基于數(shù)值變分計算的Acrobot 機器臂能量最優(yōu)控制

李江成，詹清華，區(qū)國洪，何 俊

（1.廣東省立勝技術有限公司，廣東 佛山 528200；2.佛山科學技術學院機電工程與自動化學院，廣東佛山 528225）

欠驅(qū)動機器臂包括肘部驅(qū)動（Acrobot）和肩部驅(qū)動（Pendubot）兩種［1-2］，實際系統(tǒng)中Acrobot 模型由于有重力的存在，表現(xiàn)為2 階微分約束系統(tǒng)，這類系統(tǒng)是可控的，因而從初始位置驅(qū)動系統(tǒng)至期望位置的控制問題理論上是可以實現(xiàn)的。近期出現(xiàn)了一類分區(qū)域控制欠驅(qū)動機器臂的方法，即將控制區(qū)域分為搖起區(qū)和吸引區(qū)，在吸引區(qū)線性化系統(tǒng)再采用線性系統(tǒng)理論穩(wěn)定系統(tǒng)，需要指出的是Acrobot 是不可完全線性化的［3-4］，在控制器中加入擾動或者起始力矩來改變系統(tǒng)的初始狀態(tài)達到控制目的，二者在搖起區(qū)的線性化策略從理論上是不可行的［5-10］。基于這方面的原因，智能控制的思想在本領域得到應用，本文將采用變分原理來研究Acrobot 的控制問題。

1 欠驅(qū)動機器臂Acrobot 動力模型

Acrobot 的模型結構如圖1 所示。圖1 中，mi（i=1，2）表示第i桿的質(zhì)量，li表示第i 桿的長度，lci表示從i 關節(jié)到i 桿質(zhì)心的距離，Ii表示第i 桿相對于質(zhì)心的慣性，q1表示第一桿相對于垂直向上y 軸的角度，q2表示第二桿相對第一桿的角度，τ2為作用在第二連桿上的控制力，g 為重力加速度。

圖1 Acrobot 的模型結構

令q=［q1，q2］·，Acrobot 的動力學方程滿足

其中，

于是有

優(yōu)化控制的前提是假定存在一種控制律，能夠引導系統(tǒng)從初始狀態(tài)運動至終端狀態(tài)，文獻［11-12］證明了存在一種控制器完成Acrobot 從平衡點到平衡點的切換。下面討論系統(tǒng)從垂直向下平衡點到垂直頂點的最優(yōu)控制器設計，這種情形性能指標中的被積函數(shù)的橫截條件總是滿足的。

2 最優(yōu)控制問題描述

最優(yōu)控制問題可描述為，對于給定系統(tǒng)（1）、初始狀態(tài)x0=［-π 0 0 0］T以及終端狀態(tài)xd，尋找合適的控制律τ，最小化目標函數(shù)為

其中，tf為終端時間，可以是事先給定的，也可以是未知的。

引理［13］無約束極值問題

J 取極值的必要條件為

由歐拉-拉格朗日原理，Acrobot 系統(tǒng)的優(yōu)化目標函數(shù)為

即極小值問題為

記y=［x1x2x3x4λ1λ2λ3λ4］T∈R8，結合式（12）消去τ，則式（7）轉(zhuǎn)換為

至此，完成了條件極值問題轉(zhuǎn)換成為無條件極值問題。

對式（9）兩邊積分有

其中，c 為常數(shù)。為消除常數(shù)c，考慮下列積分

即得到遞推公式

由式（16）可以看出，左端是k 時段末的狀態(tài)函數(shù)，右端是已知的前二時段末狀態(tài)函數(shù)。設；tk=kh，且k=1，2，…，n，其中n 為軌跡線細分段數(shù)。為簡單起見，取中值計算式（16）各部分積分，有

于是有

式（19）是含有8 個未知數(shù)的非線性方程，當初始條件給定后，可以遞推求解時段末的狀態(tài)。

3 仿真實例

在系統(tǒng)（1）中，設結構參數(shù)I1=I2=1 kg/m2，l1=l2=1 m，m1=m2=1 kg。初始條件和終端條件分別為x0=［-π 0 0 0］T，xd=［0 0 0 0］T。拉氏函數(shù)為

取tf=4 s，n=64，仿真結果如圖2 所示。由圖2 可知，系統(tǒng)在k=66 時穩(wěn)定，即穩(wěn)定時間約為4.06 s。

圖2 角度及控制力矩仿真結果

4 小結

本文研究了肩部欠驅(qū)動雙連桿機器臂的最小能量的控制問題，該問題被當作一無條件極值問題，優(yōu)化目標采用數(shù)值求解技術來處理，所引進的乘子以時間導數(shù)出現(xiàn)，既改善性能指標的可積特性，簡化了參數(shù)初始值的確定，仿真實例表明本文方法的有效性。因為Acrobot 在實際工程系統(tǒng)中（有重力的存在）是可控的，從指定任意位置達到狀態(tài)空間中任意位置是可能的，這是進一步要研究的課題。