三維正交機(jī)織復(fù)合材料翼子板多尺度可靠性優(yōu)化設(shè)計

陶 威， 劉 釗， 許 燦， 朱 平

(上海交通大學(xué) a. 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室; b. 設(shè)計學(xué)院， 上海 200240)

當(dāng)前，環(huán)境污染與能源短缺問題的日益嚴(yán)重，為了降低能耗且減少污染，同時提高新能源汽車的行駛里程，汽車輕量化受到越來越多的關(guān)注. 用高強輕質(zhì)材料替換傳統(tǒng)金屬材料是實現(xiàn)汽車輕量化最有效的途徑[1]. 三維正交機(jī)織碳纖維復(fù)合材料具有優(yōu)異的力學(xué)性能、抗分層能力以及外形適應(yīng)性，在汽車輕量化方面具有廣闊的應(yīng)用前景[2].

三維正交機(jī)織復(fù)合材料具有典型的多尺度特征，一般按纖維絲、纖維束及結(jié)構(gòu)件可分為3個尺度：細(xì)觀尺度、介觀尺度及宏觀尺度[3]. 國內(nèi)外許多學(xué)者采用多尺度仿真方法預(yù)測了復(fù)合材料及其結(jié)構(gòu)的性能響應(yīng)[4-5].但是在進(jìn)行復(fù)合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化時往往需要計算大批量模型的性能響應(yīng)，這對優(yōu)化過程中所采用的材料和結(jié)構(gòu)性能預(yù)測方法的精度與效率提出了較高要求. 除此之外，三維正交機(jī)織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)具有材料/結(jié)構(gòu)一體化特性，因此在進(jìn)行輕量化設(shè)計時可以對其介觀尺度材料變量和宏觀尺度結(jié)構(gòu)變量進(jìn)行同步設(shè)計，進(jìn)而最大限度地挖掘結(jié)構(gòu)的輕量化潛力[6]. Fu等[7]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型和遺傳算法對復(fù)合材料增強板進(jìn)行了材料和結(jié)構(gòu)并行優(yōu)化設(shè)計. 王慶等[8]采用Kriging代理模型和優(yōu)化算法對碳纖維復(fù)合材料保險杠進(jìn)行了輕量化設(shè)計. 然而，三維正交機(jī)織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的制備需要經(jīng)歷織造、運輸、成型、固化及剪裁等工序，這些制備工藝過程會在復(fù)合材料結(jié)構(gòu)引入不確定性，如纖維束間距、厚度和鋪設(shè)角度的波動與偏差等[9]. 這對復(fù)合材料結(jié)構(gòu)整體的可靠度產(chǎn)生了巨大的影響. Liu等[10]考慮了復(fù)合材料力學(xué)性能的離散性，對碳纖維復(fù)合材料電池箱體進(jìn)行了可靠性優(yōu)化設(shè)計. Chen等[11]對復(fù)合材料加強板的厚度與鋪層順序進(jìn)行了可靠性優(yōu)化設(shè)計. 在對復(fù)合材料結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計時，需要考慮多尺度設(shè)計變量的不確定性，確保結(jié)構(gòu)可靠度滿足要求.

本研究基于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)多尺度仿真預(yù)測方法，建立材料彈性性能高效預(yù)測模型，同時考慮材料變量和結(jié)構(gòu)變量的不確定性，結(jié)合蒙特卡洛可靠性分析、Kriging代理模型及粒子群優(yōu)化算法，提出三維正交機(jī)織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)多尺度可靠性優(yōu)化流程，為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)汽車零部件的輕量化設(shè)計提供可借鑒的方法.

1 三維正交機(jī)織復(fù)合材料彈性性能預(yù)測方法

三維正交機(jī)織復(fù)合材料結(jié)構(gòu)具有典型的多尺度特性，可分為細(xì)觀尺度、介觀尺度和宏觀尺度. 如圖1所示，細(xì)觀尺度為纖維絲尺度，該尺度研究碳纖維和基體組成的纖維束的力學(xué)性能；在介觀尺度上，由于復(fù)合材料空間結(jié)構(gòu)的周期性，可以通過建立介觀代表性體積單元來預(yù)測復(fù)合材料力學(xué)性能；宏觀尺度為結(jié)構(gòu)尺度，可以通過有限元方法對結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行仿真分析.在尺度之間通過均勻法方法傳遞材料的力學(xué)性能. 圖1中展示了材料介觀尺度代表性體積單元. 代表性體積單元由經(jīng)向纖維束(介觀尺度坐標(biāo)系X軸方向)、緯向纖維束(Y軸方向)、Z向纖維束及基體組成. 復(fù)合材料代表性體積單元的彈性性能由纖維束和基體彈性性能決定.

圖1 三維正交機(jī)織碳纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)多尺度模型Fig.1 Multi-scale model of structure of 3D orthogonal woven carbon fiber composite

本節(jié)將通過解析細(xì)觀力學(xué)方法對介觀尺度材料彈性性能參數(shù)進(jìn)行預(yù)測.在細(xì)觀尺度，纖維束由增強纖維和基體組成，一般被視為橫觀各向同性材料.如圖1所示，在細(xì)觀尺度坐標(biāo)系下，若X1方向為纖維束軸向，Y1、Z1方向為纖維束橫向，為了公式推導(dǎo)的簡潔，后文中1代表X1方向，2、3分別代表Y1、Z1方向，那么纖維束的剛度矩陣可表示為

(1)

(2)

式中：E11、E22分別為纖維束軸向及橫向彈性模量；μ12、μ23分別為纖維束主泊松比及橫向泊松比. 纖維束的彈性性能參數(shù)可采用體積混合公式計算得到：

(3)

式中：E11f為纖維軸向彈性模量；Vf為纖維束中纖維的體積分?jǐn)?shù)；Em為基體彈性模量；Vm為纖維束中基體的體積分?jǐn)?shù)；E22f為纖維橫向彈性模量；G12為纖維束軸向剪切模量；Gm為基體剪切模量；G12f為纖維軸向剪切模量；μ12f為纖維主泊松比；μm為基體泊松比. 本研究所采用的碳纖維類型為東麗T700S，基體為環(huán)氧樹脂，基體牌號為亨斯曼LY 1572，相應(yīng)的碳纖維與基體的彈性性能參數(shù)如表1所示.

表1 碳纖維和基體的彈性性能參數(shù)

Vf可由下式近似計算得到：

(4)

式中：K為碳纖維束中碳纖維根數(shù)；df為碳纖維直徑；W、H分別為纖維束的寬度和高度. 對于本研究中的碳纖維束，K取 6 000，df為7 μm， 纖維束截面尺寸與纖維體積分?jǐn)?shù)見表2. 基于式(1)～(3)可以得到纖維束在各自細(xì)觀尺度坐標(biāo)系下的剛度矩陣.

表2 三維正交機(jī)織復(fù)合材料機(jī)織參數(shù)

如圖1所示，經(jīng)向和緯向纖維束在代表性體積單元中的纖維主方向不同，θ代表X1和X軸的夾角，φ代表X1軸在YOZ平面上的投影和Y軸的夾角. 則由圖1可知，經(jīng)向纖維束在介觀尺度坐標(biāo)系下的角度θ和φ分別為0°和0°，而緯向纖維束分別為90°和0°. 基于坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)公式，結(jié)合介觀尺度坐標(biāo)系和細(xì)觀尺度坐標(biāo)系的夾角，可以得到纖維束在介觀尺度代表性體積單元的剛度矩陣為

(5)

式中：

(6)

(7)

(8)

由于代表性體積單元的彈性力學(xué)性能主要由經(jīng)向和緯向纖維束提供，那么根據(jù)體積平均化理論可以得到復(fù)合材料介觀尺度代表性體積單元的總體剛度矩陣：

(9)

(10)

式中：V為纖維束占代表性體積單元的體積分?jǐn)?shù)；N為纖維束層數(shù)；D為纖維束間距；T為代表性體積單元的厚度，下標(biāo)warp和weft分別表示經(jīng)向纖維束和緯向纖維束.三維正交機(jī)織復(fù)合材料機(jī)織參數(shù)如表2所示.

(11)

(12)

為了驗證所提出的復(fù)合材料力學(xué)性能預(yù)測方法的有效性，按照材料拉伸試驗標(biāo)準(zhǔn)ASTM D3039對復(fù)合材料進(jìn)行了經(jīng)向和緯向的拉伸力學(xué)性能試驗. 表3為預(yù)測得到復(fù)合材料力學(xué)性能參數(shù)與試驗結(jié)果的對比.

表3 復(fù)合材料力學(xué)性能試驗值與預(yù)測值對比

由表3可知，所提出的性能預(yù)測方法對經(jīng)向和緯向彈性模量的預(yù)測誤差低于4%，驗證了所提出預(yù)測方法的準(zhǔn)確性. 本文優(yōu)化設(shè)計過程中， 將運用此解析計算方法進(jìn)行不同機(jī)織參數(shù)下材料彈性性能的高效預(yù)測.

2 翼子板有限元建模

宏觀尺度上翼子板的幾何結(jié)構(gòu)如圖2所示，包含了外板結(jié)構(gòu)和附加安裝點[12]. 附加安裝點在翼子板制造時通過一體式成型的方法附加在外板結(jié)構(gòu)之上. 翼子板的外形曲線以及安裝點的位置在設(shè)計中均不可變動. 由于翼子板為薄板結(jié)構(gòu)，因此在建立翼子板有限元模型時用四節(jié)點通用殼單元來劃分翼子板模型，網(wǎng)格尺寸取5 mm. 所建立的宏觀尺度翼子板有限元模型如圖3所示，宏觀尺度坐標(biāo)系采用O-xyz描述，有限元模型共包含 11 249 個網(wǎng)格單元. 由于三維機(jī)織碳纖維復(fù)合材料的力學(xué)性能呈現(xiàn)各向異性，因此需要對翼子板有限元模型中的每一個網(wǎng)格單元定義其材料方向.圖3為翼子板有限元模型在各工況下的載荷施加方式和施加位置，在圖中的宏觀尺度翼子板有限元模型中，翼子板殼單元的法方向即為該網(wǎng)格的材料厚度方向，宏觀尺度坐標(biāo)系z軸在每一個殼單元上的投影為該網(wǎng)格的材料經(jīng)紗方向，以此方式對每一個翼子板網(wǎng)格進(jìn)行材料方向的定義. 在指定翼子板網(wǎng)格單元的材料方向之后，將式(12)得到的9個復(fù)合材料彈性常量作為翼子板網(wǎng)格單元的材料性能參數(shù)，從而實現(xiàn)了材料性能從介觀尺度至宏觀尺度的傳遞.所有準(zhǔn)靜態(tài)工況的有限元分析在商業(yè)有限元分析軟件ABAQUS中完成.

圖2 汽車翼子板幾何模型Fig.2 Geometry model of automobile fender

圖3 翼子板有限元模型與工況載荷施加位置Fig.3 Finite element model of fender and loading positions

作為汽車的覆蓋件，翼子板在整車裝配以及使用過程中需要承受載荷并抵抗變形. 因此，翼子板的剛度性能必須滿足以下工況性能指標(biāo)：① 安裝點剛度≥50 N/mm；② 外板中心剛度≥100 N/mm；③ 3處翼尖剛度≥300 N/mm. 同時翼子板需要滿足在各工況下的可靠度指標(biāo). 翼子板的工況性能指標(biāo)與可靠度如表4所示. 圖3中各工況下剛度計算的具體方式如下所述.

對于工況1，所需測試的安裝點數(shù)量為4個. 在測試安裝點剛度時，約束翼子板除該安裝點外其他所有安裝點的全部自由度，并在安裝孔中心點沿安裝面法線方向施加50 N載荷，安裝點剛度計算方法如下：

(13)

對于工況2，約束翼子板所有安裝點的自由度，用直徑為25.4 mm的剛體球頭對翼子板外板中心最大無支撐區(qū)域進(jìn)行加載，在球頭上施加沿外板法線方向300 N載荷，此時外板中心剛度為

km=300/Um

(14)

式中：Um為通過有限元仿真得到的外板中心最大位移.

對于工況3，約束翼子板所有安裝點的自由度，在3處翼尖位置分次沿法線方向施加50 N的載荷，那么3處翼尖剛度為

(15)

表4 翼子板工況性能指標(biāo)Tab.4 Performance indicators of fender

3 復(fù)合材料翼子板多尺度可靠性優(yōu)化策略

3.1 優(yōu)化問題定義

優(yōu)化問題的目標(biāo)為最小化翼子板的質(zhì)量，其約束為翼子板在不同工況下的性能指標(biāo)以及相應(yīng)的可靠度指標(biāo). 本研究中翼子板優(yōu)化過程包含5個設(shè)計變量，x1、x2分別為經(jīng)向及緯向纖維束間距；x3為材料厚度，是與纖維束層數(shù)相關(guān)的離散變量；x4為翼子板外板經(jīng)向纖維束與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中Z軸的夾角；x5為安裝點1處的附加寬度. 設(shè)計變量如圖4所示.其中x1、x2及x3為材料機(jī)織參數(shù)，而x4、x5為結(jié)構(gòu)設(shè)計變量. 本研究中的三維正交機(jī)織復(fù)合材料翼子板多尺度可靠性優(yōu)化問題描述如下：

圖4 優(yōu)化問題設(shè)計變量Fig.4 Designed variables of optimization problem

min 翼子板質(zhì)量

km≥100 N/mm

滿足剛度約束的概率≥95%

2≤x1≤4

2.5≤x2≤4.5

{x3|2.4,3,3.6,4.2,4.8}

0≤x4≤90

0≤x5≤15

(16)

考慮到這些設(shè)計變量在實際復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中具有不確定性，因此在優(yōu)化設(shè)計過程中假設(shè)所有設(shè)計變量都滿足高斯分布. 設(shè)計變量的設(shè)計域和分布方式如表5所示.

表5 設(shè)計變量及其設(shè)計域Tab.5 Design variables and design domains

3.2 優(yōu)化流程

基于有限元仿真來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計通常需要付出高昂的計算代價，而代理模型技術(shù)僅需要較少數(shù)量樣本點的響應(yīng)狀態(tài)，即可構(gòu)建設(shè)計變量與目標(biāo)響應(yīng)之間的數(shù)學(xué)模型，為工程優(yōu)化提供了一種高效的響應(yīng)預(yù)測方法，減輕了優(yōu)化過程中的計算代價. 同時在可靠性優(yōu)化設(shè)計流程中，需要一種收斂速度和計算精度相匹配的優(yōu)化算法來進(jìn)行尋優(yōu). 本文翼子板多尺度可靠性優(yōu)化流程如圖5所示.包含了代理模型技術(shù)、可靠性分析方法與智能優(yōu)化算法，其具體實施步驟如下：

圖5 翼子板多尺度可靠性優(yōu)化設(shè)計流程圖Fig.5 Flowchart of multi-scale reliability-based design optimization for fender

(1) 通過最優(yōu)拉丁超立方[13]對所有設(shè)計變量進(jìn)行試驗設(shè)計，一共生成了60個試驗設(shè)計樣本點，其中包含50個訓(xùn)練樣本點和10個驗證樣本點.

(2) 基于所生成樣本點中的材料設(shè)計變量，通過第1節(jié)中建立的材料彈性性能預(yù)測方法，計算得到相應(yīng)機(jī)織參數(shù)下的材料彈性性能.

(3) 基于所生成樣本點中的宏觀結(jié)構(gòu)設(shè)計變量，生成相應(yīng)的翼子板有限元模型，并輸入同一樣本點下預(yù)測得到的材料彈性性能. 由于在采樣過程中需要建立大量翼子板有限元模型，因此通過編寫MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)翼子板有限元模型節(jié)點坐標(biāo)、鋪設(shè)方向和材料參數(shù)的自動化修改，顯著提升有限元建模效率. 對所有樣本點下的翼子板有限元模型進(jìn)行多載荷工況的仿真分析，記錄翼子板在不同工況下的性能響應(yīng).

(17)

(5) 基于所建立的代理模型，通過蒙特卡洛可靠性分析評價翼子板結(jié)構(gòu)各個指標(biāo)的可靠度. 蒙特卡洛可靠性分析在3.3節(jié)中介紹.

(6) 粒子群優(yōu)化算法是一種啟發(fā)式全局優(yōu)化算法，讓設(shè)計空間之中的尋優(yōu)粒子記錄當(dāng)前位置下的信息，并讓所有粒子追隨當(dāng)代最優(yōu)粒子進(jìn)行迭代搜索[15]. 由于粒子群優(yōu)化算法具有收斂速度快且全局搜索能力強等優(yōu)勢， 本文采用粒子群優(yōu)化算法對式(16)所述優(yōu)化問題進(jìn)行尋優(yōu).

(7) 通過對優(yōu)化后翼子板結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析，驗證優(yōu)化結(jié)果的有效性.

3.3 可靠性分析方法

結(jié)構(gòu)可靠度一般被定義為結(jié)構(gòu)產(chǎn)品在規(guī)定時間內(nèi)，在規(guī)定條件下，完成規(guī)定功能的概率. 結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可以表示為

G(x)=R′(x)-R*

(18)

式中：x為設(shè)計變量向量；R′為結(jié)構(gòu)響應(yīng)；R*為結(jié)構(gòu)響應(yīng)閾值. 在確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)之后，定義結(jié)構(gòu)的安全域為{x：G(x)>0}.

蒙特卡洛模擬也稱為隨機(jī)抽樣方法，用蒙特卡洛模擬作為可靠性分析方法時，其主要思想為在輸入變量空間內(nèi)，對輸入變量進(jìn)行抽樣，用所抽樣樣本響應(yīng)值的統(tǒng)計規(guī)律來估計實際結(jié)構(gòu)響應(yīng)的可靠度. 用蒙特卡洛模擬方法估計失效概率時，由可靠度在安全域中的積分可得：

f(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn

(19)

式中：PR為可靠度；f(x1,x2,…,xn)為設(shè)計變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)；ΩS為安全域；I為指示函數(shù)，

(20)

利用輸入變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)對輸入變量進(jìn)行抽樣，生成N個輸入變量的樣本點，并統(tǒng)計落入安全域內(nèi)的樣本點數(shù)NS，那么可靠度可近似表示為安全域內(nèi)樣本數(shù)與總樣本點的比值：

(21)

在樣本量充足的情況下，蒙特卡洛模擬可以獲得高精度的可靠度與失效概率值.

4 優(yōu)化結(jié)果及驗證

由于翼子板多尺度可靠性優(yōu)化過程基于Kriging代理模型開展，因此有必要對代理模型的精度進(jìn)行驗證.本研究中通過R2來評估代理模型精度，R2越接近1，說明代理模型精度越高. 如表6所示，翼子板質(zhì)量和性能響應(yīng)的R2均不小于0.93，而翼子板質(zhì)量的R2為0.99，因此認(rèn)為此代理模型具有足夠的精度來指導(dǎo)可靠性優(yōu)化設(shè)計.

表6 結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)Kriging代理模型R2

在驗證了Kriging代理模型精度之后，通過可靠性優(yōu)化設(shè)計流程，結(jié)合蒙特卡洛可靠性分析和粒子群優(yōu)化算法，對翼子板進(jìn)行多尺度可靠性優(yōu)化設(shè)計. 表7中展示了初始設(shè)計、確定性優(yōu)化及可靠性優(yōu)化下的翼子板設(shè)計變量值，其中初始設(shè)計為按照設(shè)計經(jīng)驗初步擬定的方案，作為結(jié)構(gòu)輕量化效果的參考對象，確定性優(yōu)化得到的設(shè)計方案只考慮了性能約束但未考慮可靠度.

表7 翼子板多尺度優(yōu)化設(shè)計方案

圖6所示為可靠性優(yōu)化設(shè)計方案在不同工況下位移U的分布云圖.表8展示了通過有限元仿真驗證得到的初始設(shè)計方案、確定性優(yōu)化設(shè)計方案及可靠性優(yōu)化設(shè)計方案下的翼子板性能指標(biāo)和可靠度指標(biāo).3種設(shè)計方案下翼子板的質(zhì)量分別為2.143、1.617及1.673 kg.可以看出，確定性優(yōu)化和可靠性優(yōu)化設(shè)計方案的所有性能指標(biāo)都滿足約束指標(biāo). 但是確定性優(yōu)化方案雖然實現(xiàn)了翼子板減重，但其性能指標(biāo)的可靠度不能滿足設(shè)計要求，而由多尺度可靠性優(yōu)化設(shè)計得到的設(shè)計方案不僅相比于初始設(shè)計實現(xiàn)21.93%的減重，同時也滿足了所有結(jié)構(gòu)性能的可靠度要求.

圖6 多尺度可靠性優(yōu)化后翼子板在不同工況下位移U的分布云圖Fig.6 Displacement distribution contours of fender under different working conditions after multi-scale reliability optimization

表8 優(yōu)化結(jié)果性能指標(biāo)與可靠度驗證Tab.8 Verification of performance indices and reliability of optimal solution

5 結(jié)語

本研究基于解析細(xì)觀力學(xué)方法建立了三維正交機(jī)織復(fù)合材料彈性性能預(yù)測模型，實現(xiàn)了不同機(jī)織參數(shù)下材料性能的高效預(yù)測，并通過與材料力學(xué)性能試驗結(jié)果對比，驗證了材料性能預(yù)測模型的準(zhǔn)確性.針對某款新能源汽車翼子板，以結(jié)構(gòu)剛度及可靠度為約束條件，考慮了多尺度設(shè)計變量的不確定性.結(jié)合蒙特卡洛可靠性分析、Kriging代理模型和粒子群優(yōu)化算法，建立了多尺度可靠性優(yōu)化設(shè)計流程，實現(xiàn)了三維正交機(jī)織復(fù)合材料翼子板的可靠性優(yōu)化設(shè)計. 結(jié)果表明，優(yōu)化后的翼子板較初始設(shè)計結(jié)構(gòu)的減重率達(dá)到了21.93%，為復(fù)合材料汽車零部件的輕量化設(shè)計提供可借鑒的方法.