動態(tài)數(shù)據(jù)校正技術(shù)用于GMVC控制器性能評估的改進(jìn)

(溫州大學(xué) 電氣數(shù)字化設(shè)計技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實驗室，浙江 溫州 325035)

0 引言

隨著生產(chǎn)要求的提高，現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)過程變得越來越復(fù)雜，這對控制系統(tǒng)的控制精度提出了更加苛刻的要求。由于實際工況的復(fù)雜性，一個大型的控制系統(tǒng)往往包含很多小的控制回路[1]，一旦某個環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，對生產(chǎn)過程造成的影響不可估量，輕則造成財產(chǎn)損失，重則危及生命；調(diào)查顯示，一半以上的工業(yè)控制器都存在各種各樣的問題[2]。基于這樣一種現(xiàn)實，需要尋求一種對控制器進(jìn)行監(jiān)測的控制器性能評估準(zhǔn)則來保障實際工業(yè)過程安全有效地進(jìn)行。

為了滿足日益增長的系統(tǒng)收益需求，控制器的設(shè)計方法一直以來都是研究熱點[3]。20世紀(jì)70年代，Astrom首先提出采用最小方差控制(MVC)的思想來控制紙張的厚度，該方法將控制信號與輸出信號聯(lián)系起來，得出相應(yīng)的控制規(guī)律來最小化輸出信號的方差[4]。在這之后，MVC思想被廣泛運用到各種實際生產(chǎn)過程中并取得了良好的效果[5]。Harris于1989年提出一個標(biāo)準(zhǔn)化的性能指標(biāo)用于最小方差控制的控制器性能評估[6]，這很快成為了控制器性能評估(CPA)的研究重點?，F(xiàn)階段的MVC方法已經(jīng)變得非常成熟，但是這種方法還是存在一定的局限性，首先就是在設(shè)計最小方差控制器時存在的實際問題，如增益高、帶寬大、噪聲放大等，甚至?xí)?dǎo)致非常激進(jìn)的控制行為[7-9]；其次，MVC不適用于非最小相位系統(tǒng)。為了解決MVC方法的不足，一些學(xué)者提出基于廣義最小方差(GMVC)的控制器性能評估方法來評價系統(tǒng)的性能。GMVC的基本思想是同時考慮系統(tǒng)輸出信號和控制器輸出信號[10-11]，通過加上一定的誤差權(quán)重來評估控制器性能的好壞。其優(yōu)點在于它給了控制器一個約束，從而避免了執(zhí)行器的過度飽和。另外，GMVC還可以對系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行評估，這在其它控制準(zhǔn)則中往往無法實現(xiàn)。

在傳統(tǒng)的性能評估過程中，反饋過程中由測量傳感器引入的測量噪聲往往容易被忽視[12]。然而，實際生產(chǎn)中測量噪聲對控制系統(tǒng)的影響是不容忽視的，它會使系統(tǒng)的性能嚴(yán)重偏離預(yù)期值，直接影響控制器的性能評估結(jié)果。本文以理想情況下基于GMVC的性能評估過程為切入點，考慮并分析了測量噪聲對評估結(jié)果的影響，然后提出采用DDR濾波技術(shù)來對控制系統(tǒng)性能以及CPA結(jié)果進(jìn)行改善。最后，通過相應(yīng)的仿真實例驗證了本文的理論分析結(jié)果。

1 基于GMVC的控制器性能評估

在自動控制理論中，控制系統(tǒng)性能的評價涉及多方面因素；因此，控制系統(tǒng)的性能可以通過不同的指標(biāo)來反映。傳統(tǒng)的性能評價主要分為暫態(tài)性能分析和穩(wěn)態(tài)性能分析兩部分，下面對這兩種分析方法進(jìn)行分別介紹。

暫態(tài)性能指標(biāo)包括超調(diào)量、超調(diào)時間、上升時間、調(diào)節(jié)時間等[13]；其中，超調(diào)量是描述系統(tǒng)性能的關(guān)鍵性能指標(biāo)，它反映了系統(tǒng)輸出在控制器調(diào)節(jié)過程中與穩(wěn)態(tài)值的偏離程度。不同系統(tǒng)對超調(diào)量的要求也不盡相同，對一般系統(tǒng)來說，適當(dāng)?shù)某{(diào)量可以提高系統(tǒng)的快速性，而對于不可逆過程來說，卻不允許出現(xiàn)超調(diào)量。一般來說，系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標(biāo)主要通過階躍響應(yīng)來反映，通過觀測系統(tǒng)的階躍輸出可以比較容易地被計算得到。

穩(wěn)態(tài)性能主要用于描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時的輸出與期望值的差距，它反映了系統(tǒng)控制器的控制精度。由于系統(tǒng)大部分時間都是在穩(wěn)定狀態(tài)下工作，因此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)同樣不可忽視。系統(tǒng)的誤差可以從輸入端和輸出端分別定義，而穩(wěn)態(tài)誤差一般根據(jù)輸入端定義的誤差來分析，輸入端誤差是指反饋量與輸入量的偏差，控制器在這一過程中對偏差信號的抑制作用也間接的反映了控制器的性能。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以通過對誤差信號取拉氏反變換進(jìn)行分析。

上述的性能指標(biāo)在傳統(tǒng)性能評估被廣泛采用，然而，作為一種直觀描述系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)的指標(biāo)，方差在當(dāng)前的主流評估方法(如MVC、GMVC等)中往往有著不可替代的地位。因此，采用方差作為性能指標(biāo)，本章首先對基于GMVC的性能評估進(jìn)行簡單地復(fù)現(xiàn)。

1.1 SISO系統(tǒng)的性能評估

圖1 理想隨機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)圖1所示的模型可得該系統(tǒng)的輸出表達(dá)式為:

y(t)=B0d(t)+z-kGu(t)

(1)

式中，t表示當(dāng)前采樣時間，k取正整數(shù)。廣義輸出表達(dá)式為:

f(t+k)=-Pey(t+k)+Fcu(t)

(2)

將(1)式代入(2)式得：

f(t+k)=(Fc-PeG)u(t)-B0Ped(t+k)

(3)

分別令D=Fc-PeG,E=-B0Pe，則:

f(t+k)=Du(t)+Ed(t+k)

(4)

對E進(jìn)行丟番圖分解，即令E=H+z-kL，式(4)可表示為：

f(t)=Du(t-k)+Ld(t-k)+Hd(t)

(5)

對式(5)進(jìn)行整理并取方差可得：

E[(Du(t-k)+Ld(t-k))2]+E[(Hd(t))2]=

(6)

(7)

1.2 MIMO系統(tǒng)的性能評估

MIMO系統(tǒng)情況下，r(t)、y(t)分別為系統(tǒng)的輸入向量和輸出向量；e(t)為誤差向量，u(t)為控制向量；C0(z-1)為控制器傳遞函數(shù)矩陣；T(z-1)為被控對象傳遞函數(shù)矩陣；d(t)～N(0，∑d)表示外部擾動向量，假設(shè)為協(xié)方差∑d的零均值多維噪聲信號；B(z-1)為擾動傳遞函數(shù)矩陣；f(t)表示廣義輸出，此時系統(tǒng)輸出表達(dá)式：

y(t)=B0d(t)+Tu(t)

(8)

系統(tǒng)的廣義輸出為：

f(t)=-Pey(t)+Fcu(t)

(9)

將式(8)代入(9)中化簡得：

f(t)=(Fc-PeT)u(t)-PeB0d(t)

(10)

對式(10)同乘z-dD消除內(nèi)部誤差并進(jìn)行丟番圖分解得：

(11)

tr{cov[(D(Fc-PeT)u(t)-Ld(t))]}+

tr{cov[Hd(t)]}

(12)

2 測量噪聲對評估結(jié)果的影響

對于實際的工業(yè)過程來說，為了確定系統(tǒng)偏差的大小，需要對系統(tǒng)的實時輸出進(jìn)行監(jiān)測。測量行為一般發(fā)生在反饋環(huán)，由于測量傳感器中物理元件特性的影響，測量到的系統(tǒng)輸出信息很可能已經(jīng)偏離過程的真實狀態(tài)，它會干擾系統(tǒng)的性能使系統(tǒng)性能評估的結(jié)果變得不再可靠。測量信息與系統(tǒng)真實輸出信息的偏差一般稱為測量噪聲，本章考慮了反饋過程中的測量噪聲，從理論上分析了測量噪聲對系統(tǒng)性能及評估結(jié)果的影響。

2.1 測量噪聲對SISO系統(tǒng)評估結(jié)果的影響

圖2為帶有傳感器測量噪聲的隨機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，設(shè)ε(t)～N(0，ρ2)為高斯分布的測量噪聲，其余變量與理想情況下的SISO系統(tǒng)相同。

圖2 實際隨機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

考慮測量噪聲時系統(tǒng)的測量輸出為：

ym=y(t)+ε(t)

(13)

式(13)表明，由于測量噪聲的存在，系統(tǒng)的反饋信息已經(jīng)不再是系統(tǒng)當(dāng)前時刻的真實輸出。由圖2可得：

u(t)=-C0ym(t)

(14)

將式(13)和式(14)代入到式(5)中化簡并取方差可得：

E[f2(t)]=E[(Du(t-k)+Ld(t-k))2]+

E[(Hd(t)2]+E[-DC0ε(t))2]

(15)

(16)

由式(16)可知，測量噪聲的引入會使得性能評估結(jié)果減小，即測量噪聲會降低系統(tǒng)性能。

2.2 測量噪聲對MIMO系統(tǒng)評估結(jié)果的影響

討論測量噪聲對MIMO系統(tǒng)的影響，此時ε(t)～N(0，∑ρ)為多維高斯測量噪聲信號，ym(t)為實際測量反饋，其余變量均與理想情況下MIMO系統(tǒng)相同。此時系統(tǒng)的測量輸出為：

ym(t)=y(t)+ε(t)

(17)

系統(tǒng)的廣義輸出為：

f(t)=(Fc-PeT)u(t)-PeB0d(t)

(18)

同理，對式(18)兩邊同乘以z-dD消除內(nèi)部誤差并進(jìn)行丟番圖分解得：

(19)

再將u(t)=-C0ym(t)代入并化簡得：

Ld(t))-Hd(t)-C0ε(t)

(20)

對式(20)取協(xié)方差再取跡可得：

(21)

由式(21)可知，測量噪聲同樣會影響MIMO系統(tǒng)的性能從而降低MIMO系統(tǒng)的性能評估結(jié)果。

3 DDR濾波器對評估結(jié)果的改進(jìn)

為了抑制測量噪聲對系統(tǒng)性能的不利影響，許多濾波方法已經(jīng)被應(yīng)用于工業(yè)控制系統(tǒng)，但這些濾波技術(shù)在提升系統(tǒng)性能的同時也有其自身的缺陷。例如，傳統(tǒng)指數(shù)濾波器的輸出與當(dāng)前輸入信號、前一時刻的輸出信號及權(quán)重均有關(guān)，故指數(shù)濾波器在改善噪聲影響的同時可能會引入時間延遲，這對于具有顯著動態(tài)的系統(tǒng)過程來說往往難以接受；擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)對系統(tǒng)的模型要求較高，并且它能處理的噪聲類型也較為單一。作為一種能平穩(wěn)濾波且可以實時跟蹤的魯棒濾波方法，DDR技術(shù)可以有效地避免以上問題[14]。DDR濾波器綜合考慮了測量信息以及模型預(yù)測值信息，通過將模型預(yù)測作為附加信息考慮進(jìn)來使用貝葉斯公式，然后根據(jù)最大后驗概率估計不斷調(diào)節(jié)模型預(yù)測值和測量值，使得濾波后的結(jié)果能更加真實地反映過程的實時狀況。本章將討論DDR濾波器對基于GMVC的CPA結(jié)果的改善作用。

3.1 DDR濾波器對SISO系統(tǒng)評估結(jié)果的改進(jìn)

圖3 引入DDR濾波器的隨機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

設(shè)模型預(yù)測輸出與實際系統(tǒng)輸出的誤差為δ(t)～N(0，δ2)，那么：

(22)

式(22)可用于描述系統(tǒng)模型的不確定性，即系統(tǒng)輸出由模型預(yù)測輸出及預(yù)測誤差共同組成，模型預(yù)測誤差主要用于表示模型不精確帶來的不確定性；當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)一些非預(yù)期的干擾使得模型不夠精確時，預(yù)測誤差的存在仍然可以保證系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。

使用測量信息及模型預(yù)測信息對輸出進(jìn)行估計，首先利用測量信息和模型預(yù)測信息使用貝葉斯公式：

(23)

則待估參數(shù)的后驗分布為：

(24)

由最大后驗概率估計，上式取最大值時的y(t)即為估計值yddr(t)，求解可得yddr(t)為：

K=(1+ρ2σ-2)-1

(25)

設(shè)實際輸出估計值與真實輸出的誤差為ξ(t)，即：

ξ(t)=yddr(t)-y(t)

(26)

將式(13)、(22)、(25)代入到式(26)中并取方差可得：

E[(ξ(t))2]=(ρ-2+δ-2)-1

(27)

由式(27)可知：

E[(ξ(t))2]

(28)

將u(t)=-C0yddr(t)代入到式(5)中得：

f(t)=Du(t-k)+Ld(t-k)

+Hd(t)-C0ξ(t)

(29)

取方差并根據(jù)式(28)可知：

(30)

即DDR濾波器可以減小測量噪聲的影響，使得評估結(jié)果更加接近于理想情況。

3.2 DDR濾波器對MIMO系統(tǒng)評估結(jié)果的改進(jìn)

分析圖3所示的帶DDR濾波器的MIMO系統(tǒng)，此時測量噪聲ε(t)～N(0，∑ρ),模型預(yù)測的誤差δ(t)設(shè)為δ(t)～N(0，∑δ),則：

(31)

待估參數(shù)后驗分布表示為：

(32)

式中,N表示向量維數(shù)。同SISO的分析過程，得到的估計值表達(dá)式為：

K=(∑ρ-1+ ∑δ-1)-1

(33)

同樣有：

cov [ξ(t)]=cov [δ(t)+K(ε(t)-δ(t))]=

(∑ρ-1+ ∑δ-1)-1

(34)

由式(34)可知：

tr{[cov[ξ(t)]]}

(35)

將u(t)=-C0yddr(t)代入式(19)中可得：

Ld(t))-Hd(t)-C0ξ(t)

(36)

對式(36)取協(xié)方差再取跡并由式(35)有：

(37)

結(jié)論與SISO情況類似，即DDR濾波器可以改善測量噪聲影響下MIMO系統(tǒng)的性能表現(xiàn)使得CPA結(jié)果得到提升。

4 仿真結(jié)果與分析

根據(jù)上述理論分析過程可知，測量噪聲會影響基于GMVC的控制器性能評估結(jié)果，而DDR濾波技術(shù)可以減小測量噪聲對評估結(jié)果的影響。因此，本章將結(jié)合仿真實例對不同情況下的SISO和MIMO系統(tǒng)輸出進(jìn)行比較，并得出不同測量噪聲方差下的評估結(jié)果以驗證理論推導(dǎo)得出的結(jié)論。為了更好地突出DDR濾波器的優(yōu)點，仿真時引入了指數(shù)濾波器作為對比。指數(shù)濾波器在一些工業(yè)過程中被廣泛使用，它主要根據(jù)測量信息和濾波器的前一時刻信息來實現(xiàn)其濾波作用。然而，指數(shù)濾波器的性能與其濾波參數(shù)有關(guān)。若濾波參數(shù)過大，過多的測量信息會使得濾波性能較差；若濾波參數(shù)過小，過多的前一時刻信息會導(dǎo)致其輸出出現(xiàn)較大的時間延遲。如第3章所述，DDR濾波器可以利用系統(tǒng)當(dāng)前時刻的信息采用貝葉斯估計來得到最優(yōu)估計值，這在避免參數(shù)選取問題的同時也不會對系統(tǒng)引入時間延遲。

4.1 SISO系統(tǒng)的仿真驗證

對應(yīng)圖3的SISO系統(tǒng)仿真模型如下：

(38)

設(shè)測量噪聲方差為0.3，外部擾動方差為0.1，SISO系統(tǒng)的廣義輸出比較如圖4所示。

圖4 SISO系統(tǒng)的廣義輸出比較

由圖4可以看出，與理想情況相比，測量噪聲的存在明顯增加了廣義輸出的波動，這表明測量噪聲會削弱控制系統(tǒng)的性能。指數(shù)濾波器和DDR濾波器都可以降低測量噪聲的影響；然而，與指數(shù)濾波器相比，使用DDR濾波器后的廣義輸出明顯更接近理想情況，這表明提出的DDR濾波器在濾波效果上明顯優(yōu)于指數(shù)濾波器。

為了比較不同測量噪聲方差下的評估結(jié)果，仿真時測量噪聲的方差取值在0.3～0.45范圍內(nèi)逐漸增加，d(t)方差取0.1，得到的評估結(jié)果如表1所示。根據(jù)前文推導(dǎo)過程可知，由于理想情況下評估結(jié)果始終為1(控制器的參數(shù)無變化)，因此表中不再單獨列出。從表1可以看出，考慮測量噪聲以后，評估結(jié)果會大大降低，并且評估結(jié)果還會隨著測量噪聲方差的增加而減小，這說明測量噪聲會使得系統(tǒng)性能變差從而不利于控制器性能評估。指數(shù)濾波器和DDR濾波器對控制器性能的評估結(jié)果都具有改善作用，但是DDR濾波器情況下的性能評估結(jié)果已經(jīng)接近于理想情況。綜合圖4和表1的對比結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，測量噪聲對系統(tǒng)性能的影響非常劇烈，在CPA的過程中忽略測量噪聲的影響可能會對生產(chǎn)造成難以估量的損失，而DDR濾波器對系統(tǒng)性能的提升是顯而易見的，這使得CPA的結(jié)果變得相對可靠。

表1 SISO系統(tǒng)的性能評估結(jié)果比較

4.2 MIMO系統(tǒng)的仿真驗證

MIMO系統(tǒng)的仿真模型如下：

表2 MIMO系統(tǒng)的性能評估結(jié)果比較

5 結(jié)束語

在絕大多數(shù)工業(yè)反饋系統(tǒng)中，為了檢測系統(tǒng)性能是否符合預(yù)期的標(biāo)準(zhǔn)，通常會在反饋過程中引入頻繁的測量行為。然而，對于當(dāng)前許多成熟的性能評估理論來說，測量行為發(fā)生時由測量傳感器引入的測量噪聲還沒有引起足夠的重視，測量噪聲在增加控制器負(fù)擔(dān)的同時還會使系統(tǒng)引入欺騙性的測量反饋。針對這一問題，考慮了實際生產(chǎn)過程中的測量噪聲，通過理論分析指出了測量噪聲對基于GMVC的控制器性能評估結(jié)果的影響；為了降低測量噪聲對反饋系統(tǒng)性能及控制器性能評估結(jié)果的不良影響，提出采用DDR濾波技術(shù)來改進(jìn)測量噪聲影響下的控制器性能評估結(jié)果。最后，采用常用的指數(shù)濾波器作為對比，通過相應(yīng)的仿真實例驗證了DDR濾波器在測量噪聲抑制及系統(tǒng)性能提升方面的良好表現(xiàn)。DDR技術(shù)是一種新型魯棒濾波方法，它的應(yīng)用領(lǐng)域并不局限于本文中受高斯測量噪聲影響的反饋系統(tǒng)。對于非高斯分布的測量噪聲以及其它類型的系統(tǒng)模型，若噪聲的概率密度函數(shù)及系統(tǒng)模型已知，DDR技術(shù)同樣可以被拓展應(yīng)用。