屬于降元法；“拉格朗日乘數法”是將二元函數的條件極值問題轉化成求三元函數的無條件極值問題，屬于升元法，無論是哪種方法都是將條件極值問題轉化成無條件極值問題進行求解的，這個“轉化”也稱為“化歸”就是本節(jié)知識點主要的數學思想方法，另外，將實際問題通過數學建模的方法轉化成數學問題也屬于“化歸”。這樣“化歸”這個思想方法就水到渠成、自然而然地獲得了，而不是教員硬生生地告訴學員什么是“化歸”了，接著筆者又介紹了日常生活中、“高等數學”課程中“化歸”思想的應用，讓學員體會、感受“化歸”的美。至此，課堂上的“拉格朗日乘數法”以學為中心的互動探究性教學過程就結束了。

以學為中心的互動探究性教學還原了知識的創(chuàng)建過程，融入了數學思想方法，有利于提升學員的數學素養(yǎng)。需要注意的是，以學為中心的互動探究性教學中，教員是學員探索活動的設計者和學員探索過程中的引導者，所以，要想充分發(fā)揮好互動探究性教學的優(yōu)勢，教員必須提高自身素質、熟悉教學內容、了解教學對象，這樣才能充分發(fā)揮好自己的主導作用[7]。