圓形獨(dú)立基礎(chǔ)在均布地基反力作用下的內(nèi)力分析

張龍君 張?zhí)m娣 郝云鋒 馬立勇 劉麗娟

(1.中材地質(zhì)工程勘查研究院有限公司，北京 100102；2.河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000)

1 引 言

目前風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)，以重力擴(kuò)展基礎(chǔ)為主流.樁基礎(chǔ)適用于地基承載力不足時(shí)；而巖石錨桿基礎(chǔ)只有在地質(zhì)條件較好，巖石強(qiáng)度和質(zhì)量等級(jí)較高的場(chǎng)地才有應(yīng)用；至于流行一時(shí)的P&H基礎(chǔ)(墩式基礎(chǔ))，因?yàn)楸粍?dòng)土壓力在循環(huán)荷載下的各種不確定性，目前已經(jīng)基本退出歷史舞臺(tái).

圓形重力擴(kuò)展基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，截面抗彎是重要的內(nèi)容.而抗彎承載力的計(jì)算，也決定了基礎(chǔ)底板的配筋量.目前僅有張浦陽(yáng)等曾對(duì)基礎(chǔ)內(nèi)力按照厚板理論進(jìn)行過(guò)分析[1].舊版的風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范[2]沒(méi)有圓形基礎(chǔ)的內(nèi)容.實(shí)際項(xiàng)目設(shè)計(jì)時(shí)大多參考煙囪設(shè)計(jì)規(guī)范[3]的相關(guān)內(nèi)容.然而風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)和中空的煙囪基礎(chǔ)兩者結(jié)構(gòu)差別較大，直接借用勢(shì)必造成很大的偏差.由于基礎(chǔ)截面較大，一般情況下結(jié)構(gòu)的抗剪均能滿足，但也有必要加以驗(yàn)算，防止剪切破壞.因此給出了剪力的計(jì)算公式.

在實(shí)際項(xiàng)目中，結(jié)構(gòu)分析和結(jié)構(gòu)計(jì)算往往是一體化的迭代過(guò)程.具體到風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析，是通過(guò)假定基礎(chǔ)底板的豎向應(yīng)力分布，根據(jù)彈性理論確定單位長(zhǎng)度范圍的徑向彎矩、切向彎矩和剪力.結(jié)構(gòu)計(jì)算可以認(rèn)為是利用這些彎矩和剪力，確定圓形基礎(chǔ)的截面厚度和錐度，以及配筋.如果截面過(guò)大，或者配筋過(guò)多，就需要調(diào)整基礎(chǔ)的半徑，這樣基底的反力也就發(fā)生變化，需要重新的迭代，得到新的內(nèi)力，再行配筋.本文的關(guān)注點(diǎn)就是通過(guò)理論分析，從基底反力出發(fā)得到基礎(chǔ)截面的內(nèi)力，以便于實(shí)際項(xiàng)目的工程師利用截面的內(nèi)力進(jìn)行截面設(shè)計(jì).

圖1 典型的風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)圖(簡(jiǎn)化為軸向荷載下基礎(chǔ)的反力分布)

需要強(qiáng)調(diào)的是，2019年版的風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范[5]中，只給出了徑向彎矩的簡(jiǎn)化公式，切向彎矩一律取徑向的一半.這樣處理有些粗略，因此本文探討了內(nèi)力的解析解的形式，改進(jìn)了規(guī)范的計(jì)算方法.

2 圓形基礎(chǔ)的幾何模型和荷載

2.1 幾何模型

典型的風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)如圖1所示.基礎(chǔ)一般為平面圓形，剖面則從外側(cè)到中央逐漸加厚，這樣反映了對(duì)于彎矩的變化的適應(yīng)，符合等強(qiáng)度設(shè)計(jì)的理念.

2.2 圓形基礎(chǔ)的荷載

基礎(chǔ)頂部的荷載有軸向力，彎矩，水平力.三個(gè)力可以等效為一個(gè)偏心的軸向力，這將產(chǎn)生梯形的基底反力.這樣的反力分布，如果求取解析解，在力學(xué)上和數(shù)學(xué)上比較復(fù)雜，所以工程上一般都將偏心荷載下的梯形反力等效為均布反力，以便于求解，而又能確保結(jié)構(gòu)的安全.

3 模型的微分方程

圖2 極坐標(biāo)內(nèi)力分量與坐標(biāo)相對(duì)關(guān)系

3.1 薄板假設(shè)和極坐標(biāo)

按照經(jīng)典的彈性理論，d/δ小于5～8時(shí)，為薄板.風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)的典型直徑為20m，底板厚度一般1～3m，所以可以認(rèn)為是薄板，采用彈性理論中的圓形薄板理論求解.

因?yàn)榛A(chǔ)為圓形的平面，所以采用極坐標(biāo)是比較恰當(dāng)?shù)倪x擇.圖2展示了極坐標(biāo)中內(nèi)力分量和坐標(biāo)的相對(duì)關(guān)系.

3.2 微分方程

為了簡(jiǎn)化公式，我們引入薄板的彎曲剛度D，單位kNm，量綱為L(zhǎng)2MT-2.對(duì)于確定的材料和厚度，抗彎剛度是確定的值.

(1)

式(1)中，E為混凝土的彈性模量，單位kPa;δ為板厚，單位m；μ為泊松比.

一般荷載情況下，極坐標(biāo)下的彈性薄板微分方程[4]可以表示為：

(2)

式(2)中，w為橫向位移變量，即撓度，是ρ和φ的函數(shù)，單位m；φ為極坐標(biāo)中的轉(zhuǎn)角，單位rad；ρ為極坐標(biāo)中的徑向坐標(biāo)，單位m；q為基底單位面積的反力，簡(jiǎn)稱基底反力，單位kPa.

實(shí)際的工況，一般是塔底受彎受壓組合荷載，這樣基礎(chǔ)底面的反力無(wú)疑是不均勻的.我們將偏心荷載等效為軸向荷載，這將使式(2)的求解大為簡(jiǎn)化.

均布基地反力作用下，位移w(ρ,φ)可以化簡(jiǎn)為w(ρ)，與φ無(wú)關(guān)，只與ρ有關(guān)系.因此偏微分方程式(2)將簡(jiǎn)化為微分方程：

(3)

常微分方程的解為：w=C1lnρ+C2ρ2lnρ+C3ρ2+C4+w1

(4)

對(duì)于均布荷載q，撓度的特解w1=B0ρ4，帶入式(3)，可知w1=q0ρ4/(64D)

(5)

截面彎矩和剪力為

(6)

圖3 基礎(chǔ)底板中央和臺(tái)柱交界面視為固接

4 基礎(chǔ)內(nèi)力的計(jì)算

4.1 邊界條件和求解

基礎(chǔ)的邊界情況如圖3，底部為凈反力，中央固接于臺(tái)柱部分.

1)中央圓形臺(tái)柱部分視為剛性固接，因此基礎(chǔ)底板可以視為中央開(kāi)孔薄板；

2)基礎(chǔ)底面反力假定均布(按凈反力考慮)；

3)基礎(chǔ)外邊緣視為自由端，與回填土無(wú)摩擦.

因此得到四個(gè)邊界條件，可以求解式(4)中的四個(gè)未知系數(shù)：

(7)

(8)

(9)

(10)

上述四個(gè)邊界條件整理為關(guān)于系數(shù)的方程組，如下：

(11)

混凝土結(jié)構(gòu)的泊松比取0.2時(shí)，可以求解得到彎矩的表達(dá)式

(12)

(13)

(14)

4.2 算例

圖4 Mρ、Mφ、Fsρ內(nèi)力對(duì)比

假定基礎(chǔ)中央臺(tái)柱半徑r1=2m，基礎(chǔ)底板半徑r2=10m，混凝土泊松比取0.2，基底凈反力-150kPa，可以求得基礎(chǔ)底板的內(nèi)力分布如圖4，可見(jiàn)，剪力和彎矩都是基礎(chǔ)外側(cè)為零，根部最高，而徑向彎矩變化較小.由此也可見(jiàn)基礎(chǔ)靠近外側(cè)的部分，切向彎矩取為徑向彎矩一半的做法[5]是不恰當(dāng)?shù)?

5 結(jié) 論

按照彈性力學(xué)的方法，求解圓形基礎(chǔ)在底部均勻荷載下的基礎(chǔ)內(nèi)力，物理意義明確.該方法改進(jìn)了現(xiàn)有規(guī)范[5]過(guò)于簡(jiǎn)化的不足，也避免了切向彎矩在整個(gè)截面都取為徑向彎矩一半的不恰當(dāng)假定，因此更符合結(jié)構(gòu)的力學(xué)實(shí)質(zhì).解析解形式的基礎(chǔ)內(nèi)力，可以直接用于后續(xù)的混凝土截面設(shè)計(jì)和配筋的工作，便于實(shí)際工程應(yīng)用，避免了每個(gè)項(xiàng)目建立有限元模型的繁重工作.