解三角形中的“圓”問題

廣東省佛山市羅定邦中學(xué) 龍 宇 528300

在解三角形問題中，常常隱含了很多“圓”的信息，除了常見的外接圓外，還有阿波羅尼斯圓以及米勒圓等等.筆者對這些“圓”問題進(jìn)行了梳理，以饗讀者.

1 三角形的外接圓

1.1 如何構(gòu)造外接圓

在初中階段，我們便熟悉定理：在圓中，直徑所對的圓周角為直角.逆向運(yùn)用該定理，可發(fā)現(xiàn)在直角三角形中，當(dāng)斜邊長固定時，斜邊所對的頂點的軌跡為一個圓（去掉兩個點）.推廣該定理，在△ABC中，角A,B,C所對的邊為a,b,c，若邊a及角A為定值，則點A的軌跡為一段圓弧，特別地，當(dāng)A=90°時，對應(yīng)的軌跡為圓（去掉兩個端點）.

圖1

當(dāng)A為銳角時，則對應(yīng)的軌跡為劣弧BC，特別地，當(dāng)A=90°時，對應(yīng)的軌跡為圓（去掉兩個端點）.

1.2 利用外接圓解題舉例

圖2

在本題中出現(xiàn)了明顯的定角與定邊，所以容易聯(lián)想到外接圓.而有些解三角形問題中卻沒有明確地給出相應(yīng)的條件，需要答題者結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化條件才能發(fā)現(xiàn)外接圓，具體如下例：

例2（2020屆廣東省文科數(shù)學(xué)模擬試題（一）11）在△ABC中，已知A=60°，D是邊BC上一點，且BD=2DC，AD=2，則△ABC面積的最大值為（）.

分析：在本題所涉及到的△ABC中，已知一個角以及該角對邊上的三等分線.除了類比極化恒等式的解法外，能否通過軌跡的思想進(jìn)行求解呢？

解析：如圖3，過點B作AC的平行線與AD的延長線交于點E.可得∠ABE=120°，結(jié)合三角形相似可得DE=2AD=4.

圖3

2 阿波羅尼斯圓

圖4

3 米勒圓

3.1 米勒問題以及米勒圓簡介

米勒問題：早在1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出如下問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？

歷史上的米勒問題所涉及的范圍是三維空間，本文僅討論二維平面內(nèi)的情況，簡化后的米勒問題如下：

問題一：如圖5，在平面坐標(biāo)系中，點A,B的坐標(biāo)為(0，a)，(0,b)，其中b＞a＞0.在橫坐標(biāo)軸上求得一點P，使得∠APB取到最大值.

圖5

問題二：如圖6，設(shè)OA與OP的夾角為θ，OA=a,OB=b，在OP上求得一點P，使得∠APB取到最大值.

圖6

猜想：仿照上問，當(dāng)OP=ab時，∠APB取到最大值.

證明：根據(jù)圓的切割線定理，若OP2=OA·OB.過點A,B,P的圓與射線OP相切.據(jù)此作出過這三點的輔助圓.如圖7，在OP上除點P外的任意一點P′，連接AP′,BP′.∵點P是切點，∴AP′與圓相交于點P″，連接BP″，根據(jù)圓周角定理∠APB=∠AP″B.而∠AP″B＞∠AP′B.∴點P是使得∠APB取到最大值的點.該夾角的具體值，可利用余弦定理求得，但表述較為復(fù)雜，本文不再介紹.

圖7

在問題二中涉及到的輔助圓被稱之為米勒圓，即為幫助我們求得最優(yōu)解的輔助圓.3.2利用米勒圓解題舉例

例4已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，a=2.若b2-c2=8，當(dāng)角A取到最大值時，求△ABC的面積.

分析：本題可通過余弦定理以及基本不等式進(jìn)行求解，但不能揭露出該問題的本質(zhì).根據(jù)條件固定點B,C，考慮點A的軌跡.可以發(fā)現(xiàn)點A的軌跡為一條直線（去掉一個點），由此可知該問題的背景為米勒問題.

解析：如圖8，以點B,C所在直線為x軸，BC線段的中點O為原點建立直角坐標(biāo)系.可得點B,C的坐標(biāo)分別為：(-1,0)，(1,0).設(shè)點A的坐標(biāo)為(x,y).根據(jù)題干條件b2-c2=8，化簡可得點A的軌跡為：x=-2（y≠0）.原問題轉(zhuǎn)換為在直線x=-2上找一個點A使得該點對BC的張角達(dá)到最大值，并求得此時對應(yīng)的△ABC的面積.根據(jù)上文中米勒圓的背景可知：如圖9，當(dāng)點A為對應(yīng)的米勒圓與直線x=-2的切點時，點A對BC的張角（即角A）達(dá)到最大值.結(jié)合平面幾何的知識可知此時△ABC的面積為：3.

圖8

圖9

4 一般的圓

在一些解三角形問題中，可能沒有出現(xiàn)明顯的幾何特征顯示出圓，但只要我們使用軌跡的思想思考問題，會發(fā)現(xiàn)一些隱藏的“圓”.

例5在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC=5，BD⊥BC，BD=2BC，求AD的最小值.

分析：本題可用的解法較多，利用正、余弦定理求解難度較大，且不夠直觀.利用軌跡的思想則可以清晰的理解各個條件的意義.

解析：利用軌跡法求解的第一個難點在于坐標(biāo)系的建立，本題中有BD⊥BC，容易想到

圖10

圖11

總之，在解三角形的相關(guān)問題中，除了利用方程的思想根據(jù)正、余弦定理求解外，我們還可以挖掘其內(nèi)涵的幾何特征.在本文中，筆者主要研究了三角形中所暗含的“圓”的性質(zhì)，同理，是否有和橢圓、拋物線、雙曲線相關(guān)的問題呢？請讀者朋友們繼續(xù)研究.