析彈簧檁型 悟三個(gè)性質(zhì)

張海軍

彈簧是高考物理試題中的經(jīng)典模型之一，它常與力的平衡、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系等知識(shí)結(jié)合在一起，考查學(xué)生的學(xué)科思維能力。在高中階段我們研究的輕彈簧（質(zhì)量不計(jì)）是一種理想化的物理模型。輕彈簧因形變量的變化而導(dǎo)致其彈力、彈性勢(shì)能等物理量也隨之發(fā)生變化，并表現(xiàn)出可變性、漸變性、對(duì)稱性三個(gè)重要的性質(zhì)。下面逐一舉例說(shuō)明輕彈簧的這三個(gè)性質(zhì)在解決相關(guān)物理問(wèn)題中的具體應(yīng)用。

一、可變性

可變性是指在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力滿足胡克定律F=kx，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，z為彈簧的形變量（伸長(zhǎng)量或壓縮量）。由胡克定律可知，彈簧彈力與形變量成正比，當(dāng)彈簧的形變量不同時(shí)，彈簧彈力也就不同。此外，彈簧彈性勢(shì)能的大小也與形變量有關(guān)（Ek=1/2kx2），當(dāng)彈簧的形變量不同時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能也不同。

例1 （2018年高考全國(guó)工卷）如圖1所示，輕彈簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物塊P，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用一豎直向上的力F作用在物塊P上，使其向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。以x表示物塊P離開(kāi)靜止位置的位移，在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)前，如圖2所示的表示F和z關(guān)系的圖像可能正確的是（? ? ）。

解析：無(wú)外力F作用時(shí)，物塊P靜止，根據(jù)二力平衡得mg=kx0，解得彈簧的壓縮量x0=mg/k;有外力F作用時(shí)，物塊P向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，對(duì)物塊P進(jìn)行受力分析，如圖3所示，根據(jù)牛頓第二定律得F+F彈-mg =ma，又有F彈=k（x0一x），解得F=ma十kx。

答案：A

點(diǎn)評(píng)：物塊P向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，彈簧的形變量發(fā)生了改變，彈力也隨之改變，明確了彈簧彈力的可變性，才能利用胡克定律和牛頓第二定律得出F-x圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。

二、漸變性

漸變性是指彈簧產(chǎn)生的彈力是連續(xù)變化的，只能漸變而不會(huì)發(fā)生突變（彈簧被剪斷的情況除外）。

側(cè)2 （2015年高考海南卷）如圖4所示，物塊a、b、c的質(zhì)量相同，物塊a和b、b和c之間用完全相同的輕彈簧S1和S2相連，通過(guò)系在物塊a上的細(xì)線懸掛于固定點(diǎn)O，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)將細(xì)線剪斷，將物塊a的加速度大小記為a1，輕彈簧S1和S2相對(duì)于原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量分別為△l1和△l2，重力加速度大小為g。在剪斷細(xì)線瞬間（? ? ）。

A.a1=3g

B.a1=0

C.△l1=2△l2

D.△l1=△l2

解析：設(shè)三個(gè)物塊的質(zhì)量均為m，在剪斷細(xì)線的瞬間，細(xì)線的拉力立即消失，但彈簧還沒(méi)來(lái)得及發(fā)生形變，彈力不會(huì)突變，因此物塊a受到重力mg和彈簧S1的拉力T1，如圖5所示。剪斷細(xì)線前，以由物塊b、c和彈簧S2組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，根據(jù)二力平衡得T1=2mg。因此剪斷細(xì)線的瞬間物塊a受到的合力F=

mg+T1 =3mg，加速度a1=F/m=3g，選項(xiàng)A

答案：AC

點(diǎn)評(píng)：求解本題需要知道剪斷細(xì)線的瞬間，彈簧還沒(méi)來(lái)得及發(fā)生形變，彈力不會(huì)發(fā)生突變，仍然保持原來(lái)的大小，而細(xì)線的拉力卻突變?yōu)榱恪?/p>

三、對(duì)稱性

對(duì)稱性是指當(dāng)彈簧的壓縮量與伸長(zhǎng)量相等時(shí)，根據(jù)胡克定律F=kx可知，彈簧彈力的大小是相等的;根據(jù)Ep=1/2kx2可知，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能也是相等的。因此輕質(zhì)彈簧在伸長(zhǎng)或縮短相同的長(zhǎng)度時(shí)，彈力大小和彈性勢(shì)能具有對(duì)稱性。

例3 （2016年高考全國(guó)Ⅱ卷）如圖6所示，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連。現(xiàn)將小球從M點(diǎn)由靜止釋放，它在下降的過(guò)程中經(jīng)過(guò)了N點(diǎn)。已知在M、N兩點(diǎn)彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π/2。在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中（? ?）。

A.彈力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功

B.有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度

C.彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，彈力對(duì)小球做功的功率為零

D.小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于其在M、N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差

解析：根據(jù)在M、N兩點(diǎn)彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<π/2可知，小球在M點(diǎn)時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)，小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，且彈簧的壓縮量等于伸長(zhǎng)量。因此在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧先被壓縮至最短（設(shè)為A點(diǎn)），再恢復(fù)至原長(zhǎng)（設(shè)為B點(diǎn)），然后又被拉伸，彈簧彈力對(duì)小球先做負(fù)功再做正功又做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。在A點(diǎn)，彈簧被壓縮至最短，小球的受力情況如圖7所示，則F合=ma =mg，解得a=g。在B點(diǎn)，彈簧恢復(fù)至原長(zhǎng)，小球的受力情況如圖8所示，則F合=mg，解得a=g。因此在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度，選項(xiàng)B正確。在A點(diǎn)，彈簧長(zhǎng)度最短，F(xiàn)彈垂直于桿，則P彈一F彈vcos 90°=0，選項(xiàng)C正確。在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中，由小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則Ek增=Ep減，即EkN -O=E重M - E重N+E彈M- E彈N。因?yàn)樵贛、N兩點(diǎn)彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，所以彈簧的形變量也相等。根據(jù)彈簧的對(duì)稱性可知，其彈性勢(shì)能也相等，即E彈N=E彈M。整理得EkN=E重M- E重N，選項(xiàng)D正確。

答案：BCD

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閺椈蓮椓Φ膶?duì)稱，我們可以分析清楚小球的受力情況，尤其是彈力的變化情況;因?yàn)閺椈蓮椥詣?shì)能的對(duì)稱，我們可以利用機(jī)械能守恒定律（動(dòng)能定理）求出小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與重力勢(shì)能的關(guān)系。

方法與總結(jié)

彈簧是高中物理試題中的一種常見(jiàn)模型，以它為載體的物理情景一般比較復(fù)雜，且涉及的知識(shí)點(diǎn)也比較多。遇到涉及彈簧模型的物理問(wèn)題，需要從彈簧的形變量人手，關(guān)注其可變性、漸變性、對(duì)稱性這三個(gè)重要的性質(zhì)，正確地分析物體的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況和能量變化情況，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)規(guī)律列式求解。

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖9所示，一輕質(zhì)彈簧的一端固定在傾角為θ的固定光滑斜面的底部，另一端和質(zhì)量為m的小物塊a相連，質(zhì)量為詈3/5m的小物塊b緊靠小物塊a靜止在斜面上?，F(xiàn)施加 沿斜面向上的力F拉小物塊b，使小物塊b始終做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。彈簧的形變量始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g。用z表示小物塊b的位移，如圖10所示的表示F隨x變化關(guān)系的圖像正確的是（? ? ）。

2.如圖11甲所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的木板水平放置，可繞左端的轉(zhuǎn)軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，左端固定一原長(zhǎng)為L(zhǎng)/2的彈簧，一質(zhì)量為m的小滑塊壓縮彈簧到圖甲中的A點(diǎn)（小滑塊與彈簧不拴接），O、A兩點(diǎn)間的距離為L(zhǎng)/4。將小滑塊由靜止釋放后，木板不動(dòng)，小滑塊恰能到達(dá)木板最右端。將木板繞O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)37°后固定，如圖11乙所示，仍將小滑塊從A點(diǎn)由靜止釋放，小滑塊最多運(yùn)動(dòng)到離O點(diǎn)3L/4的B點(diǎn)。已知彈簧的彈性勢(shì)能Ep=1/2k（△x）2，其中k為彈簧的勁度系數(shù)，△z為彈簧的形變量。sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列說(shuō)法中正確的是（? ? ）。

A.小滑塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為6/7

B.小滑塊在A點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為1/2mgL

C.木板水平放置時(shí)，小滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大動(dòng)能為13/29mgL

D.木板水平放置時(shí)，小滑塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大動(dòng)能為25/56mgL

3.如圖12所示，固定光滑斜面的傾角為θ，A、B兩小球的質(zhì)量相等，用輕質(zhì)彈簧相連，通過(guò)系在小球A上的細(xì)線固定于斜面頂端。系統(tǒng)靜止時(shí)，彈簧與細(xì)線均平行于斜面。在細(xì)線被燒斷的瞬間，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.兩個(gè)小球的瞬時(shí)加速度均沿斜面向下，大小均為gsinθ

B.小球B的瞬時(shí)加速度沿斜面向下，小于gsinθ

C.小球A的瞬時(shí)加速度沿斜面向下，大小為2gsinθ

D.彈簧有收縮的趨勢(shì)，小球B的瞬時(shí)加速度向上，小球A的瞬時(shí)加速度向下，兩個(gè)小球的瞬時(shí)加速度都不為零

4.如圖13所示，半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，AB、CD是圓環(huán)相互垂直的兩條直徑，C、D兩點(diǎn)與圓心O等高。一個(gè)質(zhì)量為m的光滑小球套在圓環(huán)上，一根輕質(zhì)彈簧一端系在小球上，另一端固定在P點(diǎn)，P點(diǎn)在圓心O的正下方某處。小球從圓環(huán)的最高點(diǎn)A由靜止開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蛳禄阎獜椈傻脑L(zhǎng)為R，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g。下列說(shuō)法中正確的有（? ?）。

A.彈簧長(zhǎng)度等于R時(shí)，小球的動(dòng)能最大

B.小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為√2gR

C.小球在A、B兩點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力差為4mg

D.小球在從A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)的過(guò)程中，彈簧對(duì)小球做的功等于小球機(jī)械能的增加量

參考答案：1.C 2.AD 3.C 4.CD