如何將模型思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)

施金花

摘 要： 將模型思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的思路與方法，促進(jìn)其學(xué)習(xí)能力的進(jìn)一步提升.教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律以及具體教學(xué)內(nèi)容，采取針對(duì)性的融入策略，使學(xué)生牢固的掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并靈活應(yīng)用于解題中.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué);模型思想;融入;教學(xué)

中圖分類號(hào)： G632?????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A?????? 文章編號(hào)： 1008-0333（2021）35-0004-02

模型思想是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題的思想.在該思想指引下可進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，迅速的找到解決問題的思路.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生剖析相關(guān)的理論知識(shí)，做好數(shù)學(xué)模型的歸納，尤其展示模型思想在解題中的具體應(yīng)用，進(jìn)一步提高學(xué)生的靈活應(yīng)用能力.

一、剖析模型理論

初中數(shù)學(xué)涉及有很多的模型，如一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、反比例函數(shù)模型等.教學(xué)中應(yīng)通過列舉具體的實(shí)例為學(xué)生講解數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問題的思路與方法以及應(yīng)用注意事項(xiàng)，如構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)應(yīng)確定正確的自變量范圍.同時(shí)為增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用模型思想解題的自信心，應(yīng)注重為學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生所學(xué)的理論知識(shí).

例如，在講解二次函數(shù)模型時(shí)，為學(xué)生展示如下問題情境：某藥店新進(jìn)一批消毒液，每瓶的進(jìn)價(jià)為10元，在銷售中發(fā)現(xiàn)銷售量y（瓶）和每瓶銷售價(jià)x（元）存在一次函數(shù)關(guān)系（其中10≤x≤21且x為正數(shù)），當(dāng)售價(jià)定位12元時(shí)，每天銷售量為90瓶;當(dāng)售價(jià)定為15元時(shí)，每天銷售量為75瓶.若每天的銷售利潤(rùn)為w元，則售價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大？

解答：該題先構(gòu)建銷售量y和售價(jià)x的函數(shù)模型，而后構(gòu)建每天利潤(rùn)和售價(jià)的函數(shù)模型.根據(jù)題意可知y=kx+b，根據(jù)已知條件不難求出k=-5，b=150，y=-5x+150，則w=（x-10）（-5x+150）=-5x2+200x-1500（10≤x≤21且x為正數(shù)），由二次函數(shù)性質(zhì)可得x=- b 2a =20時(shí)，w取得最大值500，即，每瓶的售價(jià)為20元時(shí)每天可獲得最大利潤(rùn)500元.

二、講解相關(guān)例題

初中數(shù)學(xué)課本中講解有最短路徑問題，實(shí)際上該問題屬于“將軍飲馬模型”.講解該模型時(shí)注重給學(xué)生預(yù)留空白的時(shí)間，要求學(xué)生認(rèn)真揣摩求解最短路徑的思路，實(shí)際能夠真正的頓悟、理解與掌握.同時(shí)，為更好的鍛煉學(xué)生的學(xué)以致用能力，完成該模型的講解后為學(xué)生講解經(jīng)典的例題，進(jìn)一步拓展其視野，更好的把握“將軍飲馬模型”的本質(zhì)，在以后的解題中能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變.例如，在課堂上為學(xué)生講解如下例題：

如圖1，△ABC為等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，BD=6，DC=2，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（）

A.8?? B.10?? C.12?? D.14

從“將軍飲馬”模型中獲得解題啟發(fā)，如圖2，過點(diǎn)C作CO⊥AB于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CO到C′，使得OC′=OC，連接DC′交AB于點(diǎn)P，連接CP.易知CP=C′P，∴PC+PD=C′P+PD，顯然當(dāng)C′、P、D三點(diǎn)處在同一條直線上時(shí)其之和最小.連接BC′，則由對(duì)稱性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，則BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，BC=BC′=8，由勾股定理可得DC′= BC′2+BD2 =10，選擇B項(xiàng).

三、加強(qiáng)專題訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使學(xué)生更好的掌握建模思想的應(yīng)用技巧，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的具體情況，以及數(shù)學(xué)模型的重要程度，積極組織學(xué)生加強(qiáng)相關(guān)的專題訓(xùn)練活動(dòng).通過訓(xùn)練使學(xué)生不斷的犯錯(cuò)、糾錯(cuò)，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)與理解，提高運(yùn)用模型思想解題的效率.如在講解反比例函數(shù)知識(shí)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注如下模型：如圖3所示，在y= k x 上存在一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥x軸與點(diǎn)B，則S△AOB= k 2 .該模型是初中數(shù)學(xué)各類測(cè)試以及中考的參考模型，教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生自行推導(dǎo)該模型的結(jié)論，與此同時(shí)向?qū)W生展示如下習(xí)題，及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，使學(xué)生能夠當(dāng)堂掌握該模型：

如圖4，點(diǎn)A為反比例函數(shù)y= 6 x 的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作AB⊥x軸，垂足為B，線段AB和反比例函數(shù)y=?2 x 的圖象交于點(diǎn)C，則△AOB的面積為（? ）.

A.4?? B.3?? C.2?? D.1

本題在在模型的基礎(chǔ)上有所延伸，能很好的考查學(xué)生對(duì)模型的理解程度.實(shí)際上，S△AOC=S△AOB-S△OCB，由模型中的結(jié)論可很快的計(jì)算出=S△AOB= 1 2 ×6=3，S△OCB= 1 2 ×2=1，∴S△AOC=3-1=2，選擇C項(xiàng).

四、重視學(xué)習(xí)總結(jié)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中為使模型思想更好的融入到教學(xué)之中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生做好學(xué)習(xí)的總結(jié)與反思，通過對(duì)常見問題的提煉與抽象，自行推導(dǎo)相關(guān)數(shù)學(xué)模型，并在解題中加以應(yīng)用.同時(shí)，能夠主動(dòng)的與其他學(xué)生交流學(xué)習(xí)心得，學(xué)習(xí)他人總結(jié)出的數(shù)學(xué)模型，更好的提高自身的解題能力.二次函數(shù)圖象的平移是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)，推導(dǎo)相關(guān)的模型，指引其以后更好的解題.在教師的指引下，學(xué)生總結(jié)出了如下模型：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）先轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+h）2+k，其圖象沿著x軸平移m個(gè)單位，沿著y軸平移n個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為y=a（x+h+m）2+k+n，其中沿x軸分別向左、向右平移時(shí)，m分別取正、負(fù);沿y軸分別向上、下右平移時(shí)n分別取正、負(fù)，簡(jiǎn)稱“上加下減，左加右減”.另外，點(diǎn)的平移也遵循該規(guī)律.為使學(xué)生體會(huì)到應(yīng)用該模型解題的便利，可要求學(xué)生應(yīng)用推導(dǎo)的模型解答如下習(xí)題：

將一段拋物線y=-x2+3x（0≤x≤3）向右平移9個(gè)單位，得到新拋物線和直線y=x+b有唯一公共點(diǎn)，則b的取值范圍是 .

根據(jù)總結(jié)的平移模型，由y=-x2+3xy=-（x- 3 2 ）2+ 9 4 ，由平移模型可知新得到的函數(shù)解析式為y=-（x- 3 2 -9）2+ 9 4 =y=-（x- 21 2 ）2+ 9 4 （9≤x≤12），將其和直線y=x+b聯(lián)立，令Δ=0，得到b=-8.同時(shí)，觀察平移后的圖象可求得b的取值范圍為-12≤b<-9.綜上b的取值范圍為b=-8或-12≤b<-9.

模型思想是一種重要的分析問題的思想，在初中數(shù)學(xué)占有重要地位.實(shí)踐中為使學(xué)生更好的掌握模型思想，能夠具體問題具體分析，提高其應(yīng)用模型思想學(xué)習(xí)的靈活性，掌握運(yùn)用模型思想的解題技巧，可按照理論的剖析、例題的講解、習(xí)題的訓(xùn)練、學(xué)習(xí)總結(jié)這一思路開展教學(xué)工作，實(shí)現(xiàn)模型思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的有效融合.

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[責(zé)任編輯：李 璟]