陀螺定向中子午線收斂角的計算方法

中鐵一局集團天津建設(shè)工程有限公司，天津 300000

1 子午線收斂角的概念

以真子午線為參考，坐標系縱軸X北端在其東側(cè)時，子午線收斂角為正，反之則為負。地面上的點緯度B和中央子午線的距離經(jīng)差ΔL決定了子午線收斂角的大小，計算其角值可以用如下近似計算公式：

在一個投影帶內(nèi)，高斯平面子午線收斂角的變化遵循一定規(guī)律。距離中央子午線越遠，收斂角越大，在中央子午線上收斂角等于零；距離赤道線越遠，收斂角越大，在赤道線上收斂角等于零。

2 坐標方位角的換算

陀螺儀北方向與真北方向間存在角度偏差，角度的偏差值就是陀螺儀的儀器常數(shù)，偏東為正、偏西為負。坐標北方向與真北方向間的角度偏差就是子午線收斂角，相對真北方向，坐標方位角偏東為正、偏西為負。陀螺北、真北、坐標北方向關(guān)系如圖1所示。陀螺北、真北、坐標北方向之間的角度關(guān)系可用如下公式表示：

圖1 陀螺北、真北、坐標北方向關(guān)系示意圖

式中：A為真北方位角；Δ為儀器常數(shù)；γ為子午線收斂角。

由此可知計算子午線收斂角γ是推算坐標方位角的第一步，其計算精度直接影響陀螺推算坐標方位角的精度。

3 子午線收斂角的計算

子午線收斂角如圖2所示，以真子午線為準，是真子午線與坐標縱線之間的夾角。坐標縱線東偏為正，西偏為負。

圖2 子午線收斂角概述圖

赫里斯托夫給出的展至第7次項的計算公式：

式中：t=tanB；η=e′×cos2B，e′為第二偏心率；B為緯度；L為經(jīng)差。

《控制測量學》中展至第5次項的計算公式：

式中：t=tanB；η=e′×cos2B，e′為第二偏心率；B為緯度；L為經(jīng)差。

《測量學》中的近似公式：

式中：γ為子午線收斂角；B為緯度；L為經(jīng)差。

《工程測量學》中的近似公式：

式中：y為測站點的橫坐標；N為卯酉圈曲率半徑，；e為第一偏心率。

在工程測量中，常用子午線收斂角的計算公式如下：

式中：γ子午線收斂角，′；y為點的橫坐標，km；K為系數(shù)。以縱坐標X（以km計）為引數(shù)，由子午線收斂角系數(shù)K值表中查取，子午線收斂角系數(shù)K值表如表1所示。

表1 子午線收斂角系數(shù)K值表

4 工程計算實例

以成都軌道交通17號線（一期）工程盾構(gòu)區(qū)間為例，平面坐標系統(tǒng)采用工程坐標系統(tǒng)，WGS84橢球，中央子午線為104°04′，投影面為490m（成都高程）。大地坐標系WGS-84橢球參數(shù)：長半徑a=6378137；短半徑b=6356752.3142；扁率α=1/298.2572236；第一偏心率e=0.0818191908425523；第二偏心率e′=0.0820944379493946。根據(jù)橢球參數(shù)可知已知點數(shù)據(jù)，已知點列表如表2所示。利用各公式計算洞外已知點D1718和洞內(nèi)檢測已知點C1146的子午線收斂角，計算結(jié)果如表3所示。分別使用公式（5）和公式（7）所計算的子午線收斂角來計算陀螺儀儀器常數(shù)和陀螺推算方位角，結(jié)果如表4、表5所示。

表2 已知點列表

表3 子午線收斂角計算結(jié)果

表4 陀螺儀儀器常數(shù)計算表

表5 陀螺推算方位角與平面坐標方位角差值表

5 結(jié)論

計算結(jié)果表明，在成都軌道交通7號線（一期）工程施工中，利用已知點數(shù)據(jù)計算子午線收斂角采用公式（5）計算的結(jié)果精度能達到0.001″，采用公式（7）計算的結(jié)果精度達到2″，計算坐標方位角精度均在0.1″級，根據(jù)項目施工已知點數(shù)據(jù)采用公式（5）和公式（7）均可保證足夠的計算精度。陀螺定向為隧道內(nèi)平面控制網(wǎng)聯(lián)測和開挖方向的正確性提供了檢測復(fù)核依據(jù)，陀螺定向適用于地下工程定向測量，同時為今后的施工提供了指導(dǎo)。