非線性原子-腔-光纖系統(tǒng)中的量子關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移和量子態(tài)傳輸

賀啟亮,丁敏,宋曉書,肖勇軍,呂兵

(貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴陽(yáng) 貴州 550001)

0 引言

量子網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建思想與經(jīng)典電子通信網(wǎng)絡(luò)是一致的,它是由許多量子節(jié)點(diǎn)組成進(jìn)而進(jìn)行量子信息任務(wù)處理的系統(tǒng)[1]。眾所周知,一個(gè)高品質(zhì)、高效率的量子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可以為許多不同的量子信息任務(wù)提供強(qiáng)有力的支持,例如分布式量子計(jì)算[2]、量子密鑰分配[3?5]、量子密碼[6]、量子隱形傳態(tài)[7]等。而實(shí)現(xiàn)量子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的核心之一是在空間上有一定距離的不同量子比特之間執(zhí)行可靠的量子關(guān)聯(lián)和量子態(tài)傳輸[8?11],也就是通過(guò)量子信道將量子信息從空間中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)傳到另外一個(gè)節(jié)點(diǎn),以執(zhí)行和完成量子信息任務(wù)。

另一方面,由于腔QED系統(tǒng)具有成熟的可操控性,所以基于原子-腔-光纖的系統(tǒng)成為構(gòu)建量子網(wǎng)絡(luò)最具發(fā)展前景的候選載體之一[9,12]。在這個(gè)系統(tǒng)中,原子通常被用來(lái)存儲(chǔ)量子信息,腔場(chǎng)光子作為飛行的量子位,光纖則被看作是量子通道。近年來(lái),基于此系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)操作和量子信息任務(wù)處理受到了越來(lái)越多的關(guān)注[13?20]。例如,Serafini等[15]研究了由光纖耦合的遙遠(yuǎn)光腔中原子之間量子門有效實(shí)現(xiàn)的可能性,Ye等[16]在由光纖連接的光學(xué)腔中提出了一種產(chǎn)生三維糾纏的方案,Pellizzari[12]和Zhou等[17]分別提出了一種在由光纖耦合的遠(yuǎn)距離腔中實(shí)現(xiàn)量子態(tài)轉(zhuǎn)移的方案。此外,還有一些研究從理論和實(shí)驗(yàn)上表明,在量子網(wǎng)絡(luò)不同節(jié)點(diǎn)中原子之間的量子態(tài)轉(zhuǎn)移和量子關(guān)聯(lián)產(chǎn)生可以利用原子-腔-光纖系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)[19,20]。

綜上所述,原子-腔-光纖系統(tǒng)對(duì)于量子態(tài)傳輸以及量子網(wǎng)絡(luò)的實(shí)現(xiàn)具有非常重要的作用,國(guó)內(nèi)外研究者基于此系統(tǒng)已經(jīng)開展了許多相關(guān)的研究工作[13?20],但是利用非線性介質(zhì)來(lái)提高傳輸效率的研究還未有報(bào)道。本文基于光腔充滿非線性介質(zhì)的原子-腔-光纖系統(tǒng),研究了非線性克爾介質(zhì)對(duì)系統(tǒng)中量子態(tài)傳輸和量子關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移的影響。

1 系統(tǒng)模型的動(dòng)力學(xué)演化

圖1 所研究系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the investigated system

如圖1所示,所研究系統(tǒng)由兩個(gè)相同的子系統(tǒng)所構(gòu)成,每個(gè)子系統(tǒng)包含兩個(gè)二能級(jí)原子系綜和相距一定距離的兩個(gè)光腔,而光腔之間由光纖進(jìn)行連接,同時(shí)每個(gè)光腔中都充入了非線性克爾介質(zhì)。這里假設(shè)兩個(gè)子系統(tǒng)是獨(dú)立的,而且在同一個(gè)光腔中的二能級(jí)原子的間隔足夠遠(yuǎn),也就是說(shuō)原子之間沒有直接的相互作用。在短光纖極限之下,整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為[21,22]

式中

接下來(lái)計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)隨時(shí)間的動(dòng)力學(xué)演化。首先,考慮整個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

式中:α、β滿足|α|2+|β|2=1,態(tài)|0,N〉代表N個(gè)原子全部處于基態(tài);同樣地,|1,N?1〉表示N?1個(gè)原子處于基態(tài),一個(gè)原子處于激發(fā)態(tài)。

因此,根據(jù)(2)、(4)式,可以計(jì)算得到整個(gè)系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)為

式中

根據(jù) (5)式,在基矢 {|1,N? 1〉1|1,N? 1〉3,|1,N? 1〉1|0,N〉3,|0,N〉1|1,N? 1〉3,|0,N〉1|0,N〉3}下,通過(guò)對(duì)其余自由度求跡,可以得到原子系綜1與3之間的約化密度矩陣為

式中

類似地,根據(jù) (5)式,在基矢 |1,N?1〉2|1,N? 1〉4,|1,N? 1〉2|0,N〉4,|0,N〉2|1,N?1〉4,|0,N〉2|0,N〉4}下,通過(guò)相同方法也可以得到原子系綜2、4之間的約化密度矩陣為

式中

2 系統(tǒng)中量子關(guān)聯(lián)的轉(zhuǎn)移

本節(jié)研究非線性克爾介質(zhì)對(duì)于系統(tǒng)中量子關(guān)聯(lián)(量子糾纏和量子失諧)轉(zhuǎn)移的影響,此處采用糾纏(Concurrence)[28]去量化系統(tǒng)中的量子糾纏轉(zhuǎn)移。對(duì)于一個(gè)雙量子比特系統(tǒng),糾纏可定義為

因此,其糾纏可以更為簡(jiǎn)單地表示為[29]

此外,根據(jù)Zurek提出的方法,利用量子互信息與經(jīng)典關(guān)聯(lián)的差異程度去度量量子失諧[30?32]。對(duì)于一個(gè)雙量子比特系統(tǒng)來(lái)說(shuō),量子互信息能夠?qū)憺?/p>

式中

此外,經(jīng)典關(guān)聯(lián)能夠被表示為

由(7)、(9)式可以看出原子系綜1、3的密度矩陣ρ13(t)及原子系綜2、4的密度矩陣ρ24(t)是X型矩陣,根據(jù)參考文獻(xiàn)[32]中介紹的方法,可以計(jì)算出原子系綜1、3與2、4的量子失諧的解析表達(dá)式。

圖2 (a)未加入克爾介質(zhì)時(shí)量子糾纏C13和C24的動(dòng)力學(xué)演化;(b)χ=0和χ=5兩種情況下量子糾纏C24的動(dòng)力學(xué)演化Fig.2 (a)Dynamics of quantum entanglement C13and C24without Kerr medium;(b)Dynamics of quantum entanglement C24for χ =0,χ =5

圖3 (a)未加入克爾介質(zhì)時(shí)量子失諧Q13和Q24的動(dòng)力學(xué)演化;(b)χ=0和χ=5兩種情況下量子失諧Q24的動(dòng)力學(xué)演化Fig.3 (a)Dynamics of quantum discord Q13and Q24without Kerr medium;(b)Dynamics of quantum discord Q24for χ =0,χ =5

3 系統(tǒng)中量子態(tài)傳輸和量子信息流動(dòng)

本節(jié)將研究整個(gè)系統(tǒng)中量子態(tài)的傳輸和量子信息的流動(dòng)。首先討論系統(tǒng)中不同原子系綜間的量子態(tài)傳輸,采用態(tài)保真度來(lái)度量量子態(tài)傳輸完成的程度,保真度由Nielsen等[10]和Marian等[10,33]引入,其計(jì)算方法為

由(4)式,系統(tǒng)中量子態(tài)傳輸?shù)哪繕?biāo)量子態(tài)為

由(9)、(19)、(20)式,可以得到原子系綜1、3與原子系綜2、4之間量子態(tài)傳輸?shù)膽B(tài)保真度為

相似地,根據(jù)(4)、(8)、(19)式,可以推導(dǎo)出原子系綜1、3之間的態(tài)保真度為

圖4 (a)未加入克爾介質(zhì)時(shí)保真度F13和F24的動(dòng)力學(xué)演化;(b)χ=0和χ=5兩種情況下保真度F24的動(dòng)力學(xué)演化Fig.4 (a)Fidelity F13and F24without Kerr medium;(b)Fidelity F24for χ =0,χ =5

為進(jìn)一步說(shuō)明非線性克爾介質(zhì)對(duì)系統(tǒng)中量子態(tài)傳輸完成時(shí)間的延長(zhǎng)效果,借助跡距離的方法研究了非線性克爾介質(zhì)對(duì)系統(tǒng)中量子信息流動(dòng)的影響。跡距離是由Breuer等[34]引入的,經(jīng)常用于探測(cè)系統(tǒng)不同部分之間的量子信息流動(dòng)和交換[35,36],其定義式為[34]

由(4)、(9)、(23)式,原子系綜2、4之間的跡距離可表示為

圖5 χ=0和χ=5兩種情況下跡距離D(ρ24(0),ρ24(t))的動(dòng)力學(xué)演化Fig.5 Dynamics of trace distance D(ρ24(0),ρ24(t))for χ =0,χ =5

對(duì)比圖5中實(shí)線和虛線隨時(shí)間的演化行為可知:當(dāng)加入非線性克爾介質(zhì)之后,原子系綜2、4之間的跡距離D(ρ24(0),ρ24(t))將呈現(xiàn)振蕩衰減,其衰減的速率相比于黑色實(shí)線來(lái)說(shuō)會(huì)變緩,而且其衰減到初始值的時(shí)間將延長(zhǎng)。這一結(jié)果說(shuō)明2、4之間量子信息流出的速率將減小,即2、4之間的量子信息能在更長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)得以保存。這也意味著系統(tǒng)中原子系綜2、4之間的量子態(tài)傳輸?shù)靡酝瓿傻臅r(shí)間將延長(zhǎng),即原子系綜2、4將會(huì)在更長(zhǎng)的時(shí)間處于量子關(guān)聯(lián)態(tài)。

4 結(jié)論

基于光腔充滿非線性介質(zhì)的原子-腔-光纖系統(tǒng),精確求解了系統(tǒng)中原子系綜間的量子關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移和量子態(tài)傳輸?shù)膭?dòng)力學(xué)性質(zhì)。計(jì)算結(jié)果表明在未加入非線性克爾介質(zhì)時(shí),系統(tǒng)中不同原子系綜間的量子態(tài)傳輸和量子關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移都會(huì)得以實(shí)現(xiàn),但是隨著時(shí)間的演化目標(biāo)原子系綜間的態(tài)保真度和量子關(guān)聯(lián)的數(shù)值都會(huì)衰減,這表明系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)量子態(tài)傳輸和量子關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移的時(shí)間是有限的。特別地,當(dāng)加入非線性克爾介質(zhì)后,目標(biāo)原子系綜間量子態(tài)傳輸?shù)谋Ｕ娑群土孔雨P(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移的數(shù)值會(huì)得到一定程度的增加,同時(shí)保真度和量子關(guān)聯(lián)衰減的速率也會(huì)變緩,也就是說(shuō)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)量子態(tài)傳輸和量子關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移的時(shí)間會(huì)得到延長(zhǎng)。另外,借助跡距離的方法探討了系統(tǒng)中量子信息的流動(dòng),結(jié)果表明非線性克爾介質(zhì)可以減小系統(tǒng)中目標(biāo)原子間跡距離衰減的速率,減緩其擁有的量子信息的流出,增加其量子信息存儲(chǔ)的時(shí)間,這意味著非線性克爾介質(zhì)可以延長(zhǎng)系統(tǒng)中量子關(guān)聯(lián)轉(zhuǎn)移和量子態(tài)傳輸?shù)臅r(shí)間。