巧構(gòu)“輔助圓”，妙解“最值”問題

文 殷 娟

許多同學(xué)在圓的學(xué)習(xí)中都會通過添加垂線段、連半徑、連直徑等進(jìn)行解題，但在解決一些較難問題時(shí)，上述方法就起不了多少作用。而有時(shí)在圖形中構(gòu)造圓能獲得意想不到的效果。下面就以幾道例題和同學(xué)們一起分析如何用“輔助圓”來求解“最值”問題。

一、折疊問題中的輔助圓

例1（2019·江蘇宜興一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D是BC邊上的三等分點(diǎn)，BD=2CD，E為AB邊上一動點(diǎn)。將△DBE沿DE折疊到△DB′E的位置，連接AB′，則線段AB′的最小值是____。

圖1

【解析】△DBE在折疊的過程中，滿足DB=DB′，即點(diǎn)B′始終是在以點(diǎn)D為圓心，DB長為半徑的圓上運(yùn)動（如圖2）。點(diǎn)A是圓外一點(diǎn)，由圖1 可以看到AB′要取到最小值，則點(diǎn)A、B′、D必須共線。在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得，則AB′的最小值為AD-DB′。

圖2

【總結(jié)】折疊圖形有“共端點(diǎn)、等線段”的特征，滿足圓的定義。利用這一特征構(gòu)造“輔助圓”，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理便能很快找到對應(yīng)線段的最值。

二、直角三角形中的輔助圓

例2（2017·江蘇江陰一模）如圖3，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍為____。

圖3

【解析】由∠APB為“直角”這個(gè)特征，聯(lián)想到90°角所對的弦是直徑，可以構(gòu)造經(jīng)過A、B、P三點(diǎn)的⊙M（如圖4），半徑為1。點(diǎn)P在⊙M上運(yùn)動，PC的長度也隨之不斷變化。我們在運(yùn)動中不難發(fā)現(xiàn)PC所在的直線經(jīng)過圓心M時(shí)，可以取到最大或最小值。圖4 中，；圖5 中，PCmax=MC+MP。

圖4

圖5

【總結(jié)】直角三角形中，“定斜邊、動直角頂點(diǎn)”的特征，滿足90°的圓周角所對的弦是直徑。以定斜邊為直徑構(gòu)造圓能解決線段的最值問題。

三、定弦、定角中的輔助圓

例3（2020·江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)一模）如圖6，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC=120°，則的最小值是________。

【解析】∠BDC=120°，BC為等邊△ABC的一條邊，如圖7 可以構(gòu)造經(jīng)過B、D、C三點(diǎn)的⊙O。要求的值，從結(jié)構(gòu)上來看，我們多半采用相似三角形中對應(yīng)線段的比值來進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。延長AD與圓相交于點(diǎn)E，連BE（如圖8），易知△ABD∽△AEB，故即。如圖9 可知，當(dāng)BE為直徑時(shí)，在Rt△ABE中易求得。

圖7

圖8

圖9

【總結(jié)】“定角、定線段”的結(jié)構(gòu)特征可以與圓中“定角、定弦長”聯(lián)系起來。

很多幾何問題雖然看上去與圓無關(guān)，但是我們?nèi)绻芙Y(jié)合條件補(bǔ)作“輔助圓”，便可使一些“最值”問題化繁為簡，化難為易。