構(gòu)造法在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究

一、前言

構(gòu)造性的方法從數(shù)學(xué)產(chǎn)生的那一天起也就伴隨著產(chǎn)生了。 直到這個方法達(dá)到一個新的高度，并致力于對這種方法的研究，這與直覺數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是密切相關(guān)的。由于直覺派考慮到數(shù)學(xué)的“可信性”，于是提出了這樣一個口號：“存在必須是被構(gòu)造的?！边@就是構(gòu)造主義。近現(xiàn)代數(shù)學(xué)對構(gòu)造法的研究探討，經(jīng)歷了如下三個階段：一是直覺數(shù)學(xué)階段。 直覺是克隆先鋒派尼克德國在第十九世紀(jì)末，他明確提出和強(qiáng)調(diào)的效果，認(rèn)為沒有能行性就不承認(rèn)它的存在。二是算法數(shù)學(xué)階段。算法數(shù)學(xué)的目的是把可容許數(shù)學(xué)目標(biāo)的范疇限定到某個任意選定的類，而不像直覺數(shù)學(xué)那樣去考慮傳統(tǒng)的證明規(guī)則和條例。 馬爾可夫和他的合作伙伴成立了“算法”是特別吸引某人的注意力。三是現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段。以肖泊書的出版為標(biāo)志。

二、構(gòu)造法

1.有關(guān)構(gòu)造法的相關(guān)知識

構(gòu)造法是指當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)命題時，利用常規(guī)方法，依據(jù)定向思維難以解決這個問題時，根據(jù)命題的題設(shè)條件或結(jié)論的性質(zhì)、特點，從新的角度去觀察、分析和理解對象之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握問題結(jié)論的關(guān)鍵，條件的應(yīng)用數(shù)據(jù)等特點，對于已知條件的使用，是將一個已知的數(shù)學(xué)關(guān)系和理論作為一種工具，用數(shù)學(xué)思想構(gòu)建數(shù)學(xué)對象，條件和結(jié)論之間的關(guān)系，并借助該數(shù)學(xué)對象輕松地解決數(shù)學(xué)問題的方法。

在建設(shè)性思維的應(yīng)用，需要知識和創(chuàng)造性思維品質(zhì)的堅實基礎(chǔ)：二是要有一個明確目的，即需要構(gòu)建的是什么：三是明確條件和結(jié)論，針對這些特點，設(shè)計構(gòu)造方案。

2.幾種常見的構(gòu)造方法

歷史上如高斯，奧拉，拉格朗日等許多數(shù)學(xué)家，已成功地應(yīng)用構(gòu)造性的方法解決了許多數(shù)學(xué)難題，構(gòu)造性的方法是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的一種實用方法。下面介紹一些常用的構(gòu)造方法。

構(gòu)造數(shù)學(xué)命題法：給出一個命題，如果直接證明該數(shù)學(xué)命題有困難，可以構(gòu)造一個與此命題等價的命題，并證明此等價命題成立，從而證得原命題。

構(gòu)造反例法：有時候，在某些數(shù)學(xué)問題的證明中，直接證明問題的結(jié)論比較困難，一般可以構(gòu)造命題的反例，證明其不正確性，從而使原問題得到簡介證明。

構(gòu)造矛盾法：構(gòu)造矛盾法實際上就是反證法，即一般先否定原命題，然后再利用否定后的命題，構(gòu)造出一個與題設(shè)條件或者某些公理定理相矛盾的數(shù)學(xué)對象，從而使原命題得證。

構(gòu)造幾何圖形法：在數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)的問題，對于一些復(fù)雜的問題，通過構(gòu)造一個圖的啟發(fā)式思維，用圖形問題的幫助往往使求解方法是方便的問題。

構(gòu)造結(jié)論法：就是按照命題的條件構(gòu)造新的結(jié)論，從而使命題得到證明的解題方法。 一些數(shù)學(xué)命題的之證明數(shù)學(xué)對象存在的本質(zhì)，或者說一個數(shù)學(xué)對象具有一定的數(shù)學(xué)對象的某些屬性。 這種類型的數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是要顯示的數(shù)學(xué)對象，構(gòu)建了數(shù)學(xué)命題的證明方法，通過構(gòu)造的方法證明的結(jié)論稱為“構(gòu)造性證明“。

構(gòu)造復(fù)數(shù)法：因為復(fù)數(shù)具備代數(shù)、幾何和三角等多種表現(xiàn)形式，以及復(fù)數(shù)自身所特有的性質(zhì)和運算法則，我們能夠通過構(gòu)造復(fù)數(shù)，求解很多問題。

三、構(gòu)造法在初等代數(shù)中的應(yīng)用

1.構(gòu)造引理

在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中，常常遇到直接求解很難得出結(jié)論的問題，這個需要我們等價轉(zhuǎn)化一下，構(gòu)造相關(guān)引理，間接得到問題的結(jié)果。

2.構(gòu)造方程法

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常常使用構(gòu)造方程法來解題。 學(xué)生可以根據(jù)設(shè)計條件，對定義的方程的根，根的判別，韋達(dá)定理及相關(guān)知識建立方程或方程組，然后利用知識有關(guān)的方程或方程組，解決問題。

3.構(gòu)造函數(shù)法

函數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的知識點之一，而構(gòu)造函數(shù)在求解相關(guān)數(shù)學(xué)問題中也有著廣泛的應(yīng)用。比如在求解等式，不等式，證明等問題中。

4.構(gòu)造遞推數(shù)列法

在求解數(shù)列問題時，如果數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列等特殊數(shù)列，一般我們可以構(gòu)造遞推數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化，然后求解。

5.構(gòu)造復(fù)數(shù)法

對于某些證明題，復(fù)數(shù)可以作為證明條件和證明結(jié)果之間的橋梁。

四、總結(jié)

通過以上討論，我們可以發(fā)現(xiàn)，該方法在解決數(shù)學(xué)問題中有意想不到的效果，使問題很快得到解決。利用構(gòu)造法求解問題關(guān)鍵在于“構(gòu)造”， 它可以啟發(fā)學(xué)生的思維，是學(xué)生學(xué)會從多角度看問題，從而得到了很多巧妙的設(shè)計，通過新穎獨特，簡單而有效的方法來解決問題，加深對知識的認(rèn)識和理解，培養(yǎng)思維的靈活性。因此研究構(gòu)造法，數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)方法的研究，不僅具有重要的意義，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想也有了更加深刻的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)思想是一種重要的思想，它是人們研究數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)及規(guī)律的重要基礎(chǔ)。這種認(rèn)識包括了人類歷史上過去、現(xiàn)在以及將來有名無名的數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)科學(xué)的對象及其特征的認(rèn)識研究，探索途徑與方法的特點，其研究成就的精神文化價值和實用功能的物質(zhì)世界的研究成果對社會進(jìn)步有重要意義。

天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一小學(xué) 陳克新