一維非幺正PT對(duì)稱量子行走的拓?fù)涮匦?/h1>
2021-05-19 07:04:28譚悅李志堅(jiān)
譚悅，李志堅(jiān)
（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）
0 引言
量子力學(xué)中可觀測(cè)的力學(xué)量由厄米算符表示，其本征值是實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)物理測(cè)量值。然而，有些體系的哈密頓量是非厄米的，如具有耗散的光波導(dǎo)[1-2]、光晶格耦合的 LRC 電路[3-4]、單模激光器[5-6]等體系，此類系統(tǒng)的哈密頓量如果存在空間和時(shí)間相繼反演的對(duì)稱性，簡(jiǎn)稱PT對(duì)稱性[7-9]，則非厄米哈密頓量會(huì)出現(xiàn)實(shí)的本征值。近年來，人們研究了幺正系統(tǒng)量子行走的傳輸特性。同樣，由于增益損耗的影響，量子行走的時(shí)間演化算符會(huì)變?yōu)榉晴壅惴?，例如人們?cè)诠饫w環(huán)路上實(shí)現(xiàn)了非幺正量子行走，是通過附加的光學(xué)放大器和等效衰減器來控制增益和損耗[10]得到的。目前，開放量子系統(tǒng)、無序系統(tǒng)、拓?fù)浣^緣體，具有復(fù)折射率的光學(xué)系統(tǒng)等領(lǐng)域的非厄米系統(tǒng)的PT對(duì)稱性引起人們的廣泛關(guān)注[11-13]。
具有PT對(duì)稱性的系統(tǒng)往往會(huì)表現(xiàn)出非平庸的拓?fù)涮匦?。由于拓?fù)浣^緣體或超導(dǎo)體[14-15]等天然材料很少，所以人們構(gòu)建了許多人造系統(tǒng)，可以利用Zak相位[16]、繞數(shù)、Berry相和陳數(shù)等拓?fù)洳蛔兞棵枋鱿到y(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)。在對(duì)幺正量子行走[17]的研究基礎(chǔ)上，人們也對(duì)非幺正量子行走的拓?fù)涮匦蚤_始了研究[18-19]。本文將通過引入增益損耗算符，實(shí)現(xiàn)非幺正PT對(duì)稱量子行走，在分離時(shí)間量子行走[20]中的硬幣算符和條件平移算符中各引入一個(gè)可控參量，構(gòu)成二維的參數(shù)空間，給出系統(tǒng)在該空間的拓?fù)湎鄨D。
1 非幺正PT對(duì)稱量子行走及相圖
一維分離時(shí)間量子行走的單步時(shí)間演化由硬幣算符Cθ和條件平移算符Sφ相繼作用產(chǎn)生，即
其中Ig為位置空間的單位算符，Cθ為硬幣空間的硬幣算符，在本文中選取硬幣算符為沿著y方向旋轉(zhuǎn)θ∈ (-π，π)角的旋轉(zhuǎn)算符，形式為
條件平移算符Sφ表示為
在條件平移算符（3）中引入一個(gè)參數(shù)φ∈(-π，π)，當(dāng)輸入的硬幣態(tài)不發(fā)生翻轉(zhuǎn)時(shí)，量子行走以概率幅sinφ向右（向左）行走，以概率幅cosφ保持在原來的位置不動(dòng)。在光學(xué)系統(tǒng)中，光信號(hào)在光纖光路中會(huì)發(fā)生增益損耗[13]，本文引入增益損耗算符，（4）當(dāng)硬幣態(tài)為時(shí)，系統(tǒng)以eτ指數(shù)增益，當(dāng)硬幣態(tài)為時(shí)，系統(tǒng)以e-τ指數(shù)衰減。τ≠0時(shí)，增益損耗算符G是一個(gè)非幺正算符，非幺正量子行走的時(shí)間演化算符定義為
PT對(duì)稱算符由宇稱算符P和時(shí)間反演算符T的乘積構(gòu)成。宇稱算符是指空間對(duì)稱算符，宇稱算符P是一個(gè)線性幺正算符。在宇稱對(duì)稱變換下，坐標(biāo)和動(dòng)量算符滿足變換關(guān)系時(shí)間反演算符T是一個(gè)反線性算符，其中包含取復(fù)共軛算符κ的操作，滿足變換關(guān)系若 定 義
則Upt滿足關(guān)系
表明Upt描述的量子行走具有PT對(duì)稱性。
演化算符Upt可以表示為Upt=exp(-iHeff)的形式，其中Heff是Upt的生成元。Upt的非幺正性決定了有效哈密頓量Heff是非厄米的。令是Upt的本征矢，相應(yīng)的本征值為λ，即有
對(duì)算符Upt作傅里葉變換，在動(dòng)量空間可表示為
其中Ic是硬幣空間的單位矩陣，σi(i=x，y，z)是泡利矩陣，系數(shù)ln(n=0，1，2，3)分別為
圖1 準(zhǔn)能量ε隨動(dòng)量k的變化圖，實(shí)線代表的是準(zhǔn)能量的實(shí)部，虛線代表的是準(zhǔn)能量的虛部（a）τ=ln1.1，（b）τ=ln1.252，（c）τ=ln1.34Fig.1 Variation of quasi-energy εas a function of k.The solid（dashed）curves represent the real（imaginary）part of the quasienergy，（a）τ=ln1.1，（b）τ=ln1.252，（c）τ=ln1.34
有一種與手征對(duì)稱相關(guān)的方法來描述量子行走中的拓?fù)湎?，就是利用Zak相位的不同值來區(qū)分拓?fù)涞钠接瓜嗪头瞧接瓜唷ak相位γ由極化矢量n(k)可定義為：
圖2 量子行走在參數(shù)空間(θ，φ)的拓?fù)湎鄨D（a）幺正情況τ=0，（b）非幺正情況τ=0.1.圖（b）中陰影部分表示PT對(duì)稱自發(fā)破壞的區(qū)域Fig.2 Topological phase diagram in(θ，φ )parameter space for quantum walk.（a）the case of unitary dynamics(τ=0).（b）the case of non-unitary dynamics(τ=0.1).The shadow regions in（b）indicate the broken PT-symmetry region
當(dāng)增益損耗參數(shù)τ不為零時(shí)，在參數(shù)空間(θ，φ)的不同區(qū)域，系統(tǒng)的準(zhǔn)能量可能為實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。在準(zhǔn)能量為實(shí)數(shù)的區(qū)域，系統(tǒng)的PT對(duì)稱性未破缺，由方程（15）可以計(jì)算出Zak相位，其值同樣為1、0或-1，很好地描述了系統(tǒng)的拓?fù)涮匦?。在?zhǔn)能量為復(fù)數(shù)的區(qū)域，系統(tǒng)的PT對(duì)稱自發(fā)破缺，準(zhǔn)能量的上下兩支的實(shí)部在以k=0為中心點(diǎn)的一個(gè)范圍內(nèi)發(fā)生簡(jiǎn)并，能隙閉合為一條線段（如圖1（c）所示），此時(shí)系統(tǒng)Zak相位的定義式（15）不能成立。在圖2（b）給出的非幺正PT對(duì)稱量子行走的拓?fù)湎鄨D中，陰影區(qū)域就是由于τ因子的作用，使得系統(tǒng)PT對(duì)稱自發(fā)破缺。隨著增益損耗系數(shù)τ的變大，會(huì)出現(xiàn)更大的陰影區(qū)域。
2 非幺正PT對(duì)稱量子行走的平均位移
除了Zak相位之外，我們還可以用實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)量平均位移來描述量子行走的拓?fù)湎嘧?，這一過程是一個(gè)動(dòng)力學(xué)變化過程，和Zak相位分別從動(dòng)態(tài)和靜態(tài)不同的角度對(duì)拓?fù)渥兓M(jìn)行描述?？紤]粒子初始局域在x=0位置，用處于手征算符σx本征值為1的本征態(tài)作為量子行走的初始硬幣態(tài)，則量子行走的初態(tài)為
在演化算符Upt的作用下，演化t步后量子行走的狀態(tài)為
相應(yīng)地，t步后量子行走的平均位移為
將上式作傅里葉變換，
在初態(tài)方程（16）下，由于方程（20）中只有包含σx的積分項(xiàng)不為零，因此得到的是一個(gè)實(shí)數(shù)。同時(shí)，由于積分項(xiàng)中存在隨t的變化會(huì)不斷振蕩。為此，我們求平均位移從一步演化到N步演化的平均值，以消除平均位移對(duì)t的依賴性，即有
選取N=30，圖3（a）和（b）分別給出增益損耗參數(shù)τ=0和τ=0.1這兩種情況下，量子行走的平均位移隨參數(shù)θ的變化曲線，圖中藍(lán)色實(shí)線，紅色虛線，紫色點(diǎn)線分別對(duì)應(yīng)參數(shù)φ取π2，π4和0時(shí)的變化情況。從圖3（a）中可以看出，當(dāng)τ=0時(shí)，的變化與（15）式定義的Zak相位的變化相同，只是平臺(tái)值的大小減少一半；當(dāng)τ=0.1時(shí)，圖3（b）中的紅色虛線和紫色點(diǎn)線會(huì)出現(xiàn)間斷現(xiàn)象，間斷區(qū)域（用黑色圓點(diǎn)填充）對(duì)應(yīng)的值為復(fù)數(shù)，也就是系統(tǒng)PT對(duì)稱自發(fā)破缺所對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ取值范圍；藍(lán)色實(shí)線仍顯示出隨著參數(shù)θ的變化跳變的現(xiàn)象。這些變化特征與Zak相位在相圖圖2（b）中的變化完全一致，考慮到當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以進(jìn)行測(cè)量量子行走演化后的平均位移，因此可以用平均位移來觀察非幺正PT對(duì)稱量子行走的拓?fù)湎嘧儭?/p>
圖3 量子行走平均位移隨參數(shù)θ的變化曲線，（a）τ=0，（b）τ=0.1藍(lán)色實(shí)線，紅色虛線和紫色點(diǎn)線分別對(duì)應(yīng)φ=π 2，π 4和0。黑色填充圓形表示PT對(duì)稱破缺的區(qū)域Fig.3 Mean position of quantum walk varies as a function of the coin parameterθ，with（a）τ=0，（b）τ=0.1.Blue solid line，red dash line and purple dotted line correspond to theφ= π 2，π 4and0，respectively.The black filled disks in（b）indicate the broken PT-symmetry region
3 結(jié)論
本文考慮系統(tǒng)的增益損耗效應(yīng)，引入非幺正算符，將幺正量子行走推廣至滿足PT對(duì)稱的一維非幺正量子行走。調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的參數(shù)，系統(tǒng)的準(zhǔn)能量可能為實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)滿足PT對(duì)稱性和系統(tǒng)PT對(duì)稱性破缺。通過計(jì)算系統(tǒng)的Zak相位，給出系統(tǒng)的拓?fù)渥兓鄨D。當(dāng)系統(tǒng)滿足幺正條件時(shí)，拓?fù)湎噙吔缡且粭l直線段，但當(dāng)系統(tǒng)變?yōu)榉晴壅到y(tǒng)時(shí)，拓?fù)湎噙吔缱優(yōu)橐粋€(gè)個(gè)有限區(qū)域，區(qū)域的面積隨著增益損耗參數(shù)的增大而變大。在這些相邊界區(qū)域所對(duì)應(yīng)的參數(shù)下，準(zhǔn)能量恰好為復(fù)數(shù)，且準(zhǔn)能量實(shí)部二重簡(jiǎn)并。計(jì)算量子行走的平均位移，發(fā)現(xiàn)平均位移隨硬幣參數(shù)的變化也可以表征系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧?，且與由Zak相位表征的拓?fù)湎鄨D基本一致，為實(shí)驗(yàn)上通過測(cè)量動(dòng)力學(xué)量來判斷系統(tǒng)的拓?fù)湎嗵峁┝艘环N有效方法。
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其中Ig為位置空間的單位算符，Cθ為硬幣空間的硬幣算符，在本文中選取硬幣算符為沿著y方向旋轉(zhuǎn)θ∈ (-π，π)角的旋轉(zhuǎn)算符，形式為
條件平移算符Sφ表示為
在條件平移算符（3）中引入一個(gè)參數(shù)φ∈(-π，π)，當(dāng)輸入的硬幣態(tài)不發(fā)生翻轉(zhuǎn)時(shí)，量子行走以概率幅sinφ向右（向左）行走，以概率幅cosφ保持在原來的位置不動(dòng)。在光學(xué)系統(tǒng)中，光信號(hào)在光纖光路中會(huì)發(fā)生增益損耗[13]，本文引入增益損耗算符，（4）當(dāng)硬幣態(tài)為時(shí)，系統(tǒng)以eτ指數(shù)增益，當(dāng)硬幣態(tài)為時(shí)，系統(tǒng)以e-τ指數(shù)衰減。τ≠0時(shí)，增益損耗算符G是一個(gè)非幺正算符，非幺正量子行走的時(shí)間演化算符定義為
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對(duì)算符Upt作傅里葉變換，在動(dòng)量空間可表示為
其中Ic是硬幣空間的單位矩陣，σi(i=x，y，z)是泡利矩陣，系數(shù)ln(n=0，1，2，3)分別為
圖1 準(zhǔn)能量ε隨動(dòng)量k的變化圖，實(shí)線代表的是準(zhǔn)能量的實(shí)部，虛線代表的是準(zhǔn)能量的虛部（a）τ=ln1.1，（b）τ=ln1.252，（c）τ=ln1.34Fig.1 Variation of quasi-energy εas a function of k.The solid（dashed）curves represent the real（imaginary）part of the quasienergy，（a）τ=ln1.1，（b）τ=ln1.252，（c）τ=ln1.34
有一種與手征對(duì)稱相關(guān)的方法來描述量子行走中的拓?fù)湎?，就是利用Zak相位的不同值來區(qū)分拓?fù)涞钠接瓜嗪头瞧接瓜唷ak相位γ由極化矢量n(k)可定義為：
圖2 量子行走在參數(shù)空間(θ，φ)的拓?fù)湎鄨D（a）幺正情況τ=0，（b）非幺正情況τ=0.1.圖（b）中陰影部分表示PT對(duì)稱自發(fā)破壞的區(qū)域Fig.2 Topological phase diagram in(θ，φ )parameter space for quantum walk.（a）the case of unitary dynamics(τ=0).（b）the case of non-unitary dynamics(τ=0.1).The shadow regions in（b）indicate the broken PT-symmetry region
當(dāng)增益損耗參數(shù)τ不為零時(shí)，在參數(shù)空間(θ，φ)的不同區(qū)域，系統(tǒng)的準(zhǔn)能量可能為實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)。在準(zhǔn)能量為實(shí)數(shù)的區(qū)域，系統(tǒng)的PT對(duì)稱性未破缺，由方程（15）可以計(jì)算出Zak相位，其值同樣為1、0或-1，很好地描述了系統(tǒng)的拓?fù)涮匦?。在?zhǔn)能量為復(fù)數(shù)的區(qū)域，系統(tǒng)的PT對(duì)稱自發(fā)破缺，準(zhǔn)能量的上下兩支的實(shí)部在以k=0為中心點(diǎn)的一個(gè)范圍內(nèi)發(fā)生簡(jiǎn)并，能隙閉合為一條線段（如圖1（c）所示），此時(shí)系統(tǒng)Zak相位的定義式（15）不能成立。在圖2（b）給出的非幺正PT對(duì)稱量子行走的拓?fù)湎鄨D中，陰影區(qū)域就是由于τ因子的作用，使得系統(tǒng)PT對(duì)稱自發(fā)破缺。隨著增益損耗系數(shù)τ的變大，會(huì)出現(xiàn)更大的陰影區(qū)域。
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在演化算符Upt的作用下，演化t步后量子行走的狀態(tài)為
相應(yīng)地，t步后量子行走的平均位移為
將上式作傅里葉變換，
在初態(tài)方程（16）下，由于方程（20）中只有包含σx的積分項(xiàng)不為零，因此得到的是一個(gè)實(shí)數(shù)。同時(shí)，由于積分項(xiàng)中存在隨t的變化會(huì)不斷振蕩。為此，我們求平均位移從一步演化到N步演化的平均值，以消除平均位移對(duì)t的依賴性，即有
選取N=30，圖3（a）和（b）分別給出增益損耗參數(shù)τ=0和τ=0.1這兩種情況下，量子行走的平均位移隨參數(shù)θ的變化曲線，圖中藍(lán)色實(shí)線，紅色虛線，紫色點(diǎn)線分別對(duì)應(yīng)參數(shù)φ取π2，π4和0時(shí)的變化情況。從圖3（a）中可以看出，當(dāng)τ=0時(shí)，的變化與（15）式定義的Zak相位的變化相同，只是平臺(tái)值的大小減少一半；當(dāng)τ=0.1時(shí)，圖3（b）中的紅色虛線和紫色點(diǎn)線會(huì)出現(xiàn)間斷現(xiàn)象，間斷區(qū)域（用黑色圓點(diǎn)填充）對(duì)應(yīng)的值為復(fù)數(shù)，也就是系統(tǒng)PT對(duì)稱自發(fā)破缺所對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ取值范圍；藍(lán)色實(shí)線仍顯示出隨著參數(shù)θ的變化跳變的現(xiàn)象。這些變化特征與Zak相位在相圖圖2（b）中的變化完全一致，考慮到當(dāng)前的實(shí)驗(yàn)技術(shù)可以進(jìn)行測(cè)量量子行走演化后的平均位移，因此可以用平均位移來觀察非幺正PT對(duì)稱量子行走的拓?fù)湎嘧儭?/p>
圖3 量子行走平均位移隨參數(shù)θ的變化曲線，（a）τ=0，（b）τ=0.1藍(lán)色實(shí)線，紅色虛線和紫色點(diǎn)線分別對(duì)應(yīng)φ=π 2，π 4和0。黑色填充圓形表示PT對(duì)稱破缺的區(qū)域Fig.3 Mean position of quantum walk varies as a function of the coin parameterθ，with（a）τ=0，（b）τ=0.1.Blue solid line，red dash line and purple dotted line correspond to theφ= π 2，π 4and0，respectively.The black filled disks in（b）indicate the broken PT-symmetry region
3 結(jié)論
本文考慮系統(tǒng)的增益損耗效應(yīng)，引入非幺正算符，將幺正量子行走推廣至滿足PT對(duì)稱的一維非幺正量子行走。調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的參數(shù)，系統(tǒng)的準(zhǔn)能量可能為實(shí)數(shù)，也可能為復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)滿足PT對(duì)稱性和系統(tǒng)PT對(duì)稱性破缺。通過計(jì)算系統(tǒng)的Zak相位，給出系統(tǒng)的拓?fù)渥兓鄨D。當(dāng)系統(tǒng)滿足幺正條件時(shí)，拓?fù)湎噙吔缡且粭l直線段，但當(dāng)系統(tǒng)變?yōu)榉晴壅到y(tǒng)時(shí)，拓?fù)湎噙吔缱優(yōu)橐粋€(gè)個(gè)有限區(qū)域，區(qū)域的面積隨著增益損耗參數(shù)的增大而變大。在這些相邊界區(qū)域所對(duì)應(yīng)的參數(shù)下，準(zhǔn)能量恰好為復(fù)數(shù)，且準(zhǔn)能量實(shí)部二重簡(jiǎn)并。計(jì)算量子行走的平均位移，發(fā)現(xiàn)平均位移隨硬幣參數(shù)的變化也可以表征系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧?，且與由Zak相位表征的拓?fù)湎鄨D基本一致，為實(shí)驗(yàn)上通過測(cè)量動(dòng)力學(xué)量來判斷系統(tǒng)的拓?fù)湎嗵峁┝艘环N有效方法。
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