數(shù)學(xué)模型在高中生物復(fù)習(xí)中的情境應(yīng)用
——以曲線圖為例

陜西

高考復(fù)習(xí)注重知識(shí)點(diǎn)的拓展延伸，要使各類知識(shí)點(diǎn)更加飽滿、情境應(yīng)用更加靈活多樣、知識(shí)要能點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的緊密而流暢的銜接，這就需要一定的核心思想或方法一以貫之，數(shù)學(xué)模型就是重點(diǎn)方法之一，使各知識(shí)點(diǎn)在不同情境中的運(yùn)用可以達(dá)到游刃有余、形散而神聚的程度。

高中生物學(xué)作為一門自然學(xué)科，知識(shí)來(lái)源于實(shí)驗(yàn)和觀察，數(shù)學(xué)模型自然是分析相關(guān)生物學(xué)問(wèn)題的有利工具，其中，曲線圖以其直觀、明了、簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn)，呈現(xiàn)在對(duì)各種生命現(xiàn)象的分析當(dāng)中，為揭示生命現(xiàn)象的本質(zhì)特性發(fā)揮了重要作用。如物質(zhì)跨膜運(yùn)輸?shù)姆绞?、影響光合與呼吸作用的因素、酶促反應(yīng)、生物進(jìn)化、生命活動(dòng)的調(diào)節(jié)、種群的數(shù)量變化、種間關(guān)系等均會(huì)以曲線圖反映相關(guān)知識(shí)，這類題型具有情境新、重能力、區(qū)分度高的特點(diǎn)。因此，曲線圖一直是高考的重點(diǎn)考查方式之一。

筆者從以下三方面對(duì)常見的幾種曲線類問(wèn)題進(jìn)行歸納，以期提高教學(xué)和復(fù)習(xí)效率。

1.速率類曲線

速率類曲線是描述過(guò)程變化的簡(jiǎn)潔數(shù)學(xué)模型，廣泛地應(yīng)用在與蛋白質(zhì)活力有關(guān)的生命現(xiàn)象的情境分析中，用速率類曲線最能直觀地反映相關(guān)蛋白質(zhì)的活力，如以酶活性為基礎(chǔ)的光合與呼吸速率、以載體蛋白活力為基礎(chǔ)的跨膜運(yùn)輸速率等。

1.1 物質(zhì)跨膜運(yùn)輸

這類題型借助曲線圖考查跨膜運(yùn)輸方式的特點(diǎn)。首先要明確坐標(biāo)含義，其次厘清曲線變化趨勢(shì)及區(qū)別，最后是找到曲線與各種運(yùn)輸方式特征的匹配點(diǎn)，如此才能快速準(zhǔn)確地判斷。

【例1】圖1 中曲線a、b 表示物質(zhì)跨（穿）膜運(yùn)輸?shù)膬煞N方式，下列表述正確的是 （ ）

圖1

A.維生素D 不能以a 方式進(jìn)入小腸上皮細(xì)胞

B.與方式a 有關(guān)的載體蛋白覆蓋于細(xì)胞膜表面

C.方式b 的最大轉(zhuǎn)運(yùn)速率與載體蛋白數(shù)量有關(guān)

D.降低細(xì)胞供氧量對(duì)a 和b 的轉(zhuǎn)運(yùn)速率均有影響

【答案】C

【點(diǎn)睛】有飽和現(xiàn)象為需要某種功能蛋白參與的運(yùn)輸方式，無(wú)飽和現(xiàn)象的物質(zhì)跨膜運(yùn)輸方式是自由擴(kuò)散。另外，胞吞胞吐、囊泡運(yùn)輸及核孔的大分子運(yùn)輸?shù)染枰嚓P(guān)功能蛋白參與，也會(huì)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。

1.2 酶

考查“酶”相關(guān)考點(diǎn)的試題多以坐標(biāo)曲線圖為背景，主要考查溫度等條件對(duì)酶活性的影響及學(xué)生對(duì)圖文知識(shí)轉(zhuǎn)化的綜合能力，常以分析曲線變化原因及對(duì)策的題型為主，深度考查時(shí)會(huì)涉及競(jìng)爭(zhēng)性抑制和非競(jìng)爭(zhēng)性抑制曲線及原理，除此之外個(gè)別曲線會(huì)另辟蹊徑考查酶的本質(zhì)。

【例2】圖2 表示酶活性與溫度的關(guān)系。下列敘述正確的是 （ ）

圖2

A.當(dāng)溫度為t2時(shí)，該反應(yīng)的活化能最高

B.當(dāng)反應(yīng)物濃度提高時(shí)，t2對(duì)應(yīng)的數(shù)值可能會(huì)增加

C.溫度在t2時(shí)比在t1時(shí)更適合酶的保存

D.酶的空間結(jié)構(gòu)在t1時(shí)比t3時(shí)破壞更嚴(yán)重

【答案】B

【點(diǎn)睛】酶的最適溫度絕對(duì)不是某一固定值，而是受特定的酶促反應(yīng)條件影響的，如底物濃度、pH 等。酶具有最適溫度是所有酶的固有屬性沒(méi)錯(cuò)，但絕不可把這一數(shù)值固定化。

1.3 光合作用和呼吸作用

光合作用和呼吸作用的曲線可以單獨(dú)考查，也可以綜合在一起考查，后者只是情境復(fù)雜了些，需要厘清兩者的邏輯關(guān)系，通過(guò)仔細(xì)分析，以某種物質(zhì)的量變表示出來(lái)即可。由于不論是呼吸作用還是光合作用，基本上都是以分析細(xì)胞及以上生命系統(tǒng)層次的生物材料為對(duì)象，所以務(wù)必分析清楚不同條件對(duì)兩種代謝過(guò)程的影響大小，這樣才能做出正確判斷。

【例3】（原創(chuàng)）圖3 為某一植物在不同實(shí)驗(yàn)條件下測(cè)得的凈光合速率，下列敘述分析錯(cuò)誤的是 （ ）

A.曲線起點(diǎn)為負(fù)值，表示植物進(jìn)行呼吸作用不進(jìn)行光合作用

B.若橫坐標(biāo)是溫度，甲、乙曲線早期重合可能是實(shí)驗(yàn)的無(wú)關(guān)變量不適宜導(dǎo)致

C.若橫坐標(biāo)是光照強(qiáng)度，甲表示適宜溫度，乙表示較低溫度

D.若該植物的凈光合速率為零，其葉片和根的凈光合速率卻不為零

【答案】B

【點(diǎn)睛】光合速率曲線分析時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注起點(diǎn)、交點(diǎn)、飽和點(diǎn)及其之間的數(shù)量關(guān)系，而這些問(wèn)題的準(zhǔn)確解答又必須建立在曲線形成原因的細(xì)胞水平上的分析，因此，光合速率復(fù)習(xí)時(shí)，曲線分析必須結(jié)合細(xì)胞模型圖。另外，多曲線的分析要遵循實(shí)驗(yàn)單一變量及無(wú)關(guān)變量適宜且相同原則。

2.相對(duì)數(shù)量類曲線

如果研究重點(diǎn)是生命現(xiàn)象的狀態(tài)量變化，相對(duì)數(shù)量曲線則更為直觀，這類題型主要集中在類似酶促反應(yīng)類問(wèn)題（包括酶促反應(yīng)、光合作用與呼吸作用）、滲透作用（原生質(zhì)體體積變化或者細(xì)胞液濃度變化）、進(jìn)化的實(shí)質(zhì)（基因頻率變化）、生命活動(dòng)調(diào)節(jié)（激素變化、電位變化）及種群數(shù)量變化問(wèn)題（增長(zhǎng)曲線等）等方面。相對(duì)數(shù)量曲線要比速率曲線簡(jiǎn)單一些，抓住始末點(diǎn)、拐點(diǎn)、斜率等信息基本就能對(duì)相關(guān)生命現(xiàn)象做出科學(xué)合理的分析，下面選擇上述相對(duì)數(shù)量曲線中，幾種最為常見的曲線圖示例進(jìn)行分析。

2.1 酶促反應(yīng)類（光合作用與呼吸作用）

酶促反應(yīng)類的相對(duì)數(shù)量曲線除可以考查相關(guān)物質(zhì)的量變，也可考查該曲線的導(dǎo)函數(shù)曲線——速率問(wèn)題，分析時(shí)須注意兩個(gè)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，即可正確作答。

【例4】（2018 年，天津卷，第5 題）為探究酵母菌的呼吸方式，在連通CO2和O2傳感器的100 mL 錐形瓶中，加入40 mL 活化酵母菌和60 mL 葡萄糖培養(yǎng)液，密封后在最適溫度下培養(yǎng)。培養(yǎng)液中O2和CO2相對(duì)含量變化如圖4。有關(guān)分析錯(cuò)誤的是 （ ）

圖4

A t1→t2，酵母菌的有氧呼吸速率不斷下降

B.t3時(shí)，培養(yǎng)液中葡萄糖的消耗速率比t1時(shí)快

C.若降低10℃培養(yǎng)，O2相對(duì)含量達(dá)到穩(wěn)定所需時(shí)間會(huì)縮短

D.實(shí)驗(yàn)后的培養(yǎng)液濾液加入適量酸性重鉻酸鉀溶液后變成灰綠色

【答案】C

【點(diǎn)睛】酶促反應(yīng)速率若以相關(guān)物質(zhì)的相對(duì)含量表示，需要關(guān)注曲線斜率變化。

2.2 生命活動(dòng)調(diào)節(jié)

有關(guān)調(diào)節(jié)部分的曲線模型集中在動(dòng)作電位及協(xié)同（拮抗）關(guān)系等方面，主要以調(diào)控機(jī)理、過(guò)程變化、曲線斜率、極值比較、實(shí)驗(yàn)分析與設(shè)計(jì)等為主，難度逐漸加深，綜合性試題都具有明顯的進(jìn)階性問(wèn)題設(shè)置，注重科學(xué)思維和科學(xué)探究等能力的考查。

【例5】（2018 年，江蘇卷，第11 題）圖5 是某神經(jīng)纖維動(dòng)作電位的模式圖，下列敘述正確的是 （ ）

圖5

A.K+的大量?jī)?nèi)流是神經(jīng)纖維形成靜息電位的主要原因

B.bc 段Na+大量?jī)?nèi)流，需要載體蛋白的協(xié)助，并消耗能量

C.cd 段Na+通道多處于關(guān)閉狀態(tài)，K+通道多處于開放狀態(tài)

D.動(dòng)作電位大小隨有效刺激的增強(qiáng)而不斷加大

【答案】C

【點(diǎn)睛】動(dòng)作電位及靜息電位主要與細(xì)胞內(nèi)外的K+和Na+有關(guān)，也會(huì)受其他帶電粒子影響，如Cl-等，但不是主要原因，在表述時(shí)需要注意。一次動(dòng)作電位造成的K+和Na+移動(dòng)量相對(duì)整個(gè)細(xì)胞內(nèi)外K+和Na+總量來(lái)說(shuō)極其微小，既不會(huì)改變K+和Na+的內(nèi)外分布，也不會(huì)改變K+和Na+的跨膜方式。另外，個(gè)別題型另辟蹊徑，橫坐標(biāo)是距刺激點(diǎn)的距離，此類圖形形成的生理過(guò)程正好與該圖相反，需要注意?？傊瑥?fù)習(xí)教學(xué)中，教師需要把所學(xué)模型講清、講透，在具體的情境應(yīng)用中厘清概念，適當(dāng)轉(zhuǎn)換思路，做到靈活運(yùn)用。

圖6

2.3 種群數(shù)量變化

此類曲線模型是最典型的數(shù)學(xué)模型的建模與應(yīng)用范例，模型曲線的產(chǎn)生情境、建模思想、數(shù)學(xué)表達(dá)式及對(duì)應(yīng)曲線、二階曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系等是考查的高頻考點(diǎn)，應(yīng)充分理解模型曲線產(chǎn)生的情境及數(shù)學(xué)表達(dá)式，運(yùn)用邏輯思維，正反向演繹推理可得正確結(jié)果。

【例6】（原創(chuàng)）研究團(tuán)隊(duì)對(duì)某一自然水域中的鱖魚種群進(jìn)行了持續(xù)研究，得到了以下數(shù)據(jù)，相關(guān)分析不正確的是 （ ）

A.有害動(dòng)物及有益動(dòng)物的種群數(shù)量都應(yīng)控制在K/2為佳

B.出生率和死亡率是影響魚群種群密度變化的直接原因

C.平均增長(zhǎng)量、凈補(bǔ)充量及種群增長(zhǎng)率出現(xiàn)最大值的時(shí)間不同

D.魚個(gè)體平均增長(zhǎng)量與魚群數(shù)量呈反比是由于生存壓力逐漸增大

【答案】A

【點(diǎn)睛】“S”型曲線形成的最終原因是環(huán)境資源有限，可以有多種表示方式，如個(gè)體的平均增長(zhǎng)量、個(gè)體食物或者空間獲取量、種群增長(zhǎng)率、凈補(bǔ)充量等，雖然形式多樣，情境卻是一樣，分析時(shí)要抓住本質(zhì)。

2.4 群落與生態(tài)系統(tǒng)

群落與生態(tài)系統(tǒng)中的相關(guān)曲線基本以反映種間關(guān)系為主的邏輯性曲線為主，沒(méi)有固定模型，曲線形式變化較多，但都具有可依托的明顯可辯的邏輯理論，如捕食關(guān)系、競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系、動(dòng)植物物種多樣性之間的關(guān)系、物種豐富度與演替的關(guān)系、物種多樣性與穩(wěn)定性的關(guān)系、收割理論與物種多樣性關(guān)系等，理解清楚這些基本的生物學(xué)邏輯關(guān)系之后此類型曲線分析對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)都屬于較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

【例7】（2017 年，天津卷，第7 題節(jié)選）大興安嶺某林區(qū)發(fā)生中度火燒后，植被演替過(guò)程如圖7。

圖7

據(jù)圖回答：

（2）火燒15 年后，草本、灌木豐富度的變化趨勢(shì)均為________________________________________________________________________。

（4）用樣方法調(diào)查群落前，需通過(guò)逐步擴(kuò)大面積統(tǒng)計(jì)物種數(shù)繪制“種 -面積”曲線，作為選取樣方面積的依據(jù)。如圖8 是該林區(qū)草本、灌木、喬木的相應(yīng)曲線。據(jù)圖分析，調(diào)查喬木應(yīng)選取的最小樣方面積是________________________。

圖8

【答案】（2）下降后保持相對(duì)穩(wěn)定（4）S3

【點(diǎn)睛】群落演替的動(dòng)力來(lái)自生存斗爭(zhēng)，其中優(yōu)勢(shì)種是演替的主角，獲取資源能量更強(qiáng)的物種依次崛起，優(yōu)勢(shì)種不斷易主，但后一優(yōu)勢(shì)種不是完全替代前一優(yōu)勢(shì)種，只是在數(shù)量和空間分布上占據(jù)絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，這也是隨著演替進(jìn)展物種豐富度不斷增大的原因。當(dāng)然，演替方向也是相對(duì)的，如退化的演替——荒漠化等，物種豐富度則不斷降低，甚至消亡。在用樣方法調(diào)查植物豐富度的時(shí)候，應(yīng)考慮不同植物的分布情況，選擇能夠包含該類植物所有種類的最小樣方為佳。

3.曲線模型的構(gòu)建與應(yīng)用

3.1 模型曲線的應(yīng)用

綜合模型曲線主要是各種具有相似變化規(guī)律曲線的求同思想產(chǎn)物，除了理解相同曲線背后的不同原理之外，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的高階理性思維能力，有大道至簡(jiǎn)這樣的理性思維，更應(yīng)該理解生命現(xiàn)象中的變化與穩(wěn)態(tài)思想。

【例8】（原創(chuàng)）下列四種現(xiàn)象中，可以用圖9 表示的是 （ ）

圖9

A.在適宜條件下光合作用強(qiáng)度隨CO2含量的變化

B.條件適宜、底物充足時(shí)反應(yīng)速率隨酶濃度的變化

C.一個(gè)細(xì)胞周期中一條染色體DNA 含量隨時(shí)間的變化

D.某種入侵生物在理想條件下種群數(shù)量隨時(shí)間的變化

【答案】A

【點(diǎn)睛】本題主要考查相關(guān)生理過(guò)程中的數(shù)量變化趨勢(shì)，既有微觀的細(xì)胞代謝，也有宏觀的種群變化，需要較強(qiáng)的獲取信息和情境應(yīng)用能力。學(xué)生需要注意曲線的起點(diǎn)、斜率、飽和點(diǎn)等，依據(jù)相關(guān)變化特征，對(duì)應(yīng)正確的曲線模型。

3.2 新情境下曲線的構(gòu)建與分析

【例9】某研究團(tuán)隊(duì)對(duì)新研發(fā)成功的轉(zhuǎn)基因玉米光合速率進(jìn)行了相關(guān)檢測(cè)，獲得數(shù)據(jù)如下，葉片凈光合速率（Pn，以CO2吸收速率表示）與胞間CO2濃度（Ci）的日變化曲線如圖10，葉面積系數(shù)（單位土地面積上的葉面積總和）與植物群體光合速率、呼吸速率及干物質(zhì)積累速率之間的關(guān)系如圖11。請(qǐng)分析回答：

圖10

（1）據(jù)圖可知，與11:00 時(shí)相比，13:00 時(shí)葉綠體中合成C3的速率___________；Ci 的日變化曲線主要受__________影響。

（2）由圖11 分析可知，植物群體光合速率、呼吸速率及干物質(zhì)積累速率之間的關(guān)系可表示為____________。

圖11

（3）結(jié)合圖10 和圖11，在其他條件適宜且相同情況下，當(dāng)葉面積系數(shù)分別在a、b 兩點(diǎn)時(shí)，分析葉片相應(yīng)的Pn 值大小關(guān)系。

【答案】（1）更快 光照強(qiáng)度（2）植物群體光合速率=呼吸速率+干物質(zhì)積累速率（3）葉面積系數(shù)為a 時(shí)，凈光合速率最大，比葉面積系數(shù)為b 時(shí)的凈光合速率更高，而Pn 值可直接反映凈光合速率大小，故葉面積系數(shù)a 點(diǎn)時(shí)的Pn 值大于b 點(diǎn)對(duì)應(yīng)值。

【點(diǎn)睛】新情境下曲線的構(gòu)建與分析主要從兩個(gè)方面推陳出新：一是曲線圖的形式新，如新概念對(duì)應(yīng)的多曲線共同出現(xiàn)；二是分析對(duì)象新，如選用生命系統(tǒng)不同層次的實(shí)驗(yàn)材料。這些表面新穎的情境考查的生物學(xué)原理及分析方法卻都是一樣的，找準(zhǔn)模型與方法，合理分析即可。

綜上，數(shù)學(xué)模型在生物學(xué)乃至其他理科學(xué)科的應(yīng)用，均是一種分析表面現(xiàn)象的工具，通過(guò)分析某一生理過(guò)程中相關(guān)物質(zhì)的數(shù)量變化以反映該過(guò)程，歸納為兩種方法：過(guò)程量分析和狀態(tài)量分析，常以速率和相對(duì)含量表示，表面上來(lái)看，兩者不同，究其數(shù)學(xué)本質(zhì)而言，只是導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，實(shí)際反映的是同一過(guò)程的不同方法。師生要做的就是厘清試題所給的新情境，鞭辟入里，理性思考，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即可準(zhǔn)確而高效地分析應(yīng)用。