離散大系統(tǒng)的部分聯結不穩(wěn)定性的判定

孫水玲

（廣州工商學院，廣東 廣州510850）

許多實際問題建立的系統(tǒng)（如工業(yè)系統(tǒng)、城市交通網系統(tǒng)、環(huán)境系統(tǒng)、經濟系統(tǒng)、社會系統(tǒng)等）往往變量很多，造成系統(tǒng)的維數很高，給系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究帶來很大的困難.為了解決這些問題，文獻［1］給出大系統(tǒng)的方法，即把復雜系統(tǒng)視為若干相互聯結的低階子系統(tǒng)相互作用的動態(tài)大系統(tǒng)，然后通過子系統(tǒng)及其關聯性質，給出大系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究.關于這方面的研究結果已有很多.但對于一個已經建立了數學模型的大型動力系統(tǒng)，雖然考慮了各子系統(tǒng)間的關聯，然而它們關聯的強度可能會有很大的不同，而且一組子系統(tǒng)可能暫時與其他子系統(tǒng)分離也會導致大系統(tǒng)結構上的變化，為此文獻［1］提出了一套關聯穩(wěn)定性理論.由于有些大系統(tǒng)中部分關聯固定，而只有部分關聯可以變化，因此文獻［2］給出部分關聯穩(wěn)定性概念，文獻［3-7］給出了離散大系統(tǒng)的部分關聯穩(wěn)定性的一些研究結果.本文主要利用向量李雅普諾夫函數法及比較原理，討論非線性離散大系統(tǒng)和常系數線性離散大系統(tǒng)的部分聯結不穩(wěn)定性，給出了部分關聯不穩(wěn)定性的充分條件.

1 主要結果

首先考慮具有r個子系統(tǒng)的n階非線性離散大系統(tǒng)：

其中：

證明 取大系統(tǒng)（1）的向量李雅普諾夫函數：

得到：

即有：

同樣有：

考慮具有r個子系統(tǒng)的n階線性定常離散大系統(tǒng).

其中，Ai為ni×ni階常數矩陣，Aij為ni×nj階常數矩陣，它表示系統(tǒng)j對系統(tǒng)i的作用（i,j=1,2,…,r,j≠i）.Xi=(x1(i),x(

2i),…,xn(ii))T為ni維狀態(tài)分量，而且n1+n2+…+nr=n.X=(X1,X2,…,Xr)T為n維狀態(tài)向量.

系統(tǒng)（5）的孤立子系統(tǒng)為：

以下假設離散大系統(tǒng)（6）的每個子系統(tǒng)，都存在ni×ni階負定對稱矩陣Bi和常數μi使負定函數

滿足：

所以，

2 結論

本文中的關聯矩陣E隨著時間k變化時，定理仍然成立，而且關聯因子eij可以?。?，1］上的任何數值，即定理適用于關聯因子隨時間是變化的情況.