復(fù)對(duì)稱Toeplitz算子與向量值函數(shù)空間上的Toeplitz算子

李 媛，夏 錦

（廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣州510006）

引言

令H是一個(gè)復(fù)可分Hilbert空間，若C：H→H是反線性算子，滿足C2＝I，且［C f，C g］＝［g，f］，其中f，g∈H，則稱C是H上的一個(gè)復(fù)共軛。若存在共軛C使得CT＝T*C，則稱H上的有界線性算子T是相對(duì)于C的復(fù)對(duì)稱算子。

復(fù)對(duì)稱算子的研究由Garcia和Putinar在文獻(xiàn)［1］中開始，他們證明了對(duì)于H上的任意共軛C存在標(biāo)準(zhǔn)正交基使得C en＝en，n≥0。實(shí)際上，一個(gè)算子在某組基上具有對(duì)稱矩陣表示時(shí)，它就是復(fù)對(duì)稱的。同時(shí)，復(fù)對(duì)稱算子的種類也非常多，包括所有正規(guī)算子，某些Hankel算子，壓縮Toeplitz算子，以及Volterra積分算子。在過去的十年中，許多算子論專家［2-9］對(duì)復(fù)對(duì)稱算子的研究做出了重大貢獻(xiàn)。

文獻(xiàn)［2］中首次研究了經(jīng)典Hardy空間H2（D）上Toeplitz算子復(fù)對(duì)稱的問題。文獻(xiàn)［10］給出了H2（D）上相對(duì)于復(fù)共軛的復(fù)對(duì)稱Toeplitz算子的完全刻畫。文獻(xiàn)［11］研究了單位球與多圓盤上Bergman空間和多重復(fù)調(diào)和Bergman空間上的復(fù)對(duì)稱Toeplitz算子，發(fā)現(xiàn)Toeplitz算子在這兩個(gè)空間上共軛復(fù)對(duì)稱性的充要條件是相同的。文獻(xiàn)［12］研究了單位圓盤的Dirichlet空間上Toeplitz算子相對(duì)于一類共軛的復(fù)對(duì)稱性。然而，目前尚缺乏n維復(fù)數(shù)域Cn上Fock空間和調(diào)和Fock空間的復(fù)共軛性方面的研究?；诖?，本文將從Toeplitz算子復(fù)對(duì)稱有關(guān)的一些重要命題出發(fā)，開展n維復(fù)數(shù)域Cn上Fock空間和調(diào)和Fock空間的復(fù)共軛性方面的研究，以彌補(bǔ)復(fù)對(duì)稱Toeplitz算子與向量值函數(shù)空間上的Toeplitz算子方面研究的不足。

對(duì)任意的t＞0，考慮Cn上Gaussian概率測(cè)度

本文第二部分研究了單位圓盤的向量值指數(shù)權(quán)Bergman空間上正算子值函數(shù)符號(hào)Teoplitz算子。

1 Fock空間和調(diào)和Fock空間上的復(fù)對(duì)稱Toeplitz算子

1.1 Fock空間與調(diào)和Fock空間上Toeplitz算子復(fù)對(duì)稱的等價(jià)性

1.2 主要結(jié)果

從定理1的條件（c）中，F(xiàn)2上關(guān)于共軛Cμ，ζ的復(fù)對(duì)稱Toeplitz算子符號(hào)的極分解有對(duì)稱形式。一個(gè)自然的問題出現(xiàn)了：對(duì)于Cμ，ζ上的任意復(fù)對(duì)稱Toeplitz算子Tφ，條件φk（r）＝0是否意味著對(duì)任意k∈Zn有φ-k＝0在某些情況下，結(jié)果是肯定的。

2 向量值指數(shù)權(quán)Bergman空間上正算子值符號(hào)Toeplitz算子

2.1 Carleson條件

2.2 Toeplitz算子的有界性與緊性

3 結(jié)束語(yǔ)

第一部分研究了Toeplitz算子關(guān)于共軛Cμ，ζ在F2或F2h上是復(fù)對(duì)稱算子的充要條件，發(fā)現(xiàn)Toeplitz算子關(guān)于共軛上成為復(fù)對(duì)稱算子的條件是相同的。第二部分研究了單位圓盤的向量值指數(shù)權(quán)Bergman空間）上正算子值函數(shù)符號(hào)Teoplitz算子。利用Carleson條件與均值函數(shù)得到了Toeplitz算子有界，緊的充要條件。