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    請“球”入“盒”問題八例

    2018-07-12 02:46:56時(shí)英雄
    數(shù)理化解題研究 2018年16期
    關(guān)鍵詞:標(biāo)號(hào)種數(shù)個(gè)數(shù)

    時(shí)英雄

    (安徽省合肥市第一中學(xué) 230000)

    學(xué)習(xí)排列組合問題的時(shí)候模型很重要,掌握了一定的模型會(huì)在解題中起到事半功倍的效果,不少問題特別是一些人員定崗、名額分配、贈(zèng)送禮物等實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為將球放入球盒問題,下面總結(jié)幾種放球入盒問題模型供大家參考.

    模型一、球同,盒同,盒不空

    例18個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中,每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球. 問有多少種不同的放法?

    解析由于這里球和盒子都相同,每三堆放入3個(gè)盒子中只有一種情況,所以只要將8個(gè)球分成三堆. 即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五種,故將8個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中,每個(gè)盒子至少有一個(gè)球, 有5種不同的放法.

    結(jié)論一n個(gè)相同的球放入m個(gè)相同的盒子(n≥m),不能有空盒時(shí)的放法種數(shù)等于n分解為m個(gè)數(shù)的和的種數(shù).

    模型二、球同,盒同,盒可空

    例28個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中. 問有多少種不同的放法?

    解析與上題不同的是本題中的三堆可以有球數(shù)為0的堆,即除了分成上面的五堆外,還可分為0-1-7、0-2-6、0-3-5、0-4-4和0-0-8共五種情況,故8個(gè)相同的球放入3個(gè)相同的盒子中,有10種不同的放法.

    結(jié)論二n個(gè)相同的球放入m個(gè)相同的盒子(n≥m),可以有空盒時(shí)的放法種數(shù)等于將n分解為m個(gè)、(m-1)個(gè)、(m-2)個(gè)、…、2個(gè)、1個(gè)數(shù)的和的所有種數(shù)之和.

    模型三、球同,盒不同,盒不空

    例38個(gè)相同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中,每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 問有多少種不同的放法?

    模型四、球同,盒不同,盒可空

    例48個(gè)相同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中. 問有多少種不同的放法?

    模型五、球不同,盒同,盒不空

    例58個(gè)不同的球放入三個(gè)相同的盒子中,每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 問有多少種不同的放法?

    結(jié)論五n個(gè)不同的球放入m個(gè)相同的盒子中(n≥m),不能有空盒的放法種數(shù)等于n個(gè)不同的球分成m堆的種數(shù).

    模型六、球不同,盒同,盒可空

    例68個(gè)不同的球放入三個(gè)相同的盒子中,問有多少種不同的放法?

    結(jié)論六n個(gè)不同的球放入m個(gè)相同的盒子中(n≥m),可以有空盒的放法種數(shù)等于將n個(gè)不同的球分成m堆、(m-1)堆、(m-2)堆、…、2堆、1堆的所有種數(shù)之和.

    模型七、球不同,盒不同,盒不空

    例78個(gè)不同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中,每個(gè)盒子中至少有一個(gè). 問有多少種不同的放法?

    結(jié)論七n個(gè)不同的球放入m個(gè)不同的盒子中,不能有空盒的放法種數(shù)等于n個(gè)不同的球分成m堆的種數(shù)乘以m!

    模型八、球不同,盒不同,盒可空

    例88個(gè)不同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中,問有多少種不同的放法?

    結(jié)論八n個(gè)不同的球放入m個(gè)不同的盒子中(n≥m),可以有空盒的放法種數(shù)等于mn種.

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