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    探求解析幾何中動(dòng)點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)取值范圍(最值)的策略

    2021-05-20 04:12:42武增明
    關(guān)鍵詞:參變量橫坐標(biāo)所求

    平面解析幾何中動(dòng)點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)取值范圍(最值)問題是高考中的熱點(diǎn),是教師教學(xué)中的重點(diǎn),是同學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).由于這類問題,沒有固定的解題模型,沒有規(guī)律可循,解法靈活,思維性強(qiáng).因此,大多數(shù)同學(xué)想不到、找不到解題的切入點(diǎn)與突破口,心生畏懼,一籌莫展.對(duì)此問題,筆者試想,沒有定法,應(yīng)該有法,應(yīng)該有策略.有幾種?具體是什么方法?是什么策略?筆者結(jié)合自己多年積累的教學(xué)資料(教師錯(cuò)題集)和教學(xué)經(jīng)驗(yàn),反復(fù)思考,反復(fù)探究,歸納總結(jié),給出如下六種策略,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所啟示和幫助,希望對(duì)同仁的教學(xué)有參考價(jià)值.

    1 走數(shù)形結(jié)合之路

    雖然解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何學(xué)問題的學(xué)科,但是仍然離不開由數(shù)想形、由數(shù)畫形、以形助數(shù)、由形化數(shù),問題獲解.例1 已知直線l:y=1與y軸交于點(diǎn)M,Q為直線l上異于點(diǎn)M的動(dòng)點(diǎn),記點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為n,若曲線C:x22+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠MQN=45°,則n的取值范圍是(用區(qū)間表示).

    解析 令Q(n,1),n≠0,kQN=k,則lQN:y=k(x-n)+1,通過畫圖,如圖1,觀察圖形可知,當(dāng)Q在第一象限,k=1時(shí),lQN與橢圓相切時(shí),n取得最大值.由x2+2y2-2=0,y=(x-n)+1, 得3x2+4(1-n)x+2(n2-2n)=0,由Δ=0,得n=1±3,n=1-3不符合題意,舍去;

    當(dāng)Q在第二象限,k=-1時(shí),lQN與橢圓相切時(shí),n取得最小值.由x2+2y2-2=0,y=-(x-n)+1, 得3x2-4(1+n)x+2(n2+2n)=0,由Δ=0,得n=-1±3,n=-1+3不符合題意,舍去.所以n∈[-1-3,0)∪(0,1+3].

    2 走三角函數(shù)之路

    選取變量角為自變量,建立所求與變量角的函數(shù)關(guān)系式,把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域(最值)問題,問題獲解.

    例2 (2014年高考全國卷Ⅱ理科數(shù)學(xué)第16題)設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是.[2]

    分析 選取∠MNO為自變量,記∠MNO=α,應(yīng)用正弦定理建立x0與α的關(guān)系式,問題轉(zhuǎn)化為求角α的三角函數(shù)的值域問題.圖2

    解 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,1)在直線y=1上運(yùn)動(dòng),記∠MNO=α,如圖2,則∠MON+α=135°,所以0°<α<135°,又因?yàn)镸O≥ON,所以在△MON中知,α≥45°,于是45°≤α<135°.

    在△MON中,因?yàn)镸O=x20+1,ON=1,所以由正弦定理,得x20+1sinα=1sin45°,即x20+1=2sinα,從而問題轉(zhuǎn)化為求角α的三角函數(shù)2sinα的值域.

    因?yàn)?5°≤α<135°,所以1≤2sinα≤2,故而1≤x20+1≤2,解得-1≤x0≤1,從而x0的取值范圍是[-1,1].

    評(píng)注 此題有如下簡解.過O作OP⊥MN,P為垂足,圖3如圖3,則|OP|=|OM|sin45°≤1,所以|OM|≤1sin45°,從而|OM|2≤2,于是x20+1≤2,故-1≤x0≤1,故而x0的取值范圍是[-1,1].3 走數(shù)量積定義之路

    根據(jù)數(shù)量積定義,進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算,建立關(guān)于所求的不等式,問題獲解.

    例3 (2000年高考全國卷文科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)第14題)橢圓x29+y24=1的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí),點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是.[3]

    解 設(shè)P(x,y),不妨設(shè)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0).

    由∠F1PF2為鈍角,知PF1·PF2<0,所以(-5-x,-y)·(5-x,-y)<0,即x2-5+y2<0,又y2=4-4x29,故x2-5+4-4x29<0,即59x2<1,解得-355

    4 走代數(shù)函數(shù)之路

    選取動(dòng)直線的變量斜率k或變量橫截距a或變量縱截距b或圓錐曲線中的參變量為自變量,建立所求與變量斜率k或變量橫截距a或變量縱截距b或圓錐曲線中的參變量的函數(shù)關(guān)系式,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的值域(最值)問題,問題獲解.

    例4 (2018年高考浙江卷文科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)第17題)已知點(diǎn)P(0,1),橢圓x24+y2=m(m>1)上兩點(diǎn)A,B滿足AP=2PB,則當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.[2]

    解 方法1 由題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2).

    由y=kx+1,x24+y2=m, 得(1+4k2)x2+8kx+4-4m=0,

    由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-8k1+4k2,①x1x2=4-4m1+4k2.②

    因?yàn)镻(0,1),所以由AP=2PB,得-x1=2x2.③

    由①②③,得x2=8k1+4k2,x22=2m-21+4k2.

    于是k2=m-136-4m,從而x22=14(9-m)(m-1),

    所以,當(dāng)m=5時(shí),x22取最大值,即|x2|取最大值,即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值取最大值.

    方法2 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x214+y21=m, ①x224+y22=m.②

    因?yàn)镻(0,1),所以由AP=2PB,得x1=-2x2,③y1=3-2y2.④

    把③④代入①②,得x22+(3-2y2)2=m,⑤x22+4y22=4m.⑥

    ⑤-⑥,得y2=14m+34,代入②,得|x2|=2m-(m+34)2=12-(m-5)2+16.

    故當(dāng)m=5時(shí),|x2|取最大值,即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值取最大值.

    5 走判別式之路

    依題意,選取一個(gè)參變量,建立所求與所選取的參變量的關(guān)系式,由此得關(guān)于以參變量為未知數(shù)的一元二次方程,根據(jù)一元二次方程有實(shí)根的充要條件是判別式不小于零,問題獲解.

    例5 已知拋物線y=x2上有一定點(diǎn)A(-1,1)和兩動(dòng)點(diǎn)P,Q,當(dāng)PA⊥PQ時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)取值范圍是.解 設(shè)P(a,b),Q(x,y),則AP=(a+1,b-1),PQ=(x-a,y-b),

    由AP·PQ=0,得(a+1)(x-a)+(b-1)(y-b)=0,又P,Q在拋物線上,所以a2=b,x2=y,

    故(a+1)(x-a)+(a2-1)(x2-a2)=0,

    整理得(a+1)(x-a)[1+(a-1)(x+a)]=0,①

    而P,Q,A三點(diǎn)不重合,所以a≠-1,x≠a,

    所以①式可化為1+(a-1)(x+a)=0,

    整理得a2+(x-1)a+1-x=0,

    由題意可知,此關(guān)于a的一元二次方程有實(shí)數(shù)解,故判別式Δ≥0,從而(x-1)2-4(1-x)≥0,解得x≤-3或x≥1.

    故點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)取值范圍是(-∞,-3]∪[1,+∞).

    6 走圓錐曲線范圍之路

    建立所求與圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)橫(縱)坐標(biāo)的關(guān)系式,再利用圓錐曲線范圍,問題獲解.

    例6 (1992年高考理科數(shù)學(xué)第28題)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是橢圓上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(x0,0),證明-a2-b2a

    解 證法1 設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1) ,(x2,y2),則線段AB的垂直平分線方程為

    y-y1+y22=-x2-x1y2-y1x-x1+x22,令y=0,則x=x0=y22-y212(x2-x1)+x1+x22=y22-y21+x22-x212(x2-x1),①

    又由y22=b2a2(a2-x22),y21=b2a2(a2-x21),二式相減,得y22-y21=b2a2(x21-x22),代入①式,即有

    x0=(x21-x22)b2a2-12(x2-x1)=x1+x22·a2-b2a2,

    因?yàn)?a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2, 所以-a

    又因?yàn)閍2-b2a2>0,所以-a2-b2a

    所以-a2-b2a

    證法2 設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1) 和(x2,y2),因線段AB的垂直平分線與x軸相交,故AB不平行于y軸,即x1≠x2,又交點(diǎn)為P(x0,0),故|PA|=|PB|,即

    (x1-x0)2+y21=(x2-x0)2+y22 .①

    因?yàn)锳,B在橢圓上,所以y21=b2-b2a2x21,y22=b2-b2a2x22,代入①式,整理得

    2(x2-x1)x0=(x22-x21)a2-b2a2 .

    因?yàn)閤1≠x2,可得x0=x1+x22·a2-b2a2 .

    又因?yàn)?a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2, 所以-2a

    所以-a2-b2a

    參考文獻(xiàn)

    [1] 人民教育出版社,課程教材研究所,中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(選修)數(shù)學(xué)2-1(A版)[M].北京:人民教育出版社,2014.

    [2] 杜志建.2014—2018新高考5年真題匯編(數(shù)學(xué)·理科)[M].烏魯木齊:新疆青少年出版社,2018.

    [2] 劉增利.2000年全國各省市高考真題匯編及解析(數(shù)學(xué)·理科)[M].西安:開明出版社,2000.

    作者簡介 武增明(1965—),男,云南易門縣人,中學(xué)高級(jí)教師,大學(xué)本科學(xué)歷,主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及其研究.

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