高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”的教學(xué)思想與方法分析

■袁睿澤

（陜西國防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710300）

高職院校經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)的基礎(chǔ)學(xué)科，但是內(nèi)容本身具有一定難度，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)上的積極性不高，導(dǎo)致“微積分”教學(xué)效果不理想。經(jīng)過總結(jié)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)階段學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)這一門課程時，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)，運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)問題解決能力不強(qiáng)，欠缺“微積分”知識實(shí)踐應(yīng)用意識。基于此，圍繞經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)，需要積極創(chuàng)新教學(xué)思想與方法，轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)觀念，優(yōu)化高職院校經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)效果。

一、高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)現(xiàn)狀

（一）教學(xué)工作實(shí)施情況

高職院校中的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程中的“微積分”，如果教學(xué)方法、思想選擇不合理，必然會影響到學(xué)生的積極性，加上“微積分”內(nèi)容存在難度，更加會對最終教學(xué)效果造成影響[1]。比較常見的“微積分”教學(xué)方法是灌輸式，學(xué)生在課堂上沒有呈現(xiàn)出積極性，特別是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生，這時更加需要創(chuàng)新、有效的教學(xué)方法和思想作為引導(dǎo)，方可提高經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)質(zhì)量。

除此之外，在內(nèi)容方面經(jīng)濟(jì)學(xué)科需要更新，其中“微積分”更加是一項(xiàng)重要學(xué)科，要與經(jīng)濟(jì)專業(yè)緊密聯(lián)系，避免學(xué)生掌握了“微積分”知識也沒有機(jī)會得到運(yùn)用[2]?？紤]到這一點(diǎn)，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)評價工作得到重視，但是整體來說評價方法需要進(jìn)一步完善，更多是采用筆試這一方法了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，應(yīng)該增設(shè)學(xué)生思維相關(guān)評價指標(biāo)，引導(dǎo)其靈活運(yùn)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”的知識，加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)實(shí)踐能力。

（二）教學(xué)創(chuàng)新著手點(diǎn)

1.教學(xué)內(nèi)容更新

高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”是一門基礎(chǔ)性課程，在教學(xué)創(chuàng)新與改革進(jìn)程中也需要積極更新教學(xué)內(nèi)容。一是要結(jié)合專業(yè)發(fā)展動態(tài)及時更新知識庫，保證學(xué)生能夠掌握專業(yè)領(lǐng)域的最新知識點(diǎn)[3]；二是應(yīng)該調(diào)整“微積分”知識難度，建議考慮學(xué)生的興趣點(diǎn)，將“微積分”知識與之結(jié)合，吸引其注意力，也可以降低經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程的難度。

2.“微積分”內(nèi)容調(diào)整

因?yàn)楦呗氃盒＝虒W(xué)改革已經(jīng)十分深入，“微積分”在課程管理中的占比也逐步調(diào)整。與此同時，也有一些教師對“微積分”缺乏重視，反而在線性代數(shù)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計等方面加大教學(xué)力度，長此以往便會導(dǎo)致矛盾，不能從本質(zhì)上解決教學(xué)改革存在的問題[4]。建議創(chuàng)新經(jīng)濟(jì)數(shù)字教學(xué)方法與思想，應(yīng)該正確認(rèn)知“微積分”，明確其在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要性，科學(xué)調(diào)整內(nèi)容占比。

3.專業(yè)要求

高職院校任何一門課程的改革都要考慮專業(yè)課程需求，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)也是如此。加強(qiáng)結(jié)果導(dǎo)向性，使經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”能夠?yàn)閷I(yè)課而服務(wù)，使得經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、專業(yè)之間的關(guān)系更為密切，專業(yè)問題抽象處理之后，也與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”相融合[5]。教師自主選擇具有應(yīng)用性的“微積分”內(nèi)容，提高經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)科靈活性。

二、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)思想

創(chuàng)新經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”的教學(xué)思想，要立足于高職院校經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)現(xiàn)狀，發(fā)掘新的教學(xué)方向與著手點(diǎn)，例如數(shù)學(xué)歷史與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)結(jié)合，可以加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)內(nèi)容趣味性，從文化維度吸引學(xué)生的注意力，講解一些“微積分”的概念時，融入歷史背景，幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)“微積分”的興趣[6]。例如，“復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)”這一課，教師可以先介紹16、17世紀(jì)初期，自然科學(xué)領(lǐng)域大量精密數(shù)值計算，逐漸過渡復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)概念，讓學(xué)生先了解函數(shù)有關(guān)歷史，再延伸到數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)上。

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)思想的創(chuàng)新，也可以在“微積分”課堂上引入數(shù)學(xué)建模。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是專業(yè)學(xué)習(xí)中基礎(chǔ)性課程，采用數(shù)學(xué)建模，可以緊密銜接專業(yè)與該課程知識，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力與實(shí)踐能力?！拔⒎e分”教學(xué)過程中搭建優(yōu)質(zhì)模型，也可以采用最小二乘法模型、最優(yōu)價格模型與成本模型，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)思維。

搭建數(shù)學(xué)模型時，經(jīng)濟(jì)問題和社會經(jīng)濟(jì)實(shí)際情況充分結(jié)合，再由教師引入經(jīng)濟(jì)案例，帶領(lǐng)學(xué)生分析案例[7]。例如“極限的四則運(yùn)算法則舉例”一課，教師先向?qū)W生講解連續(xù)復(fù)利率，進(jìn)行到導(dǎo)數(shù)這一知識點(diǎn)時，重點(diǎn)講解最大收益、最大利潤等概念。期間引入數(shù)學(xué)建模思想分析典型經(jīng)濟(jì)案例，學(xué)生在教師帶領(lǐng)下逐步了解數(shù)學(xué)建模思想精髓與步驟，形成數(shù)學(xué)建模解決經(jīng)濟(jì)問題觀念，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)問題解決、實(shí)踐應(yīng)用與知識點(diǎn)創(chuàng)新的能力。

最后，正確、客觀的評價有利于提高經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)預(yù)期教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)成績的評價往往從日常測驗(yàn)、期中與期末考試等活動中獲得，可以總結(jié)為過程評價、最終評價。教師利用“微積分”教學(xué)評價，挖掘?qū)W生經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)潛能，日常學(xué)習(xí)中注重積累，通過教師評價、學(xué)生互評提高評價水平，從而提高經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)水平。

創(chuàng)新教學(xué)思想的關(guān)鍵在于教師，教師應(yīng)認(rèn)識到創(chuàng)新人才培養(yǎng)的重要性，通過“微積分”課堂教學(xué)鍛煉學(xué)生自主思考與學(xué)習(xí)的能力，使其能夠抓住問題核心，通過比擬、直觀圖解等方式求解問題。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”課堂教學(xué)過程中，理論與實(shí)際緊密結(jié)合，教師采用啟發(fā)式教學(xué)方法，將傳統(tǒng)板書與現(xiàn)代化多媒體教學(xué)方法結(jié)合，使“微積分”內(nèi)容的呈現(xiàn)更加直觀[8]。教師采用啟發(fā)式教學(xué)思想，“微積分”課堂上需要設(shè)置導(dǎo)入問題，再利用課堂討論啟發(fā)學(xué)生思維[9]。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”內(nèi)容具有極強(qiáng)邏輯性，教師在課堂上應(yīng)該采用比較通俗的語言，既降低難度又可以增添趣味性。經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)知識性、社會經(jīng)濟(jì)趣味性相融合，設(shè)置導(dǎo)入性問題，促使學(xué)生探究性學(xué)習(xí)。例如，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”中的“單調(diào)有界準(zhǔn)則推出一個重要極限連續(xù)復(fù)利”這一課內(nèi)容比較抽象，教師導(dǎo)入階段設(shè)置問題，如“嘗試推導(dǎo)極限存在準(zhǔn)則的條件”，隨之便可以引出函數(shù)極限、數(shù)列極限等關(guān)鍵內(nèi)容。學(xué)生大概了解概念、性質(zhì)與定理，便可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算。教師采用講練結(jié)合方式，布置練習(xí)作業(yè)，師生之間討論發(fā)現(xiàn)共性問題，使學(xué)生熟練掌握本課基礎(chǔ)理論、求解問題的方法。

三、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)方法創(chuàng)新

（一）經(jīng)濟(jì)管理問題與“微積分”教學(xué)結(jié)合

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程與經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)內(nèi)容有關(guān)，而且經(jīng)濟(jì)管理中的一些基礎(chǔ)理論、現(xiàn)象也體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識，作為基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程，在課堂上教師應(yīng)該注意“微積分”與經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)內(nèi)容的結(jié)合。教學(xué)過程中“微積分”的重點(diǎn)知識內(nèi)容，均可以利用經(jīng)濟(jì)管理理論、問題加以闡釋，例如極限、積分和差分方程等。教師建立“經(jīng)濟(jì)-數(shù)學(xué)-經(jīng)濟(jì)”模式，結(jié)合經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象引發(fā)學(xué)生思維，通過數(shù)學(xué)理論認(rèn)知到“微積分”問題本質(zhì)，掌握教材中的知識點(diǎn)，反之也可以利用掌握的知識點(diǎn)分析經(jīng)濟(jì)管理現(xiàn)象[10]。例如“導(dǎo)數(shù)的定義”這一課，導(dǎo)數(shù)作為“微積分”非常重要的概念之一，在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域也有十分普遍的應(yīng)用，課堂上教授導(dǎo)數(shù)概念與定義，首先可以選擇案例，引出經(jīng)濟(jì)管理“邊際”這一理念，立足于微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)角度，可以理解為自變量增加1個單位之后，出現(xiàn)的因變量增加量。實(shí)際上學(xué)生理解“邊際”概念存在難度，教師選擇案例也應(yīng)該要保證難度適中。例如企業(yè)選擇合作伙伴，在不同發(fā)展階段選擇考慮的因素也會存在差異，在企業(yè)成立初期，選擇A公司能夠帶來最大的經(jīng)濟(jì)效益，隨之B公司帶來的經(jīng)濟(jì)效益與A相比有所減少，當(dāng)企業(yè)已經(jīng)進(jìn)入到發(fā)展關(guān)鍵期，此時無論是管理水平還是經(jīng)濟(jì)效益都能夠滿足發(fā)展要求，考慮C公司，能夠帶來的經(jīng)濟(jì)效益也會出現(xiàn)變化，其本質(zhì)便是“多投入一單位產(chǎn)量所得到的追加收入”，教學(xué)更加生動，且與經(jīng)濟(jì)管理內(nèi)容結(jié)合，使導(dǎo)數(shù)這一部分知識的理解更為容易。

隨后教師闡釋導(dǎo)數(shù)概念，在引例的基礎(chǔ)上，其中一個變量（即效益）在另外一個變量（合作公司數(shù)量）出現(xiàn)變化之后，導(dǎo)數(shù)可以獲取變化大小、方向數(shù)據(jù)，將產(chǎn)品數(shù)量假設(shè)為連續(xù)變化，此時產(chǎn)品單位支持無限細(xì)分。如果產(chǎn)品數(shù)量在原本x的基礎(chǔ)上不斷增加，那么獲得的總效益增量也會出現(xiàn)改變，用公式△R=R（△x+x）-R（x）表示，兩者之間比值為代表x、x+△x總效益平均變化率。如果△x→0，且有存在，此時極限便可以認(rèn)定為邊際效益（見圖1），在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，即為效益函數(shù)導(dǎo)數(shù)。

圖1 邊際效益

介紹導(dǎo)數(shù)概念之后，學(xué)生可以再次回到邊際問題，引入邊際收入、邊際成本等概念，再帶領(lǐng)學(xué)生分析案例。某建筑機(jī)械設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)統(tǒng)計歷史銷售數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)總利潤L和每月實(shí)際產(chǎn)品產(chǎn)量x之間的函數(shù)關(guān)系，用公式L（x）=250x-50x2代表，讓學(xué)生求解該企業(yè)每月機(jī)械設(shè)備的產(chǎn)量為50臺時的邊際利潤。因?yàn)樵搯栴}中涉及到邊際效益概念，教師帶領(lǐng)學(xué)生分析案例，以邊際效益為著手點(diǎn)對邊際利潤進(jìn)行計算，得出公式。

（二）經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”建模

現(xiàn)階段高職院校深入開展素質(zhì)教育，除了要讓學(xué)生了解“微積分”數(shù)學(xué)概念、公式與定理外，還應(yīng)該在學(xué)習(xí)中感悟到數(shù)學(xué)知識精神、內(nèi)涵，求解實(shí)際經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)問題[11]。一直以來學(xué)生形成了固定思維，一味關(guān)注課堂上“微積分”知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，卻忽略了實(shí)踐應(yīng)用，加上“微積分”內(nèi)容難度較高，所以產(chǎn)生了畏懼心理，尤其對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)的學(xué)生。建議教師在“微積分”教學(xué)時，帶領(lǐng)學(xué)生掌握“微積分”建模的技巧，提煉出變量的關(guān)系，鍛煉經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)知識實(shí)際運(yùn)用能力。

選擇案例時，教師應(yīng)該以加強(qiáng)學(xué)生問題解決能力為目標(biāo)，當(dāng)教學(xué)工作結(jié)束后，便可以導(dǎo)入案例，或者選擇引導(dǎo)性問題進(jìn)行建模探究。例如“函數(shù)的極值”這一課，介紹A、B兩家企業(yè)均負(fù)責(zé)建筑機(jī)械設(shè)備生產(chǎn)，設(shè)定邊際函數(shù) C1、C2，機(jī)械設(shè)備價格的需求量函數(shù)用 P（Q）=a-bQ 表示，企業(yè)總產(chǎn)量為Q=q1+q2，其中a、b是非負(fù)常數(shù)。如果B企業(yè)首先公開機(jī)械設(shè)備產(chǎn)量是q2，此時由學(xué)生分析實(shí)現(xiàn)利潤最大化的機(jī)械設(shè)備生產(chǎn)方案。因?yàn)樵搯栴}的本質(zhì)是生產(chǎn)量安排，重點(diǎn)在于企業(yè)利潤最大化，涉及到“微積分”中的“極值”“最值”兩個概念。按照已經(jīng)掌握的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)概念，認(rèn)識到利潤是收入與成本差額，隨后學(xué)生分別總結(jié)A、B企業(yè)的利潤函數(shù)，得出Ri(q1,q2)=P(Q)qi-Ciqi，i=1,2，i=1表示A企業(yè)，i=2表示B企業(yè)。因?yàn)轭}目中表示B企業(yè)公開機(jī)械設(shè)備產(chǎn)量，求解A企業(yè)目標(biāo)，是B企業(yè)機(jī)械設(shè)備產(chǎn)量達(dá)到q2時明確q1*，確定此時利潤可達(dá)到最大化。站在B企業(yè)角度，對A企業(yè)機(jī)械設(shè)備產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)估，得出q1*，那么B企業(yè)會選擇當(dāng)A企業(yè)機(jī)械設(shè)備產(chǎn)量是q1*的情況下，明確最佳產(chǎn)量為q2*，有利于實(shí)現(xiàn)利潤最大化?；诖私⒛繕?biāo)函數(shù)：

當(dāng)已經(jīng)建立模型之后便可以求解得出結(jié)果，按照“微積分”中極值相關(guān)的概念，求解極大值建議進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求解求駐點(diǎn)，得出，以此來求解A企業(yè)最佳產(chǎn)量，得出。與此同時得到這一方程，該方程中代入q1*，便可得到。這里涉及到“斯塔克爾伯格模型”概念，屬于產(chǎn)量領(lǐng)導(dǎo)模型，計算得出q1*、q2*與斯塔克爾伯格均衡相符。搭建斯塔克爾伯格模型之后，分析行動次序，機(jī)械設(shè)備產(chǎn)品生產(chǎn)產(chǎn)量是一項(xiàng)關(guān)鍵因素，領(lǐng)導(dǎo)性生產(chǎn)廠家可以作為實(shí)際產(chǎn)量的決定因素，與生產(chǎn)廠家共同分析得出實(shí)際產(chǎn)量。按照領(lǐng)導(dǎo)性廠商產(chǎn)量，得出自身機(jī)械設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)量數(shù)值。期間要注意，領(lǐng)導(dǎo)性生產(chǎn)廠商明確實(shí)際產(chǎn)量時，應(yīng)該掌握跟隨廠商的行動方案。所以，作為領(lǐng)導(dǎo)性生產(chǎn)廠商，必然會對實(shí)際產(chǎn)量、對跟隨廠商的影響進(jìn)行預(yù)估?；诖?，教師與學(xué)生應(yīng)該利用“微積分”中的“最值”概念，解決該數(shù)學(xué)模型問題，有利于幫助學(xué)生梳理問題求解思路。

（三）信息技術(shù)與設(shè)備在“微積分”課堂上的應(yīng)用

高職院校經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了信息技術(shù)的推廣、普及，采用多媒體設(shè)備和技術(shù)，在教學(xué)效果上也有非常顯著的優(yōu)勢[12]。采用現(xiàn)代化手段開展經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)，可以更加有條理地梳理教材內(nèi)容，加強(qiáng)“微積分”數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的邏輯性。同時，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)量也得到提升，學(xué)生可以獨(dú)立思考，拓寬“微積分”教學(xué)資料，選擇更具趣味性的內(nèi)容，降低“微積分”難度。教師在多媒體課件的幫助下，書寫板書也更加規(guī)范，以免“微積分”課堂教學(xué)出現(xiàn)偏差。

但多媒體設(shè)備在教學(xué)中得以應(yīng)用，還應(yīng)該進(jìn)一步加強(qiáng)規(guī)范性，明確教學(xué)任務(wù)之后，引入案例，傳統(tǒng)教學(xué)方法、信息技術(shù)得到結(jié)合，營造更加積極向上的教學(xué)環(huán)境。教師可以采用數(shù)形結(jié)合思想，制作“微積分”多媒體課件時，展示“微積分”課程核心思想，課件界面簡潔、內(nèi)容豐富、公式規(guī)范，還要與文科課程教學(xué)合理區(qū)分，注重“微積分”課程的邏輯性，鍛煉學(xué)生邏輯思維。除此之外，教師還應(yīng)該控制課件播放速度，確保學(xué)生掌握“微積分”教學(xué)知識點(diǎn)后才能夠開始后續(xù)的講解，并且要為學(xué)生預(yù)留出充足的思考時間。在現(xiàn)代化課件、傳統(tǒng)板書兩種形式的作用下，幫助學(xué)生理解經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”內(nèi)容。

四、結(jié)語

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)“微積分”教學(xué)思想、方法不斷創(chuàng)新，有利于轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)思維，認(rèn)識到“微積分”的邏輯性，在課堂上鍛煉邏輯性思維、創(chuàng)新思維，學(xué)會使用專業(yè)知識概念求解“微積分”問題，也有利于加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程實(shí)效性，滿足高職院校教學(xué)改革要求，也可以培養(yǎng)學(xué)生“微積分”問題求解能力、專業(yè)知識實(shí)踐應(yīng)用能力。