滾輪曲線的等時性證明及其在物理問題中的應用

王 磊 陳建文

（1.盤錦市高級中學，遼寧 盤錦 124010 2.盤錦市遼東灣實驗高級中學，遼寧 盤錦 124010）

1 滾輪曲線

單擺模型是高中物理經(jīng)典的物理模型之一，當單擺的擺角很小時，我們認為單擺的擺動周期是一個定值，這個周期與擺角無關只與擺長有關.對單擺研究最深入的科學家是惠更斯，但最初發(fā)現(xiàn)單擺擺角很小擺動周期不變的科學家是伽利略，伽利略是一位偉大的科學家的同時也是一位虔誠的天主教徒，有一次伽利略在教堂禮拜時，發(fā)現(xiàn)教堂穹頂?shù)牡鯚粼跀[動，善于發(fā)現(xiàn)問題的伽利略敏銳地覺察到，雖然擺動的幅度在改變，但來回擺動的時間卻是相同的，于是伽利略一邊摸著自己的脈搏一邊觀察這吊燈的擺動，果然驗證了自己的想法，后來惠更斯還根據(jù)單擺的等時性發(fā)明了單擺時鐘.但是單擺的周期是與擺角嚴格的沒有關系么.顯然不是，在中學物理課上，教師推導單擺周期公式需要用到sinθ≈tanθ≈θ在角度很小時的近似相等，可見單擺的周期在角度變化時是有微小的差別的.那么有沒有一種擺動的周期是嚴格相等，與擺角或振幅無關的呢？

惠更斯在研究單擺問題時也思考了同樣的問題，并且他得到了答案，答案的靈感來源于數(shù)學上的一種有名的曲線——滾輪曲線.我們先看何為滾輪曲線？輪子在水平面上做無摩擦的滾動，輪子邊緣一點的運動軌跡即為滾輪曲線.滾輪曲線既不是圓也不是橢圓，而是獨立于圓錐曲線之外的一種新型曲線.

圖1

以輪子邊緣一點在最低點處為原點，建立直角坐標系，該點的軌跡方程為x=Rθ-R sinθ；y=R-R cosθ.該軌跡與輪子的轉(zhuǎn)動快慢并無關系.軌跡方程只由輪子半徑?jīng)Q定.［1］

圖2

2 滾輪曲線的等時性證明

以豎直向下為正方向，半徑為R的輪沿x軸滾動，以其邊緣某一點的運動軌跡曲線為一小球的滾動軌道.軌道光滑，設小球的出發(fā)點為軌道上任意一點A，A點對應滾輪轉(zhuǎn)過的角度為θ0，［2］滾輪滾動到x軸的P點.經(jīng)過時間t小球滑動到該滾輪線的B點，B點對應滾輪轉(zhuǎn)過的角度為θ，滾輪沿x軸滾動到Q點.從滾輪線角度研究小球在B點的線速度v有該速度v與滾輪線相切.把小球在B點的運動視為滾輪沿x軸滾動到Q點時B點處滾輪邊緣的運動.可知該運動可視為Q位置時滾輪圓心C的速度v0與B點處滾輪邊緣相對于圓心的速度的合成.由于C繞Q瞬間角速度與B處輪緣繞C瞬間角速度相同，故B點處滾輪邊緣相對于圓心的速度大小也是v0.設v與圓心C速度v0的夾角為α，根據(jù)幾何知識可得2α=π-θ，且有重力作用下小球沿滾輪曲線運動的切向加速度aτ=g sinα，故有

圖3

由（6）式可以看出，在光滑滾輪曲線上來回滑動小球的運動周期只與滾輪曲線的滾輪半徑有關，與初始位置無關，故滾輪曲線又稱為等時曲線或等時擺線.

3 滾輪曲線在物理問題中的應用

例1.在不同的高度上有O、D兩點，O、D兩點連線長為l，與水平方向夾角為φ，在O、D兩點間建立一條光滑軌道使小球從O在重力作用下沿軌道自由滑下，求能使小球滑到D點的最短時間和相應的軌道形狀.

圖4

而以O點為坐標原點，豎直向下為y軸建立坐標系下的某一半徑為R，起點為O的滾輪曲線即能滿足上述軌道條件.

根據(jù)（3）式，從O點釋放的小球滑到對應滾輪轉(zhuǎn)過圓心角為θ處的速度為

速度v方向與豎直方向夾角i，結合圖3，圖5可得，故有為定值，故對比光學費馬原理可知該半徑R的滾輪曲線即為O、D兩點間用時最短的軌道.從O點釋放小球，（6）式θ0=0變?yōu)?/p>

圖5

例2.一帶電量為+q的粒子處在豎直向下電場強度為E的勻強電場和垂直紙面向里的磁感應強度為B的勻強磁場中，靜止釋放該電荷，求電荷的運動軌跡.

圖6