雙邊剛性約束非光滑雙擺的碰撞周期解

郭秀英　張剛　田瑞蘭

摘要： 構(gòu)建雙邊對稱剛性約束的非光滑雙擺模型，研究簡諧激勵作用下該系統(tǒng)的碰撞周期解及其存在條件。應(yīng)用模態(tài)分析法，引入矩陣?yán)碚?，?gòu)造恰當(dāng)?shù)目赡孀儞Q矩陣，在理論上計算出物理參數(shù)和碰撞恢復(fù)系數(shù)的取值范圍，并給出雙碰周期解的解析表達(dá)式。在理論結(jié)果的基礎(chǔ)上，利用碰撞恢復(fù)矩陣作為銜接條件，采用理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，分析系統(tǒng)小角度運動的碰撞周期解。

關(guān)鍵詞： 非線性振動; 非光滑雙擺; 碰撞周期解; 對稱剛性約束; 恢復(fù)系數(shù)

中圖分類號： O322; O29??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號： 1004-4523（2021）01-0185-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.021

引? 言

近幾年，隨著機器人技術(shù)的發(fā)展，機械臂設(shè)計和動力學(xué)行為研究成為機器人技術(shù)的重要研究課題。如何構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型模擬機械臂的運動是理論研究的重點^[1?2]。物理雙擺是傳統(tǒng)的高維非線性系統(tǒng)，具有豐富的非線性動力學(xué)行為^[3?4]。大量的研究結(jié)果表明，雙擺可以模擬機械臂的運動模式。實際上，隨著機械臂的動作細(xì)化和外置驅(qū)動的安裝要求，需要考慮機械臂鏈接處的縫隙和阻尼，還需要考慮外置驅(qū)動的類型和安裝方式。因此，可以將機械臂簡化為有外置簡諧激勵的碰撞雙擺。研究這類碰撞雙擺的周期運動，可從理論上為機械臂的設(shè)計提供合適的物理參數(shù)和幾何參數(shù)，提高機械臂的應(yīng)用舒適度、使用安全性，延長其使用壽命。

目前，關(guān)于碰撞擺類系統(tǒng)的研究集中在數(shù)值模擬和低維系統(tǒng)的解析法研究^[5?9]。文[5?6]開展了碰撞單擺系統(tǒng)的次諧分叉和混沌判據(jù)的解析方法推廣研究。文[7]研究了單自由度非線性振子的諧波、亞諧波和混沌運動。文[8?9]研究了一類具有對稱約束或?qū)ΨQ碰撞的非光滑系統(tǒng)的周期運動和動力學(xué)行為。而針對高維非光滑、不連續(xù)系統(tǒng)，解析法的研究結(jié)果迄今為止仍鮮為人知。主要通過數(shù)值模擬和實驗觀察物理參數(shù)和碰撞對系統(tǒng)的影響，研究高維非光滑系統(tǒng)的分叉和混沌現(xiàn)象^[10?14]。文[14]建立了一類具有對稱剛性約束的三自由度碰撞振動系統(tǒng)的Poincaré映射，研究了一類三自由度含間隙雙面碰撞振動系統(tǒng)Poincaré 映射的叉式分岔的反控制問題。盡管針對非光滑擺研究周期解有了一定的研究，但是周期解的解析表達(dá)式十分繁雜，很難應(yīng)用于工程實際，且周期解存在的條件表達(dá)式也很難推廣到高維非光滑雙擺系統(tǒng)。進(jìn)一步地，在非光滑雙擺周期解的研究中均未涉及兩個自由度都發(fā)生碰撞的工況。

本文以基座受簡諧激勵的鉸鏈鏈接雙擺為基礎(chǔ)，構(gòu)建雙邊對稱約束的非光滑雙擺模型，研究兩個自由度多點碰撞周期解的類型，利用矩陣?yán)碚?sup>[^15?16]，引進(jìn)可逆變換，討論碰撞周期解存在的理論條件和碰撞周期解的解析表達(dá)式，并利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬和驗證。

1 碰撞雙擺模型和運動方程

4 結(jié)? 論

碰撞雙擺有復(fù)雜的動力學(xué)行為，因其碰撞產(chǎn)生的非線性，多點碰撞情形的多樣性，一般很難得到其碰撞周期解的解析表達(dá)式。 本文針對水平激勵下的雙邊碰撞雙擺進(jìn)行建模和理論分析，利用模態(tài)疊加法和矩陣?yán)碚?，討論并推?dǎo)了系統(tǒng)小角度振動時雙邊雙碰周期解的存在條件和周期解析解表達(dá)式。 數(shù)值模擬表明，該方法可以較好的預(yù)測碰撞周期解的存在性。引進(jìn)矩陣工具，可以方便地計算出碰撞周期解的積分常數(shù)和存在條件，為求解高維系統(tǒng)的碰撞周期解提供了計算工具。針對其他類別的碰撞周期解只要找到合適的碰撞恢復(fù)矩陣，計算過程是類似的，為機械臂的研究和設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ)。為工程人員研究高維系統(tǒng)周期解提供理論指導(dǎo)。

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Abstract： A double pendulum model with bi-lateral rigid constraint is constructed under harmonic excitation. The impact periodic solution of a nonlinear dynamic system under harmonic excitation and its existence conditions are studied. Adopting the modal analysis and matrix theory， an invertible transformation is introduced to obtain the parameter conditions for the existence of the impact periodic solution of the system. On the basis of the theoretical calculation results， applying Matlab software， numerical simulation is carried out to obtain the impact periodic solution of the system with small angle motion， which verifies that the theoretical research results have certain theoretical guidance in engineering practice.

Key words： nonlinear vibration; non-smooth double pendulum; impact periodic solution; symmetric bilateral rigid constraint; coefficient of restitution

作者簡介： 郭秀英（1976?），女，講師。電話：（0311）87935502，18132660586;E-mail：guoxiuying4086@sina.com

通訊作者： 田瑞蘭（1977?），女，教授，博士生導(dǎo)師。電話：（0311）87936096，15511336389;E-mail：tianrl@stdu.edu.cn