有界磁場中離子運(yùn)動軌跡及相關(guān)問題的探討

鄧艾 杜俊

摘? ?要：2020年是浙江省實(shí)施新高考試點(diǎn)的第3年，高考題的考查方式與命題特點(diǎn)理應(yīng)引起其他省份重點(diǎn)關(guān)注與研究。文章以2020年7月浙江省高考物理試卷的壓軸題為例，重點(diǎn)探討離子在有界磁場中運(yùn)動的相關(guān)問題，旨在研究新高考中對帶電粒子在磁場中運(yùn)動知識點(diǎn)的考查方式與角度的獨(dú)特性。再以2021年1月高考題第3問為例，進(jìn)一步闡述命題特點(diǎn)以及解題的思維方法。

關(guān)鍵詞：命題特點(diǎn);思維方法;運(yùn)動軌跡

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ?文章編號：1003-6148（2021）5-0043-4

1? ? 引? 言

新高考改革明確提出：面對即將進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的學(xué)生，中學(xué)階段的教師在教學(xué)過程中要著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)。高考作為學(xué)生學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考的最高指揮棒，在試題內(nèi)容的編排上會凸顯出相應(yīng)的素養(yǎng)內(nèi)涵。以物理學(xué)科為例，命題內(nèi)容上強(qiáng)調(diào)的是基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性。本文以2020年7月與2021年1月浙江省高考物理壓軸題為例，從命題特點(diǎn)、解題思維方法以及課堂教學(xué)建議等方面進(jìn)行論述。

2? ? 原題再現(xiàn)，深度剖析

例1 （2020年7月浙江省選考物理第22題）某種離子診斷測量簡化裝置如圖1所示。豎直平面內(nèi)存在邊界為矩形EFGH、方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，探測板CD平行于HG水平放置，能沿豎直方向緩慢移動且接地。a、b、c三束寬度不計(jì)、間距相等的離子束中的離子均以相同速度持續(xù)從邊界EH水平射入磁場，b束中的離子在磁場中沿半徑為R的四分之一圓弧運(yùn)動后從下邊界HG豎直向下射出，并打在探測板的右邊緣D點(diǎn)。已知每束每秒射入磁場的離子數(shù)均為N，離子束間的距離均為0.6R，探測板CD的寬度為0.5R，離子質(zhì)量均為m、電荷量均為q，不計(jì)重力及離子間的相互作用。

（1）求離子速度v的大小及c束中的離子射出磁場邊界HG時與H點(diǎn)的距離s;

（2）求探測到三束離子時探測板與邊界HG的最大距離Lmax;

（3）若打到探測板上的離子被全部吸收，求離子束對探測板的平均作用力的豎直分量F與板到HG距離L的關(guān)系。

第1問解析 離子在磁場中做圓周運(yùn)動，qvB=，得離子的速度大小v=

如圖2所示，令c束中的離子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心為O，從磁場邊界HG 邊的Q點(diǎn)射出，則由幾何關(guān)系可得OH=0.6R，根據(jù)勾股定理可知：s=HQ=0.8R。

命題特點(diǎn)分析：磁場作為高中階段比較重要的章節(jié)，其概念本身比較復(fù)雜與抽象，圓周運(yùn)動也是高中階段動力學(xué)關(guān)系比較復(fù)雜的一種曲線運(yùn)動。本題作為壓軸題主要是以磁場為背景著重考查學(xué)生對圓周運(yùn)動軌跡幾何關(guān)系的認(rèn)識、理解與運(yùn)用，弱化對動力學(xué)關(guān)系的考查。

思維方法分析：一般來說，分析帶電粒子在矩形有界磁場中運(yùn)動，要注意分析進(jìn)磁場邊界時的初始條件，以便確定離開邊界時的幾何關(guān)系。本題中入射的離子速度方向相同（與矩形邊界EH垂直），大小相等，且已知其中一束離子運(yùn)動的軌跡，據(jù)此可以找出相應(yīng)的半徑，再根據(jù)其他離子束所處的位置畫出相應(yīng)的軌跡。整體而言難度不大，因此本題第1問在問題設(shè)置上突出基礎(chǔ)性。

第2問解析 a束中的離子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心為O1，從磁場邊界HG邊射出時距離H點(diǎn)的距離為x，由幾何關(guān)系可得HO1=0.6R。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)：a、c束中的離子從同一點(diǎn)Q射出。設(shè)a、c離開磁場時速度與HG邊的夾角分別為α與β，由幾何關(guān)系可得α=β，且tanα= = 。

如圖3所示，要想探測到三束離子，則c束中的離子恰好達(dá)到探測板的D點(diǎn)時，探測板與邊界HG的距離最大，tanα= ，代入得Lmax= R。

命題特點(diǎn)分析：第2問問題設(shè)置的難度加大，區(qū)分度較高。此問需要學(xué)生準(zhǔn)確而又細(xì)致地分析三束離子磁場邊界后的運(yùn)動過程與探測板長度之間的幾何關(guān)系，三束離子均要被探測板吸收的問題最終轉(zhuǎn)化為三束離子源軌跡與探測板交點(diǎn)個數(shù)的問題。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識建立相似關(guān)系，建立最大距離的方程是解題的關(guān)鍵。整體而言，第2問考查學(xué)生對運(yùn)動軌跡的分析能力，對定量計(jì)算能力提出較高的要求。

第3問解析 a束或c束中每個離子動量的豎直分量pz=psinα=0.8qBR。

如圖3所示，當(dāng)0

如圖4所示，當(dāng) R

如圖5所示，當(dāng)L>0.4R時，只有b束中的離子打在探測板上，則單位時間內(nèi)離子束對探測板的平均作用力為F3=Np=NqBR。

思維方法分析：本題第3問將離子源的運(yùn)動與探測板所受的平均作用力聯(lián)系起來，突出命題的綜合性與創(chuàng)新性。運(yùn)用動量定理解決離子流與探測板碰撞產(chǎn)生的撞擊力是分析的關(guān)鍵，實(shí)際解題時要注意到動量定理是矢量式方程，計(jì)算撞擊力時要注意分解速度的方向。其次，從思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與全面性來講，我們要結(jié)合具體的距離L分段、分情況計(jì)算平均作用力的表達(dá)式，如此看來其實(shí)第2問實(shí)則為第3問的具體分析埋下伏筆。

命題整體分析：

（1）本題以粒子診斷測量的簡化裝置為情境進(jìn)行命題，與科技前沿問題鏈接，這與新高考強(qiáng)調(diào)通過真實(shí)的情境創(chuàng)設(shè)考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力是非常契合的。以帶電粒子在矩形磁場中運(yùn)動為背景設(shè)置一些典型問題，從最簡單、最基礎(chǔ)的概念問題逐步深入到幾何關(guān)系的進(jìn)一步挖掘。作為壓軸題，最后的設(shè)問轉(zhuǎn)換至力學(xué)問題的探討，體現(xiàn)出本題的綜合性與應(yīng)用性，整體而言對學(xué)生的能力提出較高的要求。

（2）本題與以往計(jì)算無限長的固定的探測板上探測到粒子的長度的設(shè)問不同，可以看到本題中探測板長度有限，并且只是在豎直方向可以移動，在審題時應(yīng)該注意題目所給條件。常規(guī)課堂教學(xué)階段尤其是一輪復(fù)習(xí)備考時，我們可以變換不同的變量深化對問題的研究，擴(kuò)展學(xué)生思維的深度與廣度。

（3）帶電粒子在磁場中的運(yùn)動作為物理卷的壓軸題是近幾年浙江省高考物理的特色，本題中的離子在速度方向、大小確定的情況下主要考查學(xué)生對幾何關(guān)系的正確運(yùn)用。因不涉及旋轉(zhuǎn)圓與縮放圓的分析與處理，也不存在粒子的運(yùn)動軌跡與探測板相切或者以運(yùn)動軌跡對應(yīng)的弦長為直徑的方式求邊緣性的粒子的問題[1]，因此考查方式發(fā)生較大的變化。以這樣的方式呈現(xiàn)，整體而言，難度有所下降。

（4）第3問中分類討論的思想方法有一定的難度，部分學(xué)生對關(guān)鍵位置的認(rèn)識會有偏差，或者稍有不慎求錯邊界值。整體而言，本題第3問的設(shè)問考查學(xué)生科學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性與全面性。其實(shí)，處理實(shí)際問題時理應(yīng)具備根據(jù)實(shí)際運(yùn)動過程合理進(jìn)行分類討論的思想，這樣的思維方式需要學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)與形成。

課堂教學(xué)建議：

（1）分析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動一般是遵循“定圓心，找半徑，畫軌跡”三個步驟。教師在課堂教學(xué)中可以考慮運(yùn)用幾何畫板針對不同情境繪制粒子運(yùn)動軌跡的動畫，讓學(xué)生對幾何關(guān)系有更準(zhǔn)確、更直觀的認(rèn)識。幾何畫板的使用也便于師生捕捉除題目中設(shè)置的問題以外的其他問題。本題中所有的圖片都是基于幾何畫板所作。

（2）在一輪復(fù)習(xí)備考中我們要嘗試一題多變，這種變不僅僅局限于改變問題設(shè)置的情境解決相似的問題。面對高考，我們也要思考在原有的情境下從新的角度提煉出新的問題[2]。比如，本題中第3問將離子在磁場中的運(yùn)動與動量進(jìn)行結(jié)合，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力以及創(chuàng)新思維能力。雖然難度看似不大，但是學(xué)生實(shí)際很難拿全分。

例2 （2021年1月浙江省選考物理第22題第3問） 在芯片制造過程中，離子注入是其中一道重要的工序。如圖6所示是離子注入工作原理示意圖，離子經(jīng)加速后沿水平方向進(jìn)入速度選擇器，然后通過磁分析器，選擇出特定比荷的離子，經(jīng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)后注入處在水平面內(nèi)的晶圓（硅片）。速度選擇器、磁分析器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向均垂直紙面向外;速度選擇器和偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的勻強(qiáng)電場場強(qiáng)大小均為E，方向分別為豎直向上和垂直紙面向外。磁分析器截面是內(nèi)外半徑分別為R1和R2的四分之圓環(huán)，其兩端中心位置M和N處各有一個小孔;偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)中電場和磁場的分布區(qū)域是同一邊長為L的正方體，其底面與晶圓所在水平面平行，間距也為L。當(dāng)偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)不加電場及磁場時，離子恰好豎直注入到晶圓上的O點(diǎn)（即圖中坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸垂直紙面向外）。整個系統(tǒng)置于真空中，不計(jì)離子重力，打在晶圓上的離子，經(jīng)過電場和磁場偏轉(zhuǎn)的角度都很小。當(dāng)α很小時，有 sinα≈tanα≈α，cosα≈1- α2。求：（3）偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)僅加磁場時離子注入晶圓的位置，用坐標(biāo)（x，y）表示。

解析 如圖7所示，根據(jù)離子在速度選擇器中運(yùn)動的特點(diǎn)可知，離子運(yùn)動的速度滿足：Eq=qvB。

進(jìn)入磁分析器滿足：r= ，r=

進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場區(qū)域：以離子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場時速度方向?yàn)閦軸，則離子實(shí)際在zOy平面內(nèi)運(yùn)動，離子出磁場打到晶圓上時滿足x=0;由于離子速度足夠大，出磁場時滿足：y=AB+DE=r（1-cosα）+Ltanα，根據(jù)題目約算近似可知：y≈ +Lα，再根據(jù)幾何關(guān)系：sinα=? ，代入可知：y≈ =

命題特點(diǎn)分析：

（1）本題作為浙江2021年高考1月份物理學(xué)科的壓軸題，雖然設(shè)置的是復(fù)合場的背景，但在分開設(shè)問的情況下，第3問依舊考查的是帶電粒子在磁場中運(yùn)動，并不涉及電場以及電場力。雖然是以帶電粒子在矩形有界磁場中做勻速圓周運(yùn)動為背景，與前面不同的是：本題設(shè)置的是粒子在三維立體空間中運(yùn)動的情境。

（2）考慮實(shí)際離子運(yùn)動速度足夠大的情況，在對坐標(biāo)的計(jì)算中著重對角度的約算進(jìn)行了考查。中學(xué)階段的學(xué)生常常習(xí)慣于通過嚴(yán)格推導(dǎo)進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，對約算或者估算的運(yùn)用很少。本題中的約算公式tanα≈α，sinα≈α，在中學(xué)課本上推導(dǎo)勻速率圓周運(yùn)動的向心加速度和單擺的周期公式的過程中是運(yùn)用過的。對于約算公式cosα≈1- α2學(xué)生在此之前幾乎沒有見過，可能還不知道怎么得來。盡管如此，在考試的情況下，學(xué)生直接拿來解題即可。本題考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)估算公式解決物理問題的能力。

思維方法分析：

（1）本題中對x，y坐標(biāo)的求解實(shí)際是將曲線運(yùn)動與直線運(yùn)動結(jié)合，考查學(xué)生對連續(xù)兩種運(yùn)動過程幾何關(guān)系的理解，xyz三維空間的運(yùn)動看似復(fù)雜，一旦將帶電粒子運(yùn)動的圓平面認(rèn)識清楚后，可以轉(zhuǎn)化為zOy二維平面內(nèi)的運(yùn)動。

（2）分析粒子y坐標(biāo)繪制粒子的運(yùn)動軌跡時，可以發(fā)現(xiàn)一個問題：若粒子速度不是很大（圖8），粒子不會打到xOy平面內(nèi);臨界狀態(tài)如圖9所示，當(dāng)粒子運(yùn)動軌道半徑大于L時才可以打到xOy平面內(nèi)（圖10）。只有當(dāng)粒子速度超過這個臨界值后粒子才可能打到xOy平面上，這也就是題目中交待粒子速度足夠大的原因。

3? ? 感? 想

通過對高考題的深度剖析我們可以發(fā)現(xiàn)：高考作為為國家選拔人才的關(guān)鍵考試，為更好地發(fā)揮立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的核心功能，在命制高考題時更多的是嘗試將物理學(xué)科與不同的情境結(jié)合，在熟悉且簡單的情境中創(chuàng)設(shè)新的問題情境，以此考查學(xué)生的應(yīng)變能力與綜合分析能力。在那些與科技前沿相聯(lián)系的復(fù)雜的情境中提煉一些經(jīng)典問題，考查學(xué)生的科學(xué)思維能力。通過題目的命制培養(yǎng)學(xué)生積極主動解決問題的能力、分析推理能力、創(chuàng)新思維能力。以核心素養(yǎng)為中心，通過情境創(chuàng)設(shè)提高思維的品質(zhì)，通過層層設(shè)問考查科學(xué)思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]陶漢斌.建構(gòu)物理模型 厚植物理觀念——鑒賞2020年1月浙江選考物理壓軸題[J].物理教師，2020，41（05）：84-86+89.

[2]羅振國.高考考查電容器充放電的兩大難點(diǎn)分析[J].物理教師，2020，41（07）：73-76.

（欄目編輯? ? 陳? 潔）