高度差:解決最值問(wèn)題的一個(gè)傳奇

杭州第十四中學(xué)(310006) 朱成萬(wàn)

近年來(lái),求函數(shù)的值域或最值,或者代數(shù)式的最值問(wèn)題,試題越來(lái)越靈活、越來(lái)越難,對(duì)學(xué)生的能力要求越來(lái)越高.所以透徹地理解問(wèn)題本質(zhì),合理選擇解題方法和解題工具顯得尤為重要,選擇不恰當(dāng),費(fèi)時(shí)、費(fèi)力,且不得要領(lǐng).

本文將探討用“高度差”破解最值問(wèn)題,這是借助函數(shù)圖象,從形的角度解題,能減少運(yùn)算量,直入問(wèn)題核心,使題目變得簡(jiǎn)單易懂.下面以近幾年的學(xué)考題、高考題和競(jìng)賽題為例,闡述“高度差”在解題中的妙用.

一、學(xué)考題難,思路何在

例1(2016年浙江省學(xué)考第18 題) 設(shè)函數(shù)f(x) =,x ∈[1,2](a,b ∈R).若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b,總存在x0∈[1,2],使得f(x0) ≤m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

本題中f(x) 是含參數(shù)的絕對(duì)值函數(shù),涉及到任意和存在問(wèn)題,需先求x ∈[1,2] 時(shí)f(x) 的最大值M(a,b),進(jìn)而求a >0,b ∈R 時(shí)M(a,b) 的最小值,即這是一道綜合性強(qiáng)、難度較大的題目.

思路一:分類(lèi)討論

令u(x) =?ax ?b(a >0),則u(x) 在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.它的圖象可能出現(xiàn)三種情形:在圖1 中M(a,b) =u(1); 在圖2 中M(a,b) =u(2); 在圖3 中,由于對(duì)u(x)圖象進(jìn)行翻折之后,f(x)的最大值在x= 1 或2處取到,所以需對(duì)兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較,再次分類(lèi)討論(討論略).

圖1

圖2

圖3

求出f(x)的最大值M(a,b)后,再將a,b作為變量,求M(a,b)的最小值(解法略).顯然,這種方法運(yùn)算量大,費(fèi)時(shí)、費(fèi)力,在學(xué)考有限時(shí)間內(nèi)難以完成.

思路二:絕對(duì)值三角不等式

從思路一的討論可知,f(x)的最大值只能在x= 1 或x=2 處取到,則

這種方法技巧性強(qiáng),對(duì)學(xué)生的能力要求較高,有的學(xué)生即使進(jìn)行了大量的訓(xùn)練,也不一定能掌握.

思路三:高度差

構(gòu)造函數(shù)g(x) =,h(x) =ax+b,則f(x) =|g(x)?h(x)|.如圖4 所示,f(x) 的幾何意義是對(duì)于每個(gè)x來(lái)說(shuō),函數(shù)g(x)和h(x)圖象上兩點(diǎn)之間縱坐標(biāo)的差距,即縱向距離,也稱(chēng)“高度差”.

圖4

直線h(x) 的兩個(gè)參數(shù)a,b都在變化,b的變化表示直線可上下平移,a的變化表示直線可旋轉(zhuǎn).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,顯然當(dāng)a趨向于0 時(shí),即h(x) 處于圖5 所示的位置時(shí),最大高度差就是g(x) 最大值與最小值之差的一半,即

圖5

例2(2015年浙江省學(xué)考第34 題) 設(shè)函數(shù)f(x) =若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4],使得f(x0)≤m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

類(lèi)同例1 的分析,該題也可轉(zhuǎn)化為求m≤則f(x)的幾何意義是函數(shù)g(x)和h(x)最大高度差的最小值.

如圖6 所示,直線OA的方程是平行于OA且與g(x)相切的直線BC的方程是則兩條平行線OA與BC正中間的那條平行直線就是使得最大高度差達(dá)到最小的直線h(x).此時(shí),最大高度差為兩條平行線OA與BC縱截距之差的一半,故

圖6

二、高考?？?一脈相承

用“高度差解決有關(guān)最值問(wèn)題的方法,在高考中也經(jīng)常出現(xiàn),下舉幾例.

例3(2008年高考浙江卷第15 題)已知t為常數(shù),函數(shù)y=｜x2?2x ?t｜在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,則t=____.

分析把函數(shù)表達(dá)式化為y=｜(x ?1)2?(t+1)｜,其幾何意義為函數(shù)y= (x ?1)2,x ∈[0,3] 圖象上任一點(diǎn)到y(tǒng)=t+ 1 的“高度差”,如圖7 所示,滿足= 2 的t+ 1 只能等于2,所以t=1.

圖7

例4(2017年高考浙江卷第17 題) 已知a ∈R,函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5,則a的取值范圍是____.

分析f(x) 在區(qū)間[1,4] 上的最大值是5,即令u(x) =|x+?a|,則其幾何意義是曲線y=x+與直線y=a的高度差.如圖8 所示,函數(shù)y=x+在區(qū)間[1,4]上是平口單峰函數(shù),它與直線y=a最大高度差的最小值為此時(shí)a=時(shí),,所以a≤

圖8

圖9

例5(2019年高考浙江卷第16 題) 已知a ∈R,函數(shù)f(x) =ax3?x,若存在t ∈R,使得|f(t+2)?f(t)|≤則實(shí)數(shù)a的最大值是____.

解法1f(t+2)?f(t)=a(t+2)3?(t+2)?(at3?t)=2a(3t2+6t+4)?2,由題意得|3at2+6at+4a ?1|≤即

令g(t) = 3at2+6at,h(t) = 1?4a,則①的幾何意義是函數(shù)y=g(t)圖象上存在一點(diǎn)到y(tǒng)= 1?4a的“高度差”的絕對(duì)值的最小值為當(dāng)函數(shù)g(t)與h(t)的圖象相交時(shí),顯然成立;當(dāng)函數(shù)g(t)與h(t)的圖象不相交時(shí),如圖9 所示,顯然當(dāng)t=?1 時(shí)符合題意,即|?3a ?(1?4a)|≤解得

解法2f(t+2)看作是f(t)的圖象往左平移兩個(gè)單位,則|f(t+2)?f(t)|可看作y=f(t+2)與y=f(t)的高度差.

若函數(shù)圖象相交,如圖10 所示,則高度差最小值為0,符合; 若函數(shù)圖象不相交,如圖11 所示,要使在x=t處“高度差”最小,則兩曲線在x=t處的切線平行,即f′(t+2)=f′(t),則3at2?1=3a(t+2)3?1,解得t=?1,所以|f(1)?f(?1)|≤

圖10

圖11

三、競(jìng)賽參和,方法雷同

這類(lèi)試題不僅在學(xué)考、高考中出現(xiàn),在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也經(jīng)常出現(xiàn),解題方法與前述是一致的.這同時(shí)也說(shuō)明了,這類(lèi)題型是一個(gè)常見(jiàn)的題型,有研究的價(jià)值.

例6(2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第9 題) 函數(shù)f(x) =ax3+bx2+cx+d(a ?=0),當(dāng)0 ≤x≤1 時(shí),|f′(x)|≤1,試求a的最大值.

解由題知f′(x) = 3ax2+2bx+c,不妨設(shè)a >0,令g(x) = 3ax2,h(x) =?2bx ?c,則f′(x) =g(x)?h(x),它的幾何意義是g(x) 與h(x) 的高度差,如圖12 所示.直線OA方程:y= 3ax,與OA平行且與g(x)切于B點(diǎn)的直線方程:y= 3ax ?兩者最大高度差的最小值為所以所以a的最大值為

圖12

例7(2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第9 題) 設(shè)k,m為實(shí)數(shù),不等式|x2?kx ?m|≤1 對(duì)所有x ∈[a,b]成立,證明:

解設(shè)f(x)=|x2?(kx+m)|,則f(x)表示函數(shù)y=x2與y=kx+m的高度差,由題知,如圖13 所示,直線AB的方程為y=(a+b)x?ab,與AB平行且過(guò)點(diǎn)C的切線方程為y= (a+b)x ?所以最大高度差的最小值為故只需,所以b ?a≤

圖13

四、追本求源,最佳逼近

利用“高度差”解決此類(lèi)函數(shù)最值問(wèn)題,它的根源是切比雪夫最佳直線逼近原理.設(shè)函數(shù)f(x) =|g(x)?(ax+b)|(a,b ∈R)在區(qū)間[m,n]上的最大值的最小值為T(mén),其中g(shù)(x)是在[m,n]上的連續(xù)單峰函數(shù).則:

(1) 若g(m) =g(n),設(shè)g(x) 的最值點(diǎn)為x0,則T=當(dāng)a= 0,b=時(shí)取到最大值的最小值,前述例1,例3,例4 就是這種情況.

(2)g(m)?=g(n),設(shè)過(guò)A(m,g(m)),B(n,g(n))兩點(diǎn)的直線方程為:y=kx+b1,與g(x)相切且平行AB的直線方程為:y=kx+b2,則T=當(dāng)a=k,b=時(shí)取到最大值的最小值.前述例2,例6,例7 就是這種情況.

五、平時(shí)練習(xí),變式拓展

上述用高度差解決的是“最大值的最小值”問(wèn)題,典型特征是帶有絕對(duì)值,即函數(shù)f(x)可以表示為|g(x)?(ax+b)|.實(shí)際上,高度差并不局限于上述題型,它有著廣泛的應(yīng)用.任何一個(gè)函數(shù)都可以表述成兩個(gè)函數(shù)之差,即f(x) =g(x)?h(x),所以任意一個(gè)函數(shù)f(x) 都可以看作是兩函數(shù)g(x)與h(x)的高度差.

例8求函數(shù)f(x)=x+的值域.

分析函數(shù)f(x) =可看成是曲線與直線y=x的高度差,如圖14 所示.當(dāng)時(shí),高度差的最小值為故值域?yàn)?/p>

圖14

例9(2020年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第23 題) 已知函數(shù)f(x)=｜x ?a2｜+|x ?2a+1|.

(1)當(dāng)a=2 時(shí),求不等式f(x)≤4 的解集;

(2)若f(x)≤4,求a的取值范圍.

解令g(x) =｜x ?a2｜,h(x) =?|x ?2a+1|,則f(x)的幾何意義就是函數(shù)g(x)和h(x)圖象上兩點(diǎn)之高度差.

(1)由圖15 知,當(dāng)x≤或x≤時(shí),高度差f(x) ≤4.

圖15

(2)由圖16 知,要使高度差f(x) ≤4,則需a2?(2a ?1)≤4,解得a≤?1 或a≤3.

圖16

六、題后反思,至精至簡(jiǎn)

高考真題是專(zhuān)家們精心研究之成果,學(xué)考題、競(jìng)賽題也是如此.它所承載的思想方法和核心素養(yǎng)深厚,對(duì)教學(xué)有引領(lǐng)作用,解題思路的獲得,問(wèn)題本質(zhì)的理解,與學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)息息相關(guān).本文用“高度差”解答學(xué)考、高考、競(jìng)賽題,是從形的角度入手,以形馭數(shù),能提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,提升直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的本質(zhì)都是“精簡(jiǎn)樸實(shí)的,它們的根源都是自然而富有直觀的內(nèi)涵.”高考、學(xué)考、競(jìng)賽題目也是如此,表面看紛繁蕪雜,但內(nèi)核的東西卻簡(jiǎn)約明了.用“高度差”解決最值問(wèn)題,直觀形象,直入問(wèn)題核心,至精至簡(jiǎn).本文的“多題一解”,旨在幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué),優(yōu)化解題方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在的價(jià)值,以數(shù)學(xué)的方式立德樹(shù)人.