一類分?jǐn)?shù)階微分方程在集合Ph，e上解的存在唯一性

劉宏偉

（太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030001）

0 引言

由于分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶性質(zhì)（非局部性），它非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的過(guò)程。近年來(lái)，越來(lái)越多的理論和實(shí)驗(yàn)表明，應(yīng)用科學(xué)和工程中出現(xiàn)的許多現(xiàn)象都可以通過(guò)分?jǐn)?shù)階微分方程來(lái)描述，并凸顯了其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和不可代替性。這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型最終可歸結(jié)為分?jǐn)?shù)階微分方程的定解問(wèn)題，特別是解的存在唯一性、多重性、穩(wěn)定性及爆破解問(wèn)題，其理論和應(yīng)用研究在國(guó)際上已成為一個(gè)熱點(diǎn)[1-11]。這些結(jié)果主要用錐理論、Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理等方法研究了解的唯一性、存在性與非線性邊值條件下正解的多重性。

文獻(xiàn)[12]研究了以下分?jǐn)?shù)階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

利用Guo-Krasnosel’skii不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了方程正解的存在性，其中算子需滿足全連續(xù)性。

文獻(xiàn)[13]研究了如下非線性分?jǐn)?shù)階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

利用半序集合上的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了方程正解的存在唯一性結(jié)論。

文獻(xiàn)[14]研究了如下任意階非線性微分方程

利用混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了方程正解的存在唯一性結(jié)論。

受到上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，問(wèn)題（1）不能解決函數(shù)滿足混合單調(diào)性的情況，問(wèn)題（2）對(duì)于高階的分?jǐn)?shù)階微分方程以及含有非線性項(xiàng)的情況都無(wú)法解決，為此本文研究以下非線性分?jǐn)?shù)階微分方程

其中n-1＜α≤n，n-2＜υ≤n-1，0≤b≤1，0＜ξ＜1，α-υ-1≥0，a＞0 為常數(shù)，表示α階的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。利用錐理論和定義在集合Ph，e上混合單調(diào)算子的不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了問(wèn)題（4）的非平凡解的存在性和唯一性，并構(gòu)造了迭代序列來(lái)逼近該唯一解，最后給出具體實(shí)例驗(yàn)證結(jié)論的正確性。

相較于已有文獻(xiàn)，本文作出如下推廣與改進(jìn)：

1）給出了一個(gè)新的凹算子不動(dòng)點(diǎn)定理；

2）當(dāng)n=2，a=0，且f(t，u(t)，u(t))=f(t，u(t))時(shí)，方程（4）退化為方程（1）；當(dāng)n=4，υ=2，且g(t，u(t))=0時(shí)，方程（4）為方程（2）的推廣；

3）本文研究的非線性項(xiàng)f(t，u(t)，u(t))具有混合單調(diào)性，而且方程中常數(shù)a＞0，此時(shí)利用集合Ph上的混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理無(wú)法解決該問(wèn)題；而本文應(yīng)用集合Ph，e上混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了a＞0時(shí)的解存在唯一性結(jié)論，推廣和改進(jìn)了已有文獻(xiàn)中相關(guān)結(jié)論。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[8]稱P是正規(guī)錐，若存在常數(shù)N＞0，使得：對(duì)x，y∈E，θ≤x≤y，有‖x‖≤N‖y‖。

定義2[8]對(duì)于x，y∈E，符號(hào)x～y表示存在λ＞0和μ＞0使得λx≤y≤μx。顯然，“～”是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。對(duì)于h＞θ（即h≥θ且h≠θ），定義集合Ph={x∈E|x～h}。顯然Ph?P。

定義3[9]取h＞θ（即h≥θ且h≠θ），取e∈P，且θ≤e≤h，定義集合Ph，e={x∈E|x+e∈Ph}，即：

Ph，e={x∈E|?μ=μ(h，e，x)＞ 0，ν=ν(h，e，x)＞ 0，使得μh≤x+e≤νh}。

引理1[15]若x∈Ph，e，那么當(dāng)λ＞ 0時(shí)，λx+(λ-1)e∈Ph，e。

引理2[15]若x，y∈Ph，e，則存在r∈(0，1)使得：

引理3[10]令n-1＜α≤n，n-2≤υ≤n-1，t∈[0，1]，那么以下邊值問(wèn)題

有唯一解u∈C1[0，1]，

其中

引理 4[10]格林函數(shù)G(t，s)有如下性質(zhì)：

2 主要結(jié)論

3 應(yīng)用