改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階微分算法在圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用

林雪華，陳雁冰

(1.福州職業(yè)技術(shù)學(xué)院阿里巴巴大數(shù)據(jù)學(xué)院,福建福州 350108， 2.福建技術(shù)師范學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，福建福清 350300)

0 引言

圖像處理領(lǐng)域中，圖像增強(qiáng)是經(jīng)常用到的一種處理，其目的是針對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的特定需求，對(duì)某些部位、特征進(jìn)行突出顯示，或是提升整體的清晰度、改善圖像質(zhì)量.常見的增強(qiáng)算法對(duì)同一幅圖像整體使用統(tǒng)一的濾波模板，并未充分考慮圖像中局部場(chǎng)景的差異化，因此容易造成處理后的圖像存在局部失真[1].而在有些應(yīng)用場(chǎng)景中，圖像并非整體都需要被增強(qiáng)[2]，而只需要對(duì)某些區(qū)域細(xì)節(jié)或者特征要素進(jìn)行選擇性的局部增強(qiáng).

分?jǐn)?shù)階微積分是近幾年的研究熱點(diǎn)，國內(nèi)外學(xué)者投入大量精力進(jìn)行研究并取得一定成果.康凱[3]為了去除椒鹽噪聲，引入分?jǐn)?shù)階微積分，利用圖像的局部特征，對(duì)圖像的噪聲點(diǎn)、紋理和邊界等區(qū)域進(jìn)行分割，并針對(duì)不同的像素點(diǎn)，計(jì)算信息熵和梯度函數(shù)，使得去噪的同時(shí)能較好的保持圖像邊界和紋理信息.DaliaYousri[4]等人引入分?jǐn)?shù)階微積分算法來優(yōu)化花粉傳粉算法FPA的局部搜索能力，并應(yīng)用于圖像分割中.張涌，蒲亦非[5]等人，構(gòu)造8個(gè)方向的分?jǐn)?shù)階圖像增強(qiáng)模板，并證明分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)方法比傳統(tǒng)方法具有更好的增強(qiáng)效果.

結(jié)合當(dāng)前熱點(diǎn)算法以及圖像增強(qiáng)中存在的問題，對(duì)圖像中需要增強(qiáng)和不需要增強(qiáng)的區(qū)域可以引入圖像的局部標(biāo)準(zhǔn)差和粗糙度來界定，對(duì)需要增強(qiáng)的區(qū)域可單獨(dú)用對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分算子來處理，而微分階次可根據(jù)圖像的局部梯度模值來構(gòu)造，從而實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)在分?jǐn)?shù)階微分不同階次的自適應(yīng).

1 改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階微分的定義

大多數(shù)場(chǎng)景中，區(qū)域圖像的局部梯度模值越小，則說明該區(qū)域平滑的概率越大，需要增強(qiáng)的幅度就越小，對(duì)應(yīng)增強(qiáng)的分?jǐn)?shù)階微分階次也就應(yīng)越??；相對(duì)的，若局部梯度模值越大，則表明該區(qū)域?qū)儆谶吘壖y理的概率越大，需要增強(qiáng)的幅度就越大，對(duì)應(yīng)增強(qiáng)所用到的分?jǐn)?shù)階微分階次也應(yīng)越大[6].然而，除了處理中所關(guān)心的圖像邊緣外，噪聲點(diǎn)較多的區(qū)域也擁有較大的梯度模值，因此，需構(gòu)建一種方法將噪聲和邊緣區(qū)分開來.大多數(shù)圖像中，圖像邊緣是光滑連續(xù)的，而噪聲點(diǎn)是隨機(jī)分布的，因此可以根據(jù)此規(guī)律，構(gòu)建邊緣和噪聲判別函數(shù)，即公式(1).

(1)

其中，Iij表示中心像素點(diǎn)，neighbour(Iij)表示八鄰域像素，若該中心像素為噪聲，則兩者的梯度絕對(duì)值只差大于閾值T；當(dāng)兩者的梯度絕對(duì)值小于或者等于閾值T時(shí)，則表示該中心像素點(diǎn)為圖像的邊緣.

圖像的像素點(diǎn)灰度值相對(duì)偏移度量用圖像粗糙度C表示；在紋理較豐富區(qū)域的C較大，在平滑區(qū)域的C較小[7]，如公式(2)所示，其中，σ為圖像局部方差.

(2)

圖像的分?jǐn)?shù)階微分階次由局部梯度模值I、粗糙度f(C)以及熵H的變化，自適應(yīng)地按一定的規(guī)律變化.根據(jù)局部梯度模值、粗糙度和熵三者的重要程度，設(shè)置加權(quán)系數(shù)k1、k2、k3，計(jì)算三者的加權(quán)求和，如公式(3).

f(|I|,C,H)=k1|I|+k2C+k3H
k1+k2+k3=1

(3)

綜上所述，基于分?jǐn)?shù)階微分的改進(jìn)函數(shù)具有指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)的增強(qiáng)幅度也會(huì)隨之增大，即公式(4).

v=(-1)p(eαf|I|,C,H-β)

(4)

2 濾波器的構(gòu)造

二維圖像信號(hào)f(x,y)在一定的條件下對(duì)于任一方向的分?jǐn)?shù)階微分都是可分離的，分別對(duì)8個(gè)方向上的數(shù)字圖像進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微分算子的濾波處理，將信號(hào)f(x,y)的持續(xù)期[a,t]按單位間隔h=1等分，如公式(5)所示.

(5)

根據(jù)G-L定義，在x軸方向和y軸方向的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)算子的表達(dá)式，如公式(6)、公式(7)所示.

(6)

(7)

R為分?jǐn)?shù)階微分值計(jì)算余項(xiàng)，即公式(8).

(8)

根據(jù)公式(7)和公式(8)寫出該增強(qiáng)算子W中的濾波系數(shù)為公式(9).

(9)

自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分增強(qiáng)掩模算子W，如圖1所示.

圖1 改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)掩膜算子Fig.1 The Mask operator of image enhancement of improved fractional order differential

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

3.1 實(shí)驗(yàn)方法

選取大小為256×256的Camer圖像作為原始輸入圖像.實(shí)驗(yàn)中，采用了直方圖均衡、Butterworth低通濾波，Laplace算子、Prewitt算子、3*3中值濾波、傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分和本文的自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階微分對(duì)Camer圖像進(jìn)行增強(qiáng)處理，圖像增強(qiáng)步驟如圖2所示.

圖2 改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階微分圖像增強(qiáng)步驟Fig2 Image enhancement process of improved fractional order differential

各算法處理結(jié)果如圖3所示；其中，Butterworth低通濾波截止頻率為50 Hz，階數(shù)為1，傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階微分算法為5×5模板，0.5階分?jǐn)?shù)階微分算子處理的增強(qiáng)圖像.

圖3 不同算法的增強(qiáng)結(jié)果Fig.3 Enhancement results of different algorithms

3.2 圖像評(píng)價(jià)方法

圖像的增強(qiáng)可以通過直觀對(duì)比原始圖像和增強(qiáng)后圖像的直觀視覺效果來判斷增強(qiáng)后圖像的好壞，也可以通過圖像的殘差圖來判斷增強(qiáng)圖像的好壞.殘差圖是將增強(qiáng)后的圖像的像素灰度值與原始圖像的對(duì)應(yīng)像素灰度值作差，可以更直觀的觀察算法對(duì)原始圖像的哪些位置進(jìn)行增強(qiáng)，殘差圖如圖4所示.結(jié)合圖3和圖4 可以看出，直方圖均衡化擴(kuò)展了像素取值的動(dòng)態(tài)范圍，對(duì)整幅圖像都進(jìn)行了增強(qiáng)，但是圖像背景較原圖失真較大.Butterworth低通濾波過濾了大于50Hz的高頻信息，使圖像的邊緣得到增強(qiáng)，但是出現(xiàn)明顯的振鈴效應(yīng).Laplace算子、Prewitt算子和3×3模板的中值濾波對(duì)圖像的邊緣信息增強(qiáng)幅度較大，但圖像細(xì)節(jié)出現(xiàn)模糊現(xiàn)象.傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微分算法雖然能夠突出圖像的邊緣，對(duì)紋理信息保留也比較好，但對(duì)于人物的衣服邊緣、相機(jī)架等信息增強(qiáng)過大，亮度的分布很不均勻.改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階微分圖像保留了圖像的低頻部分紋理信息，同時(shí)還較好的增強(qiáng)了圖像邊緣信息，圖像背景亮度得到較均勻提升.可以看出改進(jìn)分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)整幅圖像都有增強(qiáng)，并且不同的區(qū)域，增強(qiáng)強(qiáng)度不同.

圖4 不同算法的圖像增強(qiáng)殘差圖對(duì)比Fig.4 Comparison of image enhancement residual graph for different algorithms

除了對(duì)圖像直觀效果的評(píng)價(jià)，可以通過圖像熵H進(jìn)行分析.圖像平滑區(qū)域的圖像熵H較小，而紋理豐富區(qū)域的圖像熵H較大.紋理較豐富區(qū)域的像素值相較于平滑區(qū)域的像素值變化較大,熵H的表達(dá)式如公式(10)所示.

(10)

其中，pij為圖像像素Iij出現(xiàn)的概率；n∈2k，k∈Z+.

在圖像增強(qiáng)過程中，若局部圖像的圖像熵H較大，則表示該區(qū)域邊緣或者紋理信息較豐富，該圖像具有較大的增強(qiáng)幅度；反之，熵H較小，則表示該區(qū)域包含的邊緣或者紋理信息較少，該圖像增強(qiáng)幅度較小.表1為增強(qiáng)圖像的熵值對(duì)比，可以看出后五種增強(qiáng)算法處理后的圖像熵值較原始圖像均有不同程度的提高，其中，傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階微算子和本文改進(jìn)算法熵值提升程度更大，邊緣和紋理信息更豐富.

表1 不同算法的對(duì)比Tab.1 Comparison of different algorithms

4 結(jié)論

本文針對(duì)傳統(tǒng)分?jǐn)?shù)階微分算法在圖像增強(qiáng)中采用統(tǒng)一模板進(jìn)行整幅圖像進(jìn)行增強(qiáng)的特點(diǎn)，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分進(jìn)行改進(jìn)，引入圖像的區(qū)域特征局部標(biāo)準(zhǔn)差和粗糙度，進(jìn)行自適應(yīng)計(jì)算，得出不同區(qū)域的增強(qiáng)算子，從而實(shí)現(xiàn)圖像的自適應(yīng)增強(qiáng).該算法增強(qiáng)邊緣和紋理的同時(shí)，能夠更好的保留圖像的細(xì)節(jié)信息.通過與若干算法的增強(qiáng)效果對(duì)比，證明該算法具有優(yōu)良的特性.