學好高中數(shù)學的一點思考

甘肅 陜西

筆者從事高中數(shù)學教學已經(jīng)三十多年，并且教出了一些高材生，但是對于如何讓高中生輕松愉快地學好數(shù)學，還是感到一籌莫展.眾所周知，初中數(shù)學只要練熟，就能得高分，但是高中數(shù)學只靠“刷題”還是遠遠不夠的，全國名師葛軍老師也不贊成無謂的“刷題”.根據(jù)教學經(jīng)驗，筆者總結了學好高中數(shù)學的三字訣:背，悟，練.

一、“背”

一是要在理解的基礎上，靈活記憶，可起到巧“背”的目的.要背定義、定理、公理、公式和一些常用的二級結論，只有將這些基礎知識爛熟于心，才能在解題的時候想起要用的內容，反過來做題的過程也是對這些基礎知識加深理解的過程.如2016年全國卷Ⅱ理科第12題的條件f(-x)=2-f(x)，如果不熟悉下面的二級結論“對于函數(shù)f(x)，如果滿足f(a+x)+f(a-x)=2b(即f(2a-x)+f(x)=2b)，則函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,b)對稱”，那么就不知道該題的題意是已知函數(shù)f(x)的圖象關于點(0,1)對稱，也就不會靈活運用函數(shù)圖象的對稱性去完美的解決問題，只能靠“蒙”.

二是要“背”每個知識點的命題方向有哪些，并梳理出解決各類題型的常用方法.這樣做雖然看起來有點死板，但是有助于培養(yǎng)學生歸納總結的能力，不然遇到每個題目都是新問題，需要重新思考，這樣就浪費了時間.由于高考數(shù)學考試僅有120分鐘時間，所以要考出好成績，絕對不能浪費每一分鐘.例如:在解三角形問題中，如果已知三角形的一邊及其對角，那么目標問題的設置常有兩類:一類是求三角形的面積的最大值(詳見例1)；另一類是求解與邊有關的問題(詳見例2).

【例1】(2013·全國卷Ⅱ理·17)△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若b=2,求△ABC面積的最大值.

解析:(Ⅰ)因為a=bcosC+csinB，所以由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB，則sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，

即sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，化簡得cosBsinC=sinCsinB.

【例2】(2020·全國卷Ⅱ理·17)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若BC=3，求△ABC周長的最大值.

一般地，與邊長有關的問題，還有如求2b-c,b2+c2等取值范圍的問題，采用正弦定理轉化為三角函數(shù)問題討論比較方便.

三是要“背”一些題型的常用解題方法和技巧.要考出好成績，既要做“學霸”，又要做“考霸”.全國名師四川代爾寧老師說:他和一些高考命題人交談過，一些高考題，尤其是選擇題和填空題基本上都會有其獨特的解題方法.基于此，教師在解題教學過程中，既要教給學生常用的通性通法，又要有意識地去引導學生掌握一些解題的高招妙法，這樣不但讓學生牢固掌握了基礎知識，又啟迪開發(fā)了學生的智慧，同時可以提高學生處理非解答題的速度與準確性.誠如此，我們何樂而不為呢？

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A.30° B.45°

C.60° D.120°

二、“悟”

初中數(shù)學一般情況下都是已知條件和要求的結論非常明確，只要功底扎實，解答問題一般不會出錯；但是高中數(shù)學的已知條件和要求的結論有的非常隱蔽，需要自己“悟”.

【例4】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x>0時，函數(shù)為f(x)=lnx，則函數(shù)y=f(x)的零點個數(shù)是

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A.1 B.2

C.3 D.4

剖析:這道題是一道非常簡單的題目，但出錯率不低，就是沒有“悟”出隱含條件:若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)=0.許多學生只考慮奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，而得到2個零點，故選B，這是個錯誤答案.實際上，本題應該選C.

【例5】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)，且函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)成中心對稱，若實數(shù)a,b滿足不等式f(4a-a2)+f(b2-2b-3)≤0，則當2≤a≤4時，a2+(b-1)2的最大值為________.

解析:定義在R上的函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)，且因為函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)成中心對稱，所以函數(shù)y=f(x)的圖象關于坐標原點對稱，所以y=f(x)為奇函數(shù).于是，根據(jù)不等式f(4a-a2)+f(b2-2b-3)≤0，先由y=f(x)為奇函數(shù)得f(b2-2b-3)≤f(a2-4a)，再由y=f(x)為增函數(shù)得b2-2b-3≤a2-4a，所以a2+(b-1)2≤2a2-4a+4.

從而，當2≤a≤4時，根據(jù)2a2-4a+4≤2×42-4×4+4=20，可得a2+(b-1)2≤20.故所求a2+(b-1)2的最大值為20.

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A.{1} B.(-∞,-2]∪[4,+∞)

C.[-4,2] D.[-2,4]

因為函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于點(1,0)中心對稱，所以函數(shù)f(x)圖象關于點(0,0)中心對稱，即函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù).

又因為實數(shù)s,t滿足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2)在1≤s≤4時成立，所以f(s2-2s)≤f(t2-2t)，即s2-2s≥t2-2t.又因為當1≤s≤4時，s2-2s∈[-1,8]，所以t2-2t≤-1，即(t-1)2≤0，所以t=1,故選A.

上面兩道題表面上是函數(shù)y=f(x+1)的圖象關于點(-1,0)成中心對稱，函數(shù)y=f(x-1)的圖象關于點(1,0)成中心對稱，但是通過反思得出它們實際上是一回事，均表示函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù).進一步提煉可給出其隱藏的具有一般性的內在規(guī)律:函數(shù)f(x+a)的圖象關于點(-a,0)成中心對稱?函數(shù)f(x)為奇函數(shù).這就是我們“悟”出的道理，可見反思的重要性！

三、“練”

要學好數(shù)學，做練習題，必須有一定的量，但也不是練得越多越好.實際上，我們做一道題的真正目的是不再做這類題，做會了沒有必要反復再做.要練，必須努力做到以下幾點.

一是要規(guī)范.數(shù)學學科自身特點要求嚴謹、規(guī)范、準確，而許多學生平時練題，為了趕時間而隨便做題，久而久之養(yǎng)成了不嚴謹、不規(guī)范的習慣，導致在考試中處理解答題時失分較多.因此，我們平時練習時一定要規(guī)范完成，養(yǎng)成良好習慣，打好扎實的數(shù)學基本功.

二是要歸類.古人云:學而不思則罔，思而不學則殆，可見歸類總結在學習過程的重要性.學習數(shù)學如果只練不總結，這樣學得很累，效果一定不佳，只有在學習的過程中不斷總結，才可以迅速提高學習效率，提升解題能力.如函數(shù)中有一類關于“任意”和“存在”的問題，這類問題常常體現(xiàn)為“相等”和“不相等(即大于或小于)”問題.通過歸類，可用自己的語言總結出解法.如，相等問題可歸納總結為:任意的值域包含于存在之中(詳見例7)；不等式問題可歸納總結為:都是任意處理，再將存在改寫為其對立面(詳見例8).

【例7】設過曲線f(x)=-ex-x上的任意一點處的切線l1，總存在過曲線g(x)=ax+2cosx上的一點處的切線l2，使得l1⊥l2，則實數(shù)a的取值范圍是

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A.[-1,2] B.(-1,2]

C.[-1,2) D.(-1,2)

因為-2≤-2sinx2≤2，所以a-2≤a-2sinx2≤a+2.

顯然，通過以上歸納總結，降低了處理此類問題的難度，并且使學生能夠輕松掌握，達到事半功倍之效.

三是要糾錯.會學習的學生，基本上都有個錯題本.學生們在做數(shù)學練習題時，只注重做新的練習題，而忽略反思平時做錯的題目，好多學生根本沒有記錯題的習慣.實際上，將易錯問題利用錯題本記錄下來，經(jīng)常演練，反復思考，可以有效避免以后再出現(xiàn)類似的錯誤！

錯因探究:太大意啦，只注意到△ABC，而沒有考慮它是銳角三角形.

錯因探究:雖然細心、認真，但還沒有達到足夠的細心、認真，沒有充分利用一個三角形為銳角三角形的充要條件.

反思感悟:(1)本題極易出錯，不但要對cosA+sinC準確變形，而且要準確分析內角A的取值范圍.

【例10】(Ⅰ)已知0

當然，還可以考慮其他的思路:先消元再放縮；或者對求證式中的“1”先利用題設條件作等量代換，再實施放縮等等.但最終均因沒有徹底解決目標問題，而深感無奈！

反思感悟:(1)對于本題第二問，大部分學生的思路可能都是直接針對該問具體分析的，而沒有注意考慮第一問與第二問之間的緊密聯(lián)系，即缺乏靈活運用“聯(lián)系”的觀點去分析、解決問題的思想意識.最終，導致第二問不能順利獲證，認為較難.

(2)由于許多數(shù)學解答題設計多問的目的就是降低試題的難度，而各問之間又往往存在著某種緊密的聯(lián)系，因此將“聯(lián)系”的觀點靈活運用于解題中，往往能夠出奇制勝，將問題簡潔明了地解決.