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    電廠燃煤虛擬采樣及發(fā)熱量均值不確定度評定

    2021-06-04 07:58:22劉福國國欽光殷炳毅王守恩
    計量學(xué)報 2021年4期
    關(guān)鍵詞:概率密度發(fā)熱量正態(tài)分布

    劉福國 國欽光,殷炳毅,王守恩

    (1.國網(wǎng)山東省電力公司電力科學(xué)研究院,山東 濟南 250003;2.山東電力研究院,山東 濟南 250003;3.華電濰坊發(fā)電有限公司,山東 濰坊 261000)

    1 引 言

    檢測發(fā)電機組效率時,鍋爐燃煤發(fā)熱量還無法連續(xù)測量,只能通過采集入爐煤樣品,在實驗室化驗分析得到[1]。用少量樣品煤的化驗數(shù)據(jù)表示檢測周期內(nèi)入爐煤發(fā)熱量,其不確定性來自樣品采集和實驗室分析等2個環(huán)節(jié)[2],采樣環(huán)節(jié)引起的不確定度占95%以上[3]。文獻[4]研究了鍋爐采樣樣品煤發(fā)熱量的概率分布特性,對單個樣品發(fā)熱量的不確定度進行了評定。在實際生產(chǎn)中,機組效率常用供電煤耗表示,電廠日常供電煤耗檢測周期有時長達1個月、1個季度甚至1年。檢測周期內(nèi)的燃煤發(fā)熱量一般采用多個樣品煤發(fā)熱量的平均值[5]。因此,多次采樣樣品發(fā)熱量均值的不確定度評定對機組效率檢測具有重要意義。

    μx=μ

    (1)

    (2)

    當(dāng)總體N為正態(tài)分布或樣本容量n>30時,樣本均值的抽樣分布可作為正態(tài)分布,正態(tài)分布的參數(shù)μx、σx根據(jù)式(1)、式(2)計算,故可對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度進行評定。

    但當(dāng)總體N為非正態(tài)分布且樣本容量n<30時,樣本均值的抽樣分布為非正態(tài)分布,此時,如何對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度進行評定,是本文要解決的問題。

    2 虛擬采樣及發(fā)熱量均值不確定度

    非正態(tài)總體N通常來自實際采樣實驗,為已知數(shù)據(jù)。要對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度進行評定,首先獲取樣本均值的抽樣樣本,傳統(tǒng)方法[9]是從總體的N個發(fā)熱量中隨機抽取一個容量為n的樣本,計算該樣本均值,采用同樣方式進行多次抽樣,得到樣本均值的抽樣樣本,利用該樣本對均值的不確定度進行評定。從總體的N個發(fā)熱量中抽取容量為n的樣本,重復(fù)抽樣總計可得到Nn個樣本,因此樣本均值抽樣樣本的最大容量為Nn。

    獲得樣本均值的抽樣樣本的另一種方法是基于蒙特卡洛法[10,11]的隨機采樣實驗,與傳統(tǒng)抽樣方法相比,隨機采樣試驗獲得的虛擬樣本容量是任意的,采用隨機采樣試驗對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度進行評定的步驟為:

    (1) 計算總體N的發(fā)熱量概率密度。

    (2) 將總體N發(fā)熱量概率密度表示成多項式函數(shù)。

    (3) 建立虛擬采樣系統(tǒng)。按照總體N的概率密度產(chǎn)生隨機數(shù),作為虛擬采樣樣品的發(fā)熱量。這種利用給定概率密度函數(shù)進行隨機樣抽的系統(tǒng),看作是樣品發(fā)熱量的虛擬采樣系統(tǒng)。

    (4) 利用虛擬采樣系統(tǒng)進行n次采樣,得到n個虛擬樣品的發(fā)熱量數(shù)據(jù),計算發(fā)熱量的平均值,得到第1個發(fā)熱量均值;采用同樣的方法得到m個發(fā)熱量均值,作為發(fā)熱量均值的抽樣樣本。

    (5) 計算發(fā)熱量均值樣本的平均值、標準差及概率密度分布,在給定置信概率下求取包含系數(shù),得到n個樣品發(fā)熱量均值擴展不確定度。

    以某電廠鍋爐為例,對入爐煤發(fā)熱量均值不確定度進行評定。

    2.1 樣本N的獲得

    表1為某電廠2017年5~7月入爐煤實際采樣試驗樣本N,該樣本包含276個樣品煤的發(fā)熱量[12]。這些發(fā)熱量數(shù)據(jù)既包含實驗室化驗分析引起的不確定性,又包含采制樣本環(huán)節(jié)引起的不確定性。研究表明,實驗室分析環(huán)節(jié)引起的不確定度約為0.05 MJ/kg[13~15],而采制樣本環(huán)節(jié)引起的不確定度為0.5~2.5 MJ/kg[2,4,12]。因此,忽略實驗室分析環(huán)節(jié)的不確定度,可認為表1中發(fā)熱量數(shù)據(jù)的不確定性是由采制樣本引起的。利用表1的數(shù)據(jù)對n次采樣發(fā)熱量均值的不確定度進行評定。

    表1給出的樣本平均值μN=19.686 MJ/kg,標準差σN=0.933 MJ/kg。

    表1 總體樣本N的發(fā)熱量Tab.1 Calorific value of sample N MJ/kg

    2.2 樣本N的概率密度函數(shù)

    總樣本N中,發(fā)熱量最小值為16.894 MJ/kg,最大值為21.217 MJ/kg。將此區(qū)間等分成若干個子區(qū)間,統(tǒng)計每個子區(qū)間內(nèi)的樣品個數(shù),計算落入?yún)^(qū)間的概率,概率密度是概率的變化率。利用Matlab統(tǒng)計工具箱中的hist函數(shù)可以統(tǒng)計落入每個子區(qū)間內(nèi)的樣品數(shù),利用ksdensity函數(shù)可以對樣本N的概率密度進行核心平滑估計[16]。由圖1給出的通過區(qū)間統(tǒng)計得到的概率密度的直方圖以及概率密度平滑估計可以看出,樣本發(fā)熱量不服從正態(tài)分布。概率密度平滑估計結(jié)果可用8階多項式函數(shù)f表示為:

    圖1 總體樣本N的概率密度Fig.1 Probability density of population sample N

    (3)

    對于總體樣本N,式(3)所示的多項式函數(shù)由分段函數(shù)f1和f2組成,在不同區(qū)間上,函數(shù)f1和f2的系數(shù)見表2。

    表2 多項式函數(shù)f的系數(shù)Tab.2 Coefficient of polynomial function f

    2.3 虛擬采樣

    根據(jù)概率密度函數(shù)式(3),采用挑選抽樣方法產(chǎn)生發(fā)熱量樣本,這種方法由馮·諾依曼在1951年提出[17]。如圖2所示,當(dāng)已知概率密度函數(shù)f(Q)時,利用挑選抽樣法產(chǎn)生發(fā)熱量隨機數(shù)的主要步驟為:

    (1) 在發(fā)熱量取值區(qū)間[a,b]內(nèi),產(chǎn)生均勻隨機數(shù)Q。

    Q=(b-a)r1+a

    (4)

    式中:r1為區(qū)間[0,1]均勻隨機數(shù),r1∈[0,1]。

    (2) 在[0,fmax]區(qū)間內(nèi),產(chǎn)生均勻隨機數(shù)f。

    f=r2fmax

    (5)

    式中:r2為區(qū)間[0,1]均勻隨機數(shù),r2∈[0,1];fmax為函數(shù)f(Q)在區(qū)間[a,b]上的最大值。

    (3) 當(dāng)f≤f(Q)時,接受Q為所選的隨機數(shù),否則,返回第(1)步,重新抽取1對(Q,f)。

    根據(jù)圖2,挑選樣抽法的幾何解釋為:隨機選取位于矩形abcd內(nèi)的點(Q,f),選擇位于曲線f(Q)下面的點,它們對應(yīng)的發(fā)熱量Q服從概率密度為f(Q)的分布。

    圖2 根據(jù)給定概率密度函數(shù)f(Q)產(chǎn)生隨機數(shù)QFig.2 Generating random numbers Q based on a given probability density function f(Q)

    2.4 均值樣本的獲得及評定

    要對n次采樣發(fā)熱量均值的不確定度進行評定,首先利用第2.3節(jié)的虛擬采樣技術(shù)獲得均值樣本。按式(3)給定的概率密度函數(shù),產(chǎn)生n個發(fā)熱量隨機數(shù),計算它們的平均值,作為發(fā)熱量均值的第1個采樣數(shù)據(jù)。用相同方式得到m個發(fā)熱量均值的采樣數(shù)據(jù),作為發(fā)熱量均值樣本。

    取n=4和n=50,采用虛擬采樣方法分別得到發(fā)熱量均值樣本,樣本容量m取為m=10 000。對樣本進行統(tǒng)計計算,n=4時,樣本平均值μ4=19.689 MJ/kg,標準差σ4=0.480 MJ/kg;n=50時,樣本平均值μ50=19.689 MJ/kg,標準差σ50=0.135 MJ/kg。利用ksdensity函數(shù)對2個樣本的概率密度進行核心平滑估計,n=4時,結(jié)果見圖3,其概率密度可擬合成式(3)所示的多項式函數(shù)f(Q),限于篇幅,這里不再給出多項式系數(shù);n=50時,區(qū)間統(tǒng)計得到的概率密度直方圖以及函數(shù)ksdensity的平滑估計結(jié)果見圖4,發(fā)熱量均值樣本非常接近正態(tài)分布,圖4中還給出了正態(tài)分布N(19.686,0.1352)的概率密度,可以看出,它和平滑估計結(jié)果吻合良好。

    圖3 n=4時發(fā)熱量平均值的概率密度分布Fig.3 Probabilistic density distribution of the mean calorific value at n=4

    圖4 n=50時發(fā)熱量平均值的概率密度分布與正態(tài)分布的對比Fig.4 Comparison of probability density of average calorific value with normal distribution at n=50

    如圖3,對n=4時發(fā)熱量均值的不確定度進行評定,就是求給定的置信概率ε下的包含因子k,根據(jù)置信概率的定義[18]得到關(guān)于包含因子k的方程如式(6)。

    求解式(6),可得到包含因子k。求解時取置信概率ε=0.95,式(6)中μ4=19.689,σ4=0.480。采用迭代法求解式(6),得到k=1.934。因此,n=4時發(fā)熱量均值的擴展不確定度為kσ4=0.928 MJ/kg,此時發(fā)熱量均值結(jié)果可表示為19.689±0.928 MJ/kg。

    (6)

    根據(jù)虛擬采樣方法,同樣可對n=50時發(fā)熱量均值的不確定度進行評定。利用Matlab的jbtest函數(shù)對n=50時發(fā)熱量均值樣本進行正態(tài)性檢驗[19]。結(jié)果表明,均值樣本服從正態(tài)分布,置信概率ε=0.95對應(yīng)的包含因子k=1.96[20,21],發(fā)熱量均值的擴展不確定度為kσ50=0.265 MJ/kg。因此,n=50時發(fā)熱量均值的采樣化驗結(jié)果可表示為19.689±0.265 MJ/kg。

    3 結(jié) 論

    (1) 在發(fā)電機組效率檢測時,鍋爐燃煤多次采樣樣品發(fā)熱量均值的不確定度評定對于機組效率檢測具有重要意義。

    (2) 已知燃煤發(fā)熱量樣本,要對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度進行評定,當(dāng)發(fā)熱量樣本正態(tài)分布或n>30時,則n個樣品發(fā)熱量均值服從正態(tài)分布,該正態(tài)分布的參數(shù)、根據(jù)式(1)和式(2)計算,據(jù)此可對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度進行評定。

    (3) 當(dāng)發(fā)熱量樣本不服從正態(tài)分布且n<30時,要對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度進行評定,可采用挑選樣抽法進行虛擬采樣,得到n個樣品發(fā)熱量的均值樣本,然后根據(jù)該均值樣本的概率密度分布對發(fā)熱量均值的不確定度評定。

    (4) 采用虛擬采樣均值樣本對n個樣品發(fā)熱量均值的不確定度評定結(jié)果與根據(jù)中心極限定理得到的結(jié)論一致。

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