HPM視角下深度學(xué)習(xí)課例開(kāi)發(fā)
——以點(diǎn)到直線距離公式再證明為例

甘肅天水市一中 (741000) 文貴雙

淺層學(xué)習(xí)以知識(shí)獲取和記憶訓(xùn)練為主要特征，學(xué)習(xí)處于相對(duì)較低的認(rèn)知水平；深度學(xué)習(xí)則以知識(shí)深度加工、意義建構(gòu)和深度思維為主要特征，以理解、應(yīng)用、分析、推理、綜合、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高層次認(rèn)知活動(dòng)為主要學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)習(xí)處于高認(rèn)知水平.深度學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)的、探究式的、有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程，是深入內(nèi)容本質(zhì)的概念理解、知識(shí)探究、問(wèn)題解決等相對(duì)復(fù)雜的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生能夠?qū)W(xué)到的知識(shí)遷移與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深層加工、深刻理解以及長(zhǎng)久保持，并實(shí)現(xiàn)“高層次認(rèn)知能力”和“高階思維”的發(fā)展，促進(jìn)深刻理解的同時(shí)幫助他們把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心與聯(lián)系.

怎樣讓學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)的狀態(tài)？郭華教授認(rèn)為，在教師引領(lǐng)下，教學(xué)中圍繞具有挑戰(zhàn)性的主題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞學(xué)習(xí)內(nèi)容深入思考、積極對(duì)話，表達(dá)與展示自己的思維過(guò)程，形成深層次的認(rèn)知參與和積極的情感體驗(yàn).而挑戰(zhàn)性的主題哪里來(lái)？HPM案例就是深度學(xué)習(xí)的好素材.

HPM(數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育)中的歷史發(fā)生法就是通過(guò)數(shù)學(xué)史料的研究,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)思維的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，為解決數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供歷史的借鑒和支持.因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)知識(shí)都是人類數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)不斷建構(gòu)的結(jié)果，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從直觀到抽象，從經(jīng)驗(yàn)概括到形式構(gòu)造，經(jīng)歷漫長(zhǎng)的歷史過(guò)程，這是數(shù)學(xué)家或幾代數(shù)學(xué)家獨(dú)特而深邃的高級(jí)思維方式的成果.他們的高級(jí)思維過(guò)程是學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)的典范，他們的思維通過(guò)教師的加工處理來(lái)示范引導(dǎo)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).本人在高三復(fù)習(xí)交流會(huì)上上了一節(jié)“點(diǎn)到直線距離公式的再證明”的觀摩課，示范借力HPM來(lái)引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，引起大家的熱評(píng).

1 課堂實(shí)錄

師：我們?cè)诟咭粚W(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式，由于當(dāng)時(shí)受到所學(xué)知識(shí)的限制，該定理的證明方法單一，現(xiàn)在我們已經(jīng)學(xué)完了高中數(shù)學(xué)全部?jī)?nèi)容，掌握了許多工具，今天我們?cè)僮C“點(diǎn)到直線的距離公式”，公式如下：

1.1 再現(xiàn)教材公式的推導(dǎo)過(guò)程

圖1

哪位同學(xué)得到啟發(fā)？

圖2

師：19世紀(jì)末，英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰斯頓(W.J.ohnston)，將點(diǎn)線距離轉(zhuǎn)化成三角形的高，其證明和上面證法一樣.下面我們從不同的視角探討其他證法.

1.2 多視角尋找證法，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

圖3

生：我有一個(gè)不需求Q的坐標(biāo)的證法.

師：不錯(cuò)，回到點(diǎn)線距離的定義，配湊出目標(biāo).19世紀(jì)的英國(guó)數(shù)學(xué)家楊格(J.R.Young)是從方程組中解出(x1-x0),(y1-y0)，代入距離公式得到公式.到了20世紀(jì)，有人在楊格的基礎(chǔ)上采用設(shè)而不求的方法，將方程組兩邊平方，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算，和本解法一樣.

生：類比斜面上物體受力分析圖，本題作如圖4的圖形，直角△PQM中，∠QPM等于直線的傾斜角或其補(bǔ)角.

圖4

師：這個(gè)證明與19世紀(jì)英國(guó)著名數(shù)學(xué)家托德亨特(I.Todhunter)證法一樣，真是英雄所見(jiàn)略同.

生：受到空間向量求點(diǎn)到面距離的啟發(fā)，可以用向量證明.

師：20世紀(jì)40年代，向量知識(shí)逐漸出現(xiàn)在西方教科書中，教科書的編者給出了這樣的證法.

生：由于點(diǎn)P到直線l的距離是點(diǎn)P到直線l上任意一點(diǎn)距離的最小值，故可以得出目標(biāo)函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求得點(diǎn)P到直線l的距離公式，但推導(dǎo)比較復(fù)雜.

師：想法自然，但運(yùn)算復(fù)雜.把展示的機(jī)會(huì)留給老師啊，老師提供如下證法：

20世紀(jì)，美國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒(A.E.Taylor)在其《微積分與解析幾何》著作中提供上述證法.抓住距離概念的本質(zhì)，巧用柯西不等式是難點(diǎn).

星移物換，穿過(guò)浩渺的時(shí)空，發(fā)現(xiàn)古代數(shù)學(xué)家們的證法與我們的相同，為同學(xué)們的聰明才智點(diǎn)贊.

2 結(jié)語(yǔ)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，定理教學(xué)的意義不僅在于學(xué)生掌握“書本知識(shí)”，更重要的是讓他們從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)定理的心路歷程，通過(guò)典型問(wèn)題的設(shè)置和學(xué)生的探索，使學(xué)生理解定理逐步形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡．然而實(shí)際教學(xué)中，教師通常為了擠出時(shí)間多做練習(xí)，“輕松”地給出定理，學(xué)生失去了“自主探索定理產(chǎn)生的背景及蘊(yùn)含的思想，親身經(jīng)歷定理的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程”，失去了“深刻體驗(yàn)、直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括、歸納類比、反思與建構(gòu)等思維歷程”，失去了提升學(xué)生核心素養(yǎng)的大好時(shí)機(jī).加之，學(xué)生學(xué)習(xí)受內(nèi)容的制約，后續(xù)學(xué)習(xí)的方法用不到定理的證明中，這就需要我們?cè)谇‘?dāng)?shù)臅r(shí)間點(diǎn)，把定理放在更大的系統(tǒng)中，根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的不斷深入，對(duì)定理(公式)二度認(rèn)識(shí)，從不同的角度推導(dǎo)證明.本節(jié)課所有的證法只要教師啟發(fā)得當(dāng)，學(xué)生全身心投入探究，大家合作交流都能發(fā)現(xiàn)，教師不失時(shí)機(jī)說(shuō)明這是歷史上那位數(shù)學(xué)家的證法，并對(duì)學(xué)生贊揚(yáng)，使學(xué)生產(chǎn)生成果的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣.這正是華東師大汪曉勤教授提出的，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)六種教育價(jià)值：知識(shí)之諧、方法之美、探究之樂(lè)、能力之助、德育之效、文化之魅.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史學(xué)家M·克萊因認(rèn)為，歷史上數(shù)學(xué)家遇到的困難和挫折，課堂上同樣學(xué)生也會(huì)遇到，因而歷史對(duì)于課堂教學(xué)具有借鑒和指導(dǎo)作用.教材往往按照數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯體系進(jìn)行編寫，而這種邏輯體系下的知識(shí)呈現(xiàn)與知識(shí)的歷史真實(shí)發(fā)生過(guò)程往往不一樣,在這樣的過(guò)程中學(xué)生很難體會(huì)到數(shù)學(xué)家的思維歷程，學(xué)生的思維完全被老師的講解所代替，學(xué)生的認(rèn)知是低水平，思維得不到最大的優(yōu)化，因此，在教學(xué)中我們可以適當(dāng)借用HPM案例展示數(shù)學(xué)家如何思考問(wèn)題，在遇到困難時(shí)如何選用合適的思維方式解決問(wèn)題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)家的卓越智慧，學(xué)習(xí)他們研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維方式方法.