少齒數(shù)弧齒錐齒輪節(jié)錐外嚙合的變位設計與試驗

張 柯，郭玉梁，魏冰陽，曹雪梅

(河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003)

0 引言

近年來，機械傳動裝備朝著輕量化高功率密度方向發(fā)展，少齒數(shù)齒輪副具有傳動比大、體積小、結構緊湊的優(yōu)點，在航空航天、電驅動、角矢量傳動領域具有獨特的優(yōu)勢。節(jié)點外嚙合能夠大幅度提高小輪的體積，平衡大小輪強度，同時由于嚙合過程中摩擦力不換向，對降低齒輪傳動的振動和噪聲有利。因此，節(jié)點外嚙合在少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪設計方面得以應用。文獻[1]研究了少齒數(shù)齒輪軸齒根彎曲應力計算方法，為少齒數(shù)齒輪軸的安全性測定提供了依據(jù)。文獻[2]提出了一種便于調整的齒廓曲線構造方法，有效提高了少齒數(shù)齒輪的承載能力。文獻[3-4]研究了少齒數(shù)齒輪副徑向變位和切向變位系數(shù)的選取方法。文獻[5-7]對節(jié)點外嚙合齒輪的動力學特性進行了分析和試驗驗證。文獻[8]對節(jié)點外嚙合出現(xiàn)的原因進行了分析，總結了節(jié)點外嚙合對齒輪強度的影響。上述研究均集中在少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪設計方面。文獻[9]分析了現(xiàn)有膠合承載能力計算中平均摩擦因數(shù)計算方法的不足，根據(jù)節(jié)點外嚙合齒輪傳動的嚙合特點，提出了一種更為合理且精度較高的平均摩擦因數(shù)計算方法。文獻[10]從輪齒的接觸強度、彎曲強度、磨損、振動和潤滑等方面，對節(jié)點外嚙合齒輪傳動進行了討論，并指出在大傳動比情況下采用這種齒輪傳動有很多優(yōu)點。在錐齒輪設計方面，文獻[11]提出了非零變位設計方法，能夠實現(xiàn)齒數(shù)和較少的小型傳動。文獻[12-14]對少齒數(shù)高減比準雙曲面齒輪副的幾何參數(shù)選取、加工參數(shù)計算進行了研究，通過切齒試驗驗證了其設計的可行性。文獻[15]利用曲面綜合法，對錐齒輪的加工參數(shù)進行了計算，實現(xiàn)了對齒輪副接觸性能的主動控制。文獻[16]對弧齒錐齒輪的齒面幾何傳動誤差進行了研究，分析了幾何傳動誤差對弧齒錐齒輪承載和振動特性的影響。為了更加真實地反映齒輪齒根彎曲強度，文獻[17]推導了齒根過渡曲面方程，構建了齒輪的齒根過渡曲面。

節(jié)錐外嚙合可以顯著地增加小輪的體積，減小大輪的體積，有利于均衡大傳動比齒輪副的彎曲強度，解決大速比齒輪副承載能力弱的問題。同時，節(jié)錐外嚙合還具有摩擦力不換向的優(yōu)點，能有效地降低齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲。但節(jié)點外嚙合應用于弧齒錐齒輪上尚未見文獻報道，鑒于此，本文基于錐齒輪的綜合變位原理，提出了節(jié)錐外嚙合弧齒錐齒輪幾何變位設計方法。根據(jù)等彎曲強度原則，給出了一對齒數(shù)比4∶41的弧齒錐齒輪幾何設計參數(shù)，進行了三維建模仿真，通過切齒和滾檢試驗驗證了本文所提出的節(jié)錐外嚙合錐齒輪設計方法的可行性。

1 少齒數(shù)弧齒錐齒輪變位設計原理

根據(jù)錐齒輪綜合變位原理，小輪需采用徑向與切向正變位設計，以提高小輪的彎曲強度，使大小輪的強度近似平衡，節(jié)錐外嚙合則通過大變位實現(xiàn)。下面以中點端面當量齒輪為依據(jù)，給出少齒數(shù)弧齒錐齒輪變位設計原理與幾何限制條件。

從變位后的節(jié)錐相對位置來看，節(jié)錐外嚙合分以下兩種情況：節(jié)錐前嚙合和節(jié)錐后嚙合。

1.1 節(jié)錐前嚙合

節(jié)錐前嚙合示意圖如圖1所示，N1N2為理論嚙合線，B1B2為實際嚙合線，P為節(jié)點，即實際嚙合線位于節(jié)點之前。rva1、rva2分別為小輪和大輪的當量齒輪頂圓直徑，rvb1、rvb2分別為小輪和大輪當量齒輪基圓直徑。具體到錐齒輪，則小輪的面錐在節(jié)錐之內，對應大輪的節(jié)錐靠近根錐，小輪的齒頂高演變?yōu)樨撝?。該設計導致小輪徑向較大的負變位，體積減小，大輪的體積反而增大，不利于均衡大小輪的彎曲強度，承載能力提高，所以較少采用。

圖1 節(jié)錐前嚙合示意圖

1.2 節(jié)錐后嚙合

節(jié)錐后嚙合即實際嚙合線位于節(jié)點之后，節(jié)錐后嚙合示意圖如圖2所示，節(jié)錐后嚙合要求小輪徑向采用較大的正變位，大輪負變位。從錐齒輪的幾何看，此時從動輪大輪的節(jié)錐在其面錐之外，對應小輪根錐靠近節(jié)錐，大輪的齒頂高演變?yōu)樨撝怠?/p>

由于節(jié)錐后嚙合使得小輪的體積顯著增大，且有利于提高齒輪副的接觸強度和承載能力，所以對于大傳動比、少齒數(shù)弧齒錐齒輪設計，采用節(jié)錐后嚙合方式[18]。

為了衡量節(jié)點外嚙合的程度，引入節(jié)點外嚙合系數(shù)λ[7]:

(1)

其中：rv2為大輪的當量節(jié)圓直徑，mm；mmt為中點處的端面模數(shù)，mm。

對于錐齒輪節(jié)錐后嚙合則應滿足[11]：

(2)

2 節(jié)錐外嚙合變位設計的幾何約束條件

2.1 齒頂厚限制

小輪較大的正變位，容易導致齒頂變尖；大輪采用切向負變位，也存在齒頂變尖的可能，所以對大輪和小輪的齒頂厚進行驗算。小輪與大輪的齒頂厚計算公式[19]分別為：

(3)

其中：smn2=0.5pmcosβ-(ham1-ham2)tanαn-kt1mmn；smn1=pmcosβ-smn2；mmn為中點法向模數(shù)，mm；pm為中點分度圓齒距，mm；kt1為小輪切向變位系數(shù)，αvt為端面當量壓力角，(°)；αavt1和αavt2為端面頂圓壓力角，(°)。

2.2 根切限制

齒數(shù)太少、變位系數(shù)取值不當都可能產(chǎn)生根切，因此大小輪的徑向變位系數(shù)應滿足[19]：

(4)

其中：zv1和zv2為當量齒數(shù)。

2.3 最小重合度限制

為了保證齒輪傳動的連續(xù)性和平穩(wěn)性，齒輪傳動需要滿足一定的重疊系數(shù)要求。對于直齒輪，要求重合度大于1.0，由于弧齒錐齒輪具有端面和軸向重合度，總重合度需滿足[11]：

(5)

3 輪齒幾何參數(shù)設計

預先給定齒輪的基本參數(shù)：齒數(shù)z1=4，z2=41，大端模數(shù)met=4.5 mm，法向壓力角αn=20°，軸交角∑=90°?；?.1小節(jié)至1.4小節(jié)所述的限制條件，在其可行域內選取輪齒的幾何參數(shù)。以文獻[11]為依據(jù)編制計算程序，所設計的輪齒幾何參數(shù)如表1所示。節(jié)錐外嚙合系數(shù)λ=-0.02。以大輪的幾何看，變位后節(jié)錐已位于面錐之外，本文采用等高弧線齒錐齒輪型式設計，節(jié)錐、面錐、根錐三者角度相等。

表1 輪齒幾何參數(shù)

4 三維建模與彎曲強度仿真

4.1 齒輪副共軛三維模型

當齒數(shù)比超過3.73時，大輪的節(jié)錐角大于75°，大輪可以采用成形法加工，因此針對表1的參數(shù)，大輪利用成形法建立模型。將大輪的刀具面離散為點云，刀具面點云通過坐標變換矩陣，變換入大輪坐標系即可得到大輪齒面的點云坐標[15]。根據(jù)齒輪嚙合原理，共軛小輪的齒面點云可由嚙合方程和大輪齒面點云求得[15]。將點云文件導入UG軟件中，再結合其他指令可以建立大小輪的精確三維模型，如圖3所示。

圖3 齒數(shù)比4∶41的齒輪副三維模型

在三維軟件UG中利用分析指令，測得三維模型的大小輪中點處齒高為5.845 mm，與表1的理論計算結果的誤差為0；小輪中點處齒頂厚為1.880 mm，與表1的理論計算結果的誤差為0.66%；大輪中點處齒頂厚為2.953 mm，與表1的理論計算結果的誤差為0.43%，輪齒形狀符合2.1小節(jié)至2.3小節(jié)的約束條件。

4.2 齒輪副彎曲應力仿真

少齒數(shù)齒輪模型相對于常規(guī)弧齒錐齒輪模型更加復雜，制定齒輪副的切分方案十分重要，在UG中提前將大小輪的三維模型按已定方案進行切分，使得大小輪能劃分成六面體網(wǎng)格單元，以便提高有限元的求解精度。將切分后的模型導入有限元軟件Ansys workbench中，對小輪施加50 N·m的扭矩；并對其添加cycle support約束，僅釋放其切向自由度；大輪采用fixed support約束；將接觸對類型設置為frictional，其系數(shù)為0.03，參數(shù)設置完畢后對齒輪副的齒根彎曲應力進行靜力學仿真。仿真方案采用以小輪的一個齒從嚙入到嚙出為仿真區(qū)間，以小輪每轉過10°為步長，對齒輪副進行靜力學仿真。按照設計的仿真方案，在一對齒從嚙入到嚙出的仿真區(qū)間里，每增加一個步長，對齒輪副的齒根彎曲應力進行一次靜力學仿真，并記錄該次仿真下大小輪的齒根彎曲應力最大值。本文在仿真區(qū)間里對齒輪副13個不同的齒根位置進行了齒根彎曲應力仿真，仿真結果可繪制為如圖4所示的折線圖。

圖4 大小輪齒根彎曲應力折線圖

由圖4可以看出：在一對齒從嚙入到嚙出的仿真區(qū)間里，小輪的齒根彎曲應力最大值為320.35 MPa，大輪的齒根彎曲應力最大值為324.52 MPa。

4.3 齒輪副的等彎強驗證

以文獻[20]中試驗得出的極限彎曲應力為依據(jù)，大小輪的計算許用彎曲應力為：

(6)

其中：YNT1,2為小輪和大輪的壽命因數(shù)；SF1,2為小輪和大輪的設計強度安全因數(shù)；Kθ1,2為小輪和大輪的溫度因數(shù)；YZ1,2為小輪和大輪的可靠性因數(shù)；σFlim為齒輪的極限彎曲應力，MPa。

齒根的彎曲強度可由許用彎曲應力與齒根彎曲應力的比值來衡量，分別取仿真中大小輪齒根彎曲應力的最大值來計算其對應的安全因數(shù)，大小輪安全因數(shù)計算公式為：

(7)

其中：σF1,2max為小輪和大輪的齒根彎曲應力最大值，MPa。

安全因數(shù)大于1.0為滿足強度要求，安全因數(shù)差小于0.1為滿足等強度設計依據(jù)。大小輪許用彎曲應力計算評價如表2所示。

表2 許用彎曲應力計算評價

由表2可得大小輪安全因數(shù)為：

S1,2>1.0,

(8)

大小輪安全因數(shù)之差為：

Sc=|S1-S2|=0.037<0.1。

(9)

經(jīng)驗算，大小輪的安全因數(shù)差滿足設計要求，可以認為所設計的大小輪的彎曲強度近似平衡。

4.4 瞬時接觸斑點仿真

小輪采用展成法加工，加工參數(shù)計算方法參見文獻[15]。在UG軟件中，建立小輪修形后的三維模型，并將大輪和修形小輪進行裝配，利用運動仿真模塊，對齒輪副進行運動學仿真，可觀察到齒輪副任意嚙合位置的瞬時接觸區(qū)。圖5顯示的是齒面中點位置的瞬時接觸區(qū)，其形狀呈標準的橢圓形，符合錐齒輪修形后的局部共軛特性。

圖5 齒面中點位置瞬時接觸區(qū)

5 輪齒的切齒試驗

為進一步檢驗本文所提設計方法的可行性，在半數(shù)控GH-35機床上完成了切齒加工。大輪節(jié)錐角為84.427 8°，采用成形法加工，小輪采用展成法加工，大輪和小輪的加工參數(shù)見表3。

表3 大輪和小輪加工參數(shù)

大輪采用成形法加工，加工參數(shù)由幾何參數(shù)計算求得；小輪的加工參數(shù)是利用曲面綜合法，編制程序優(yōu)化求解[15]。

大小輪的切齒及配齒過程如圖6a和圖6b所示。大輪分3次切到深度，最后光整一刀，確保齒面的光潔度。小輪采用展成法單面加工，對凸凹面分別修正，在控制輪齒尺寸公差的同時，接觸區(qū)應符合設計要求。

切齒結束后在滾檢機上進行配齒，如圖6c所示，觀察大小輪的齒形無畸變。

(a) 小輪切齒

在滾檢機上對所加工的齒輪副進行滾檢試驗，齒數(shù)比4∶41的弧齒錐齒輪副滾檢結果如圖7所示，圖7b為齒面接觸區(qū)拓印圖，底部為齒根，上部為齒頂。

由圖7可以看出：大輪凸面接觸斑點呈內對角橢圓形，長度占齒寬的45%，寬度占工作齒高的70%，位置略靠小端。完全符合設計要求。

6 結束語

利用錐齒輪的綜合變位和節(jié)錐外嚙合原理，給出了高減速比、少齒數(shù)弧齒錐齒輪變位系數(shù)選取與幾何約束條件。以齒數(shù)比4∶41的等高弧齒錐齒輪為例，選取了節(jié)點外嚙合系數(shù)，對齒輪副的幾何參數(shù)進行了校驗。建立了精確的輪齒三維模型，進行了接觸斑點仿真與彎曲強度平衡校驗。在幾何設計上保證了輪齒幾何無畸變，大小輪彎曲強度近似平衡。切齒和滾檢試驗證明了節(jié)錐外嚙合在高減比少齒數(shù)弧齒錐齒輪設計方面應用的可行性，為節(jié)錐外嚙合在弧齒錐齒輪上的應用奠定了基礎，也為高減比弧齒錐齒輪的設計提供了思路。