協(xié)作機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型及標(biāo)定算法

任彤，駱敏舟,，張佳麗

(1. 河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 常州 213022；2. 江蘇集萃智能制造技術(shù)研究所有限公司，江蘇 南京 211800)

0 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的提高與發(fā)展，智能機(jī)器人輔助、擴(kuò)展及代替人類智能變成現(xiàn)代機(jī)器人技術(shù)發(fā)展的研究熱點(diǎn)。相較傳統(tǒng)工業(yè)機(jī)器人獨(dú)立的工作方式，人機(jī)協(xié)作領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用使協(xié)作機(jī)器人成為研發(fā)的前沿方向，而機(jī)器人的運(yùn)行精度是描述其工作性能的重要指標(biāo)之一。為了解決協(xié)作機(jī)器人重復(fù)定位精度優(yōu)于絕對(duì)定位精度的共性問題，提高機(jī)器人絕對(duì)定位精度成為十分緊迫的任務(wù)。

絕對(duì)定位精度是指機(jī)器人運(yùn)行到指定路點(diǎn)時(shí)目標(biāo)位姿與期望位姿的精度偏差。針對(duì)人機(jī)協(xié)作的復(fù)雜應(yīng)用場(chǎng)景，機(jī)器人運(yùn)行軌跡不能簡(jiǎn)單地通過示教方式實(shí)現(xiàn)，而是基于其他路徑規(guī)劃輔助工具，生成機(jī)器人運(yùn)行過程中的工作位姿和軌跡，通過與機(jī)器人控制器的通信，控制實(shí)際運(yùn)行姿態(tài)。除了在線規(guī)劃場(chǎng)景外，為實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜路徑或重復(fù)路徑應(yīng)用場(chǎng)景的高效作業(yè)，機(jī)器人通常采用離線編程方式完成相關(guān)任務(wù)的路徑規(guī)劃，生成可執(zhí)行代碼程序?qū)肟刂茩C(jī)。上述作業(yè)的順利實(shí)現(xiàn)均要求機(jī)器人有高的絕對(duì)定位精度，若無法控制絕對(duì)定位精度，在作業(yè)過程中則無法實(shí)現(xiàn)預(yù)先設(shè)定的位姿軌跡，在人機(jī)協(xié)作要求較高的作業(yè)環(huán)境下，易引發(fā)事故。

為提高機(jī)器人絕對(duì)定位精度，一般采用誤差預(yù)防法和參數(shù)標(biāo)定法兩種方式[2]。誤差預(yù)防法是指通過提高機(jī)器人的加工、裝配和控制精度，以控制實(shí)際參數(shù)與理論運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)間的誤差量來保證機(jī)器人定位精度。除了上述影響因素外，在機(jī)器人長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行過程中，機(jī)械結(jié)構(gòu)發(fā)生的磨損與環(huán)境影響等原因[2]，各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差傳遞到末端將嚴(yán)重影響末端運(yùn)動(dòng)精度。因此常用參數(shù)標(biāo)定法辨識(shí)機(jī)器人實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)[3-5]，通過修正控制器中幾何參數(shù)的方式提高絕對(duì)定位精度。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

首先分析機(jī)器人的模型結(jié)構(gòu)與幾何參量，在1951年由DENAVIT J 和HARTENBERG R S[6]提出一種命名為D-H參數(shù)法的標(biāo)準(zhǔn)空間連桿機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)構(gòu)建方式，并在機(jī)器人領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用。各連桿間的位姿關(guān)系可通過桿長(zhǎng)a、偏置d、桿扭轉(zhuǎn)角α和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ四個(gè)參數(shù)確定，通過這四個(gè)參數(shù)描述桿件的自身集幾何參數(shù)和與相鄰連桿的空間關(guān)系[7]。基于D-H參數(shù)法，即可確定機(jī)器人相鄰各連桿間的變換矩陣，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

(1)

根據(jù)機(jī)器人設(shè)計(jì)的相應(yīng)臂長(zhǎng)和零位構(gòu)型，分別如圖1(a)和圖1(b)，按照D-H建立關(guān)節(jié)坐標(biāo)系，獲得機(jī)器人D-H參數(shù)，如表1所示。

圖1 機(jī)器人實(shí)際臂長(zhǎng)與D-H零位構(gòu)型

表1 D-H 參數(shù)表

(2)

式中：n為法線矢量；o為方向矢量；a為接近矢量；n、o、a為相互垂直的正交單位矢量。向量p為機(jī)械臂末端連桿相對(duì)基坐標(biāo)系的三維位置。

根據(jù)上述運(yùn)動(dòng)學(xué)正向模型與機(jī)械臂D-H參數(shù)，代入式(2)，可求解機(jī)械臂末端的空間位置：

(3)

式中：si和ci分別為sinθi和cosθi的簡(jiǎn)寫形式，i=1，…，6。下文中sinθi和cosθi均以該形式簡(jiǎn)寫，其中正逆解細(xì)則可參考文獻(xiàn)[8]。

在機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定過程中，機(jī)器人末端位姿的測(cè)量值主要用于機(jī)械臂幾何參數(shù)的辨識(shí)，同時(shí)由于機(jī)器人末端位置向量p可反映所需辨識(shí)參數(shù)ai、αi、di和θi的誤差，因此在辨識(shí)過程中僅測(cè)量末端空間位置，不考慮末端姿態(tài)。

2 機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定

機(jī)器人參數(shù)標(biāo)定可分為關(guān)節(jié)級(jí)標(biāo)定、運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定和動(dòng)力學(xué)參數(shù)標(biāo)定三個(gè)部分[8]。第一部分關(guān)節(jié)級(jí)標(biāo)定指確定機(jī)器人實(shí)際關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度與理論轉(zhuǎn)動(dòng)角度關(guān)系，該級(jí)精度可通過分析關(guān)節(jié)理論運(yùn)行位置與位置傳感器信號(hào)間的正確關(guān)系，測(cè)量實(shí)際運(yùn)行中的偏差量獲得；第二部分為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的標(biāo)定，運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差包括機(jī)器人機(jī)構(gòu)D-H精度，零位標(biāo)定誤差等各連桿間的幾何參數(shù)誤差；第三部分為機(jī)器人動(dòng)力學(xué)標(biāo)定，針對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型誤差、各連桿的負(fù)載和慣性參數(shù)、關(guān)節(jié)模組柔性機(jī)構(gòu)誤差、機(jī)構(gòu)間隙摩擦等各參量進(jìn)行標(biāo)定辨識(shí)。

考慮各誤差參數(shù)的可辨識(shí)性與誤差對(duì)絕對(duì)定位精度的影響程度，本文在建立誤差模型時(shí)忽略影響相對(duì)較小的因素，同時(shí)由于所辨識(shí)機(jī)器人數(shù)學(xué)模型為運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，因此主要對(duì)第二級(jí)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行矯正。

根據(jù)D-H參數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，機(jī)械臂末端位置精度依賴于各連桿關(guān)節(jié)處運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)ai、αi、di和θi，而在扭轉(zhuǎn)角αi與機(jī)器人整體構(gòu)型相關(guān)不加入誤差模型建立，因此基于正解模型，相鄰連桿間的位姿微小偏差可被Δai、Δdi和Δθi描述。運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立的基礎(chǔ)上，利用微分運(yùn)動(dòng)的思想，求解相鄰連桿間的誤差矩陣，通過齊次矩陣的連乘計(jì)算末端的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型。

2.1 相鄰連桿間位姿誤差

已知相鄰連桿齊次轉(zhuǎn)換矩陣如式(1)所示，誤差項(xiàng)可表達(dá)為：

(3)

根據(jù)全微分定理可得：

(4)

(5)

將式(4)和式(5)代回式(3)中，可得：

(6)

2.2 微分運(yùn)動(dòng)

由于幾何參數(shù)的誤差，末端實(shí)際位置與理論位置存在誤差，該誤差可通過微分運(yùn)動(dòng)學(xué)描述。微分運(yùn)動(dòng)[9]分為微分平移Trans(dx，dy，dz)與微分旋轉(zhuǎn)Rot(k，dθ)兩部分，將微分旋轉(zhuǎn)部分分解為繞原坐標(biāo)系x、y、z軸分別旋轉(zhuǎn)δx、δy、δz，且由于偏轉(zhuǎn)角度為一較小值，因此sinδx=δx，cosδx=1。誤差項(xiàng)可由微分旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：

TR=TN+dT=Trans(dx,dy,dz)Rot(x,δx)Rot(y,δy)Rot(z,δz)TN

定義ΔT=Trans(dx, dy, dz) Rot(k, dθ)-I4,得

(7)

微分變化ΔT由平移矢量dp和旋轉(zhuǎn)矢量δk組成，同時(shí)將式(6)代入可得：

(8)

(9)

(10)

2.3 運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型

建立精準(zhǔn)完善的誤差模型是機(jī)器人幾何參數(shù)辨識(shí)的重要前提。搭建的機(jī)器人標(biāo)定平臺(tái)如圖2所示。

圖2 機(jī)器人標(biāo)定平臺(tái)

(11)

其中Δa1、Δa4～Δa6、Δd2、Δd3為無需辨識(shí)參數(shù)，另其系數(shù)項(xiàng)為0。

3 實(shí)驗(yàn)

運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)辨識(shí)是將機(jī)器人末端位姿誤差作為輸入量，通過誤差模型進(jìn)行參數(shù)的曲線擬合。典型的測(cè)量方法包括伸縮式球桿儀[10]、光學(xué)跟蹤法[11]、激光跟蹤儀[12]、平面約束法[13]等多種。本實(shí)驗(yàn)為測(cè)量末端誤差，將機(jī)器人安裝在有孔的硬板上，安裝位置和基座坐標(biāo)方向與標(biāo)定板零位重合，實(shí)現(xiàn)無外部傳感的標(biāo)定方式，根據(jù)所設(shè)計(jì)的標(biāo)定板(圖3)，可進(jìn)行兩種方式的校準(zhǔn)：

1)根據(jù)標(biāo)定板各個(gè)位置點(diǎn)信息，將機(jī)器人移到正確位置，使工具末端與標(biāo)定板槽口對(duì)齊，假設(shè)底面平行且完全重合，以此確定工具末端中心在世界坐標(biāo)下的絕對(duì)位置。

圖3 標(biāo)定板尺寸與實(shí)物圖

2)安裝如圖2所示的機(jī)器人末端尖端，移動(dòng)機(jī)器人令工具末端尖端與標(biāo)定板上所安裝的尖端完全重合，由于所安裝尖端尺寸與工具末端尺寸已知，即可獲得工具末端中心在世界坐標(biāo)下的絕對(duì)位置。以上兩種校正方式均要求較高精度，在進(jìn)行曲線擬合前，需注意生成的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以免影響校準(zhǔn)精度。

本實(shí)驗(yàn)采用第二種校準(zhǔn)方式，控制機(jī)械臂在不同的姿態(tài)下觸碰標(biāo)定板上的尖端，通過尖端完全重合來保證工具末端位置不變，姿態(tài)變化不影響計(jì)算精度，記錄20組數(shù)據(jù)，記錄各組所對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂各關(guān)節(jié)編碼器值。

將這20組點(diǎn)依次進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，獲得在初始化參數(shù)下各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的末端理論位置值。得到的末端執(zhí)行器在相對(duì)世界坐標(biāo)系下的實(shí)際位置與目標(biāo)位置的誤差如圖4所示。

圖4 標(biāo)定前各組數(shù)據(jù)誤差

補(bǔ)償前機(jī)器人工作末端的絕對(duì)定位誤差平均誤差為3.365 mm，其中最大值誤差為5.923 mm。根據(jù)實(shí)際誤差將其系數(shù)矩陣行奇異值分解，利用最小二乘法對(duì)機(jī)器人幾何參數(shù)誤差進(jìn)行辨識(shí)，根據(jù)式(11)求解運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差值，結(jié)果如表2所示。

表2 修正后D-H 參數(shù)表

機(jī)器人誤差補(bǔ)償?shù)闹饕绞椒譃閮煞N，針對(duì)控制器開放的機(jī)器人通過修改控制器中底層模型運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的方式實(shí)現(xiàn)，針對(duì)不開放控制器的機(jī)器人可通過外部補(bǔ)償方式，將辨識(shí)后的真實(shí)參數(shù)寫入，根據(jù)新的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型通過正運(yùn)動(dòng)學(xué)重新計(jì)算優(yōu)化后的機(jī)器人末端位置參數(shù)，與實(shí)際位置進(jìn)行比較，結(jié)果見圖5。

圖5 標(biāo)定后各組數(shù)據(jù)誤差

補(bǔ)償后工作末端的絕對(duì)定位誤差平均為1.689 mm，其中最大值為3.512 mm。通過圖4與圖5對(duì)比可得，經(jīng)過對(duì)機(jī)器人幾何參數(shù)的補(bǔ)償，其絕對(duì)定位精度得到了明顯的提高，但在數(shù)據(jù)處理時(shí)可發(fā)現(xiàn)第6、第7兩組數(shù)據(jù)誤差較大，影響參數(shù)辨識(shí)。因此在數(shù)據(jù)處理時(shí)將這兩組數(shù)據(jù)忽略，重新計(jì)算可得表3、圖6數(shù)據(jù)。

表3 數(shù)據(jù)處理后標(biāo)定D-H 參數(shù)表

圖6 數(shù)據(jù)處理后各組數(shù)據(jù)誤差

經(jīng)過數(shù)據(jù)剔除后，工作末端的絕對(duì)定位誤差平均誤差達(dá)到1.528 mm，其中最大值為3.182 mm，由此可得本運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法受輸入數(shù)據(jù)精度影響，并非所有的校準(zhǔn)都是好的校準(zhǔn)，在標(biāo)定時(shí)應(yīng)注意生成的統(tǒng)計(jì)信息。若輸入數(shù)據(jù)誤差太大，機(jī)器人標(biāo)定后的絕對(duì)定位精度可能會(huì)變得不準(zhǔn)確。

4 結(jié)語

本文主要研究了六自由度協(xié)作機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)標(biāo)定方法及過程，分析絕對(duì)定位精度誤差來源，建立機(jī)器人微分方程，提出基于機(jī)器人工具末端的運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差模型建立方法，利用標(biāo)定板獲取機(jī)器人工具末端位置信息誤差，采用最小二乘法求解誤差方程。結(jié)果表明該補(bǔ)償方式可提高絕對(duì)定位精度，由補(bǔ)償前的3.365 mm降為補(bǔ)償后的1.528 mm。