基于小波去噪的灰色模型在變形監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用

武文銳，師思超

（1.山西華冶勘測(cè)工程技術(shù)有限公司，山西 太原 030000）

在變形監(jiān)測(cè)的過程中，由于觀測(cè)條件的影響，獲取的觀測(cè)值會(huì)出現(xiàn)誤差，從而給分析觀測(cè)數(shù)據(jù)和總結(jié)變形規(guī)律帶來一些干擾。信噪分離能大大提高預(yù)測(cè)模型的精度，因此將原始形變數(shù)據(jù)中的噪聲與真實(shí)值分離，并把相對(duì)真實(shí)的變形數(shù)據(jù)提取出來，是變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)處理的重要目的[1]。對(duì)于變形監(jiān)測(cè)來說，觀測(cè)數(shù)據(jù)往往沒有較明顯的概率分布特征，且數(shù)據(jù)量不大；而時(shí)間序列、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、回歸分析等方法均對(duì)樣本容量要求較高，且需要大量符合概率分布的訓(xùn)練樣本，因此實(shí)際工程應(yīng)用中上述數(shù)據(jù)處理方法受到了客觀條件的限制?；谛〔ǚ治龅拈撝等ピ敕▽?duì)處理離散的變形觀測(cè)數(shù)據(jù)具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，能利用閾值函數(shù)從含噪數(shù)據(jù)中區(qū)分出噪聲和較為真實(shí)的變形數(shù)據(jù)。利用剔除噪聲后的數(shù)據(jù)進(jìn)行變形預(yù)測(cè)分析可大大提高預(yù)測(cè)模型的精度[2]。因此，閾值法小波去噪在變形監(jiān)測(cè)中具有較強(qiáng)的工程實(shí)踐價(jià)值。

灰色模型的基本原理為對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，使數(shù)據(jù)能表現(xiàn)出指數(shù)函數(shù)的規(guī)律，再利用該指數(shù)函數(shù)進(jìn)行變形預(yù)測(cè)[3]。灰色模型的建模方式簡單，最少只需4個(gè)數(shù)據(jù)即可建立模型，能在“貧數(shù)據(jù)”的情況下總結(jié)數(shù)據(jù)變化規(guī)律，在實(shí)際工程應(yīng)用，特別是變形監(jiān)測(cè)應(yīng)用中具有更強(qiáng)的實(shí)用性。雖然灰色模型短期預(yù)測(cè)的精度較高，但其長期預(yù)測(cè)能力卻不夠理想，這是由數(shù)據(jù)中的噪聲所導(dǎo)致的。因此，利用閾值法小波去噪盡可能地削弱觀測(cè)誤差的影響，減小隨機(jī)性，從而大大降低預(yù)測(cè)難度，提高預(yù)測(cè)精度。

1 閾值法小波去噪

1.1 小波去噪原理和方法

經(jīng)過小波分解后，小波域中真實(shí)信號(hào)與噪聲信號(hào)的表現(xiàn)形式差距較大，即隨著尺度的變化二者的幅值有差異。通常，隨著尺度的增加，噪聲幅度將不斷減小，而有效信號(hào)則不會(huì)發(fā)生變化[4]，小波去噪正是基于該原理來實(shí)現(xiàn)信噪分離的。

極大值法去噪、相關(guān)性法去噪、閾值法去噪等都是基于小波去噪理念實(shí)現(xiàn)的[5]，其中閾值法去噪因其簡單的計(jì)算方法和令人滿意的去噪效果被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐中。

含噪數(shù)據(jù)可表示為：

式中，f(t)為含有噪聲的觀測(cè)數(shù)據(jù)；s(t)為真實(shí)信號(hào)；n(t)為噪聲信號(hào)；噪聲信號(hào)的方差為σ2，服從N(0,σ2)。

觀測(cè)數(shù)據(jù)中包含真值與噪聲，真值是平穩(wěn)的低頻信號(hào)，噪聲是不平穩(wěn)的高頻信號(hào)。閾值法小波去噪的原理為通過設(shè)定一個(gè)閾值來收縮和保留大于該閾值的真實(shí)信號(hào)[6]，從而去除小于該閾值的噪聲信號(hào)，因此閾值法小波去噪也被稱為“小波收縮”[7]。

閾值法小波去噪分為3個(gè)步驟：①小波分解，確定小波的分解類型和層數(shù)，將原始信號(hào)分解成細(xì)節(jié)信號(hào)與近似信號(hào)之和；②閾值處理，設(shè)定一個(gè)閾值，利用閾值函數(shù)對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行閾值處理，從而剔除噪聲；③小波重構(gòu)，通過逆小波變換將低頻信號(hào)和經(jīng)過閾值處理后高頻信號(hào)重構(gòu)為去噪后的信號(hào)[8]。

1.2 閾值函數(shù)和閾值選取

多年來，許多學(xué)者根據(jù)具體工程對(duì)改進(jìn)閾值函數(shù)進(jìn)行了各種嘗試，但基本分為硬閾值和軟閾值兩種。硬閾值是將絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)置零[9]，保留其余信號(hào)，但該方法往往會(huì)使輸出信號(hào)發(fā)生震蕩；而軟閾值則是將絕對(duì)值小于閾值的小波系數(shù)減去閾值，而不是單純的置零，這樣會(huì)使輸出信號(hào)更加連續(xù)光滑。由于變形監(jiān)測(cè)點(diǎn)的形變?cè)跁r(shí)空上是連續(xù)的，因此本文選取軟閾值函數(shù)作為去噪函數(shù)。硬閾值函數(shù)為：

軟閾值函數(shù)為：

式中，w為原始小波系數(shù)；為去噪后的小波系數(shù)；sign()為符號(hào)函數(shù)；λ為閾值M為信號(hào)長度。

在閾值處理過程中，不同的閾值選取方法對(duì)信噪分離效果將產(chǎn)生較大影響。常用的閾值選取方式為自適應(yīng)閾值和默認(rèn)閾值，其中自適應(yīng)閾值包括固定閾值、極大極小閾值、啟發(fā)式閾值和無偏風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)閾值4種。對(duì)于軟閾值函數(shù)來說，固定閾值的去噪效果更好。其計(jì)算公式為：

1.3 小波去噪精度指標(biāo)

針對(duì)不同的小波函數(shù)和分解層數(shù)，小波去噪將有不同的去噪效果。去噪效果主要通過均方根誤差（RMSE）和信噪比（SNR）來衡量，RMSE越小、SNR越高，去噪效果越好[10]。

式中，f(t)為原始數(shù)據(jù)；為去噪后數(shù)據(jù)。

式中，powers為真實(shí)數(shù)據(jù)的功率；powern為噪聲的功率。

2 灰色模型

灰色模型的原理較簡單，但只能針對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，因此需將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一次累加，從而生成一個(gè)新的指數(shù)型序列。根據(jù)新數(shù)據(jù)能擬合得到一個(gè)指數(shù)函數(shù)，再根據(jù)這個(gè)函數(shù)可推算出下一個(gè)累加值，然后將累加預(yù)測(cè)值還原即可生成原始數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。原始序列為：

2.1 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與預(yù)處理

灰色模型建模必須先檢驗(yàn)原始數(shù)據(jù)是否能滿足建模條件。常用的方法包括檢驗(yàn)指數(shù)規(guī)律、光滑性、級(jí)比檢驗(yàn)等，本文選擇級(jí)比檢驗(yàn)。級(jí)比檢驗(yàn)的計(jì)算公式為：

雖然需采用新序列y(0)建模，但必須對(duì)最終結(jié)果進(jìn)行還原，即將輸出序列同時(shí)減去常數(shù)c，還原成原始數(shù)據(jù)的模擬值。

2.2 建模方法

將原始序列累加得到：

計(jì)算x(1)的均值，則有：

建立灰色微分方程，即

則相應(yīng)的白化微分方程為：

令u=[a,b]T，構(gòu)造累加矩陣B和常數(shù)向量Y，則有：

利用最小二乘原理可確定達(dá)到最小值的參數(shù)列u的估測(cè)值為：

2.3 精度檢驗(yàn)

灰色模型精度檢驗(yàn)的常用方法包括關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法、殘差檢驗(yàn)法和后驗(yàn)差檢驗(yàn)法[11]，本文采用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法。通常利用小誤差概率p和后驗(yàn)差比值C來共同衡量模型精度，p越大、C越小，則模型精度越高[3]。若p＞0.95、C＜0.35，則說明模型擬合精度極好。

令x(0)(k)為實(shí)際值，為預(yù)測(cè)值，殘差為e(k)，則有：

原始數(shù)據(jù)x(0)的方差為：

殘差序列e的方差為：

后驗(yàn)差比值為：

小誤差概率為：

3 工程應(yīng)用

本文對(duì)某高鐵隧道進(jìn)行二等水準(zhǔn)監(jiān)測(cè)，監(jiān)測(cè)周期為7 d，選取其中10期監(jiān)測(cè)點(diǎn)M的沉降數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)（表1）進(jìn)行分析，對(duì)后5期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

表1 M點(diǎn)累計(jì)沉降原始數(shù)據(jù)

原始序列為：

首先計(jì)算原始數(shù)據(jù)的級(jí)比，發(fā)現(xiàn)不滿足建立灰色模型的條件，因此需進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，C=1時(shí)能滿足建模要求，則原始序列平移為：

3.1 灰色模型預(yù)測(cè)

按照上述灰色模型建模步驟建立模型，并預(yù)測(cè)后5期數(shù)據(jù)，結(jié)果如表2所示。

表2 M點(diǎn)灰色模型累計(jì)沉降預(yù)測(cè)分析

通過計(jì)算得到：p=1、C=0.220 7，說明模型的擬合精度較好。

3.2 閾值法小波去噪后的灰色預(yù)測(cè)

本文采用軟閾值法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪，小波函數(shù)選用db3、db4、db5小波，最大分解尺度為2和3，共計(jì)6種組合，分別計(jì)算并比較RMSE和SNR，從而選擇最優(yōu)函數(shù)組合進(jìn)行小波分解，結(jié)果如表3所示。通過對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)采用db4函數(shù)進(jìn)行兩層分解時(shí)，SNR較高、RMSE較小，去噪效果更好，因此本文選用該分解方式進(jìn)行信噪分離，結(jié)果如圖1所示。

表3 小波函數(shù)去噪評(píng)價(jià)分析

圖1 db4小波分解

利用軟閾值法剔除噪聲，再進(jìn)行小波重構(gòu)。去噪后噪聲殘差分析如圖2所示，可以看出，殘差在0附近波動(dòng)，最大值為0.055 72，最小值為-0.000 4，標(biāo)準(zhǔn)差為0.030 75，說明信噪分離效果較好。小波重構(gòu)后得到一組新的序列，即去噪后數(shù)據(jù)，如表4所示；再利用去噪后數(shù)據(jù)進(jìn)行灰色模型建模，預(yù)測(cè)后5期數(shù)據(jù)，結(jié)果如表5所示。

圖2 噪聲殘差分析

表4 去噪后數(shù)據(jù)

表5 去噪后灰色模型累計(jì)沉降預(yù)測(cè)分析

通過計(jì)算得到：p=1、C=0.214 1，說明模型的擬合精度較好。

3.3 分析比較

單純的灰色模型和小波去噪后的灰色模型的精度均很高，模型擬合度較好，二者都能對(duì)高鐵隧道進(jìn)行沉降預(yù)測(cè)。由圖3可知，隨著時(shí)間的變化，單純的灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差越來越大，而閾值法小波去噪能提高灰色模型的預(yù)測(cè)精度，彌補(bǔ)了灰色模型的不足，說明小波去噪與灰色模型組合應(yīng)用于變形監(jiān)測(cè)是可行的，且精度更高。

圖3 成果預(yù)測(cè)對(duì)比圖

4 結(jié) 語

灰色模型計(jì)算簡單、應(yīng)用廣泛，短期內(nèi)預(yù)測(cè)具有明顯優(yōu)勢(shì)。利用閾值法小波去噪能大大提高灰色模型的預(yù)測(cè)精度，彌補(bǔ)灰色模型無法長期預(yù)測(cè)的不足，極大地增強(qiáng)了灰色模型在工程應(yīng)用中的實(shí)用性。本文驗(yàn)證了小波去噪與灰色模型的組合模型應(yīng)用于高鐵隧道沉降監(jiān)測(cè)的可行性，為高鐵隧道變形監(jiān)測(cè)提供了一種新的思路。